Chap3-lattice-vibration

1、第三章第三章 晶格振動與固體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與固體的熱學(xué)性質(zhì)朱朱 俊俊微電子與固體電子學(xué)院微電子與固體電子學(xué)院Lattice dynamics and heat properties of solidsl 晶格動力學(xué)晶格動力學(xué) 一維單原子鏈一維單原子鏈 一維雙原子鏈一維雙原子鏈l 固體的熱性質(zhì)固體的熱性質(zhì) 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 德拜模型德拜模型主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：關(guān)鍵概念：關(guān)鍵概念：聲子，聲學(xué)波和光學(xué)波聲子，聲學(xué)波和光學(xué)波一、固體中熱現(xiàn)象的研究歷史一、固體中熱現(xiàn)象的研究歷史1 1、為什么為什么要研究點陣動力學(xué)？要研究點陣動力學(xué)？1907年年，Albert Einstein發(fā)表了題為發(fā)表了

2、題為“Planck輻輻射理論與比熱的理論射理論與比熱的理論”，第一次第一次提出比熱的理論。提出比熱的理論。更重要的，更重要的，第一次第一次提出經(jīng)典力學(xué)的點陣振動和量提出經(jīng)典力學(xué)的點陣振動和量子力學(xué)的諧振子能級可以對應(yīng)，并決定基本的物子力學(xué)的諧振子能級可以對應(yīng)，并決定基本的物理性質(zhì)，實際上是理性質(zhì)，實際上是wave-particle duality概念概念(1924年年)最早的不自覺應(yīng)用。所以他的工作不僅是點最早的不自覺應(yīng)用。所以他的工作不僅是點陣動力學(xué)的開始，而且在量子理論的發(fā)展上也很陣動力學(xué)的開始，而且在量子理論的發(fā)展上也很重要。重要。1912年，年，Peter Joseph William

3、 Debye認識到，認識到，Einstein提出的比熱公式在極低溫下與實驗不符提出的比熱公式在極低溫下與實驗不符合，是因為沒有考慮到晶體中的原子振動頻率不合，是因為沒有考慮到晶體中的原子振動頻率不是單一的。后來德拜通過諧振理論求得近似的原是單一的。后來德拜通過諧振理論求得近似的原子振動的頻率分布，得到與實驗更加符合的比熱子振動的頻率分布，得到與實驗更加符合的比熱公式。公式。1912年，年，Max Born和和Theodore von Karman發(fā)表了題為發(fā)表了題為“論空間點陣的振動的論文論空間點陣的振動的論文”。提出。提出晶體中原子振動應(yīng)該是以點陣波的形式存在。晶體中原子振動應(yīng)該是以點陣波的

4、形式存在。是點陣動力學(xué)的奠基之作。是點陣動力學(xué)的奠基之作。1920-1950年，點陣動力學(xué)被應(yīng)用到晶體的熱力年，點陣動力學(xué)被應(yīng)用到晶體的熱力學(xué)性質(zhì)、熱傳導(dǎo)、電導(dǎo)、介電、光學(xué)和學(xué)性質(zhì)、熱傳導(dǎo)、電導(dǎo)、介電、光學(xué)和X射線衍射線衍射等諸多方面。比較完整地總結(jié)在射等諸多方面。比較完整地總結(jié)在Max Born和和黃昆的書黃昆的書“晶體點陣的動力理論晶體點陣的動力理論”中。中。1950年以后，發(fā)展了測量點陣動力學(xué)性質(zhì)的實年以后，發(fā)展了測量點陣動力學(xué)性質(zhì)的實驗：驗：中子衍射。中子衍射。靜止晶格理論靜止晶格理論不適用不適用的地方的地方 (The Failure of Static Lattice Model)：

5、晶格結(jié)構(gòu)一章中，所有討論都是假設(shè)原子是晶格結(jié)構(gòu)一章中，所有討論都是假設(shè)原子是靜止靜止的。實的。實際上，根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)，原子的運動隨著溫度的增高而際上，根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)，原子的運動隨著溫度的增高而越來越劇烈。根據(jù)量子力學(xué)，因為測不準原理越來越劇烈。根據(jù)量子力學(xué)，因為測不準原理(Uncertainty Principle)的限制，甚至在絕對零度原子也不能靜止。的限制，甚至在絕對零度原子也不能靜止。如果晶格是靜止的，固體的熱性質(zhì)如果晶格是靜止的，固體的熱性質(zhì)(Thermal property)無法解釋無法解釋。例如例如:在絕緣體中，電子被束縛在各個原子周圍，無法在絕緣體中，電子被束縛在各個原子周圍，無

6、法移動傳導(dǎo)熱量，因此絕緣體的導(dǎo)熱必須由晶格原子的運移動傳導(dǎo)熱量，因此絕緣體的導(dǎo)熱必須由晶格原子的運動來解釋。動來解釋。又比如又比如:固體的熱膨脹固體的熱膨脹(Thermal expansion)離開晶格的運動也是不可理解的。在高溫下固體會溶解離開晶格的運動也是不可理解的。在高溫下固體會溶解，顯然，溶解過程沒有晶格運動的參與是絕對不可能的，顯然，溶解過程沒有晶格運動的參與是絕對不可能的。絕緣體除導(dǎo)電以外，還傳導(dǎo)聲波。同樣，靜止晶格模。絕緣體除導(dǎo)電以外，還傳導(dǎo)聲波。同樣，靜止晶格模型是型是不能解釋不能解釋的。的。.BCS超導(dǎo)體理論證明，沒有晶格振動與電子運動的耦超導(dǎo)體理論證明，沒有晶格振動與電子運

7、動的耦合合(一對電子通過電子一對電子通過電子-聲子的相互作用聲子的相互作用,結(jié)合成為結(jié)合成為Cooper Pair)，超導(dǎo)也，超導(dǎo)也不可能實現(xiàn)不可能實現(xiàn)。此外，離子晶體在紅外區(qū)域此外，離子晶體在紅外區(qū)域(Infrared)有強烈的、單色性有強烈的、單色性很好的反射很好的反射(也就是也就是共振共振)，反射能量大大低于電子的能級，反射能量大大低于電子的能級，因此必須用，因此必須用晶格振動晶格振動來解釋。來解釋。另外，在激光，另外，在激光，X射線及中子的散射實驗中，有頻率偏射線及中子的散射實驗中，有頻率偏移，漫散射及固定的能量損失，證明晶體中有具備特定移，漫散射及固定的能量損失，證明晶體中有具備特定

8、能量能量(原頻率原頻率只能是某些特定的值只能是某些特定的值）的原子運動。的原子運動。如何研究？如何研究？晶體諧振理論晶體諧振理論(Theory of the Harmonic Crystal) 2 2、簡諧近似模型簡諧近似模型晶體中原子的平衡位置由原子晶體中原子的平衡位置由原子結(jié)合勢結(jié)合勢決定。平衡位置附?jīng)Q定。平衡位置附近的一對原子間的凈作用力近的一對原子間的凈作用力正比于正比于原子間距對平衡值的原子間距對平衡值的偏移：偏移： 。晶體的形變可以用一個簡。晶體的形變可以用一個簡單模型來表示：原子質(zhì)量為單模型來表示：原子質(zhì)量為M而相鄰原子間有彈性系數(shù)而相鄰原子間有彈性系數(shù)(Elastic Coef

9、ficient)為為K的彈簧相連。的彈簧相連。FKrrrrijijij (| |)00簡諧近似簡諧近似 只考慮只考慮最近鄰最近鄰原子之間的相互作用原子之間的相互作用研究固體中原子的振動時的研究固體中原子的振動時的兩個假設(shè)兩個假設(shè):1、每個原子的中心的平衡位置在對應(yīng)、每個原子的中心的平衡位置在對應(yīng)Bravais點陣的格點陣的格點上。點上。2、原子離開平衡位置的位移與原子間距比是、原子離開平衡位置的位移與原子間距比是小量小量,可以用可以用諧振近似諧振近似.在諧振近似在諧振近似(Harmonic Approximation)下下,晶體晶體中原子振動有中原子振動有精確解精確解,大部分符合實驗觀測的結(jié)果

10、。大部分符合實驗觀測的結(jié)果。 原子的振動原子的振動 晶格振動在晶體中形成了各種模式晶格振動在晶體中形成了各種模式的波的波格波格波lattice vibration wave, 其基本思想如下：其基本思想如下： 簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密 頓量之和頓量之和 這些諧振子的這些諧振子的能量量子能量量子，稱為，稱為聲子聲子 晶格振動的總體可看作是聲子的系綜晶格振動的總體可看作是聲子的系綜 用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振 動模式動模式 這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值

11、是分立的這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值是分立的1912年玻恩和卡門建立了晶格動力學(xué)理論或晶格諧振理論年玻恩和卡門建立了晶格動力學(xué)理論或晶格諧振理論1、 一維單原子鏈一維單原子鏈聲子聲子的概念的概念 晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先計算原子之間的相互作用力先計算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程 絕熱近似絕熱近似 用一個均勻分布的負電荷產(chǎn)生的用一個均勻分布的負電荷產(chǎn)生的常量勢場常量勢場來來描述電子對離子運動的影響描述電子對離子運動的影響 將

12、將電子電子的運動和的運動和離子離子的運動的運動分開考慮分開考慮 二、晶格動力學(xué)二、晶格動力學(xué)lattice dynamics一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個原子質(zhì)量每個原子質(zhì)量m，平衡時原子間距，平衡時原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個原子離開個原子離開平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的個原子間的相對位移相對位移nn1第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的距離個原子間的距離nna1平衡位置時平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能，兩個原子間的互作用勢能)(av)(av發(fā)生相對位移發(fā)生相對位移 后，相互作用勢能后，相互作用勢能nn1item

13、sHighdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常數(shù)常數(shù))(av0)(adrdv 平衡條件平衡條件簡諧近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項二階項dvfd adrvd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力 原子的原子的運動方程運動方程: 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個原子的運動方程個原子的運動方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個原子運動方程類似每一個原子運動方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和

14、原子數(shù)相同224sin ()2aqm方程解和振動頻率方程解和振動頻率 )2(1122nnnndtdm設(shè)方程組的解設(shè)方程組的解)(naqtinAenaq 第第n個原子振動位相因子個原子振動位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem得到得到和和n無關(guān)，表明無關(guān)，表明N個聯(lián)個聯(lián)立方程歸為立方程歸為一個方程一個方程格波的格波的意義意義：連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為 的振動的振動)(na

15、qtinAe)2(sin422aqm格波的波速格波的波速qvp 波長的函數(shù)波長的函數(shù)q 一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系，即一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動頻譜振動頻譜晶格的運動行為可晶格的運動行為可用用格波方程格波方程表示：表示： 簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波)(naqtinAe 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振動軸向右振動 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動軸向左振動格波的波形圖：格波的波形圖：格波特點：格波特點：格波波長格波波長)(naqtinAe2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度qvp格波方程格波方程不同原子間

16、位相差不同原子間位相差aqnnnaqaqn)(相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqnaqaqn ) 1(格波晶格原子格波晶格原子集體振動集體振動的行為：的行為：)(naqtinAe格波格波)2(sin422aqm波矢的取值和波矢的取值和布里淵區(qū)布里淵區(qū)的關(guān)系：的關(guān)系：相鄰原子位相差相鄰原子位相差aqaq2 原子的振動狀態(tài)相同原子的振動狀態(tài)相同格波格波2(Green)波矢波矢格波格波1(Red)波矢波矢aaq2421相鄰原子位相差相鄰原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqqaa 兩種波矢的格波中，兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同原子的振動完全

17、相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 只研究清楚只研究清楚第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)的晶格振動問題的晶格振動問題 其它區(qū)域其它區(qū)域不能提供新不能提供新的物理內(nèi)容的物理內(nèi)容玻恩卡門（玻恩卡門（Born-Karman）周期性邊界條件）周期性邊界條件 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動形式都一樣原子的振動形式都一樣 實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述原子不能用中間原子的運動方程

18、來描述 N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點價的特點 處理問題時要考處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性慮到環(huán)鏈的循環(huán)性 N很大，原子運很大，原子運動近似為直線運動動近似為直線運動優(yōu)點優(yōu)點：協(xié)調(diào)有限和無限的關(guān)系：協(xié)調(diào)有限和無限的關(guān)系缺點缺點：忽略了表面少數(shù)原子和內(nèi)部原子的差別：忽略了表面少數(shù)原子和內(nèi)部原子的差別設(shè)第設(shè)第n個原子的位移個原子的位移n再增加再增加N個原子之后，第個原子之后，第N+n個原子的位移個原子的位移nN則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq2hNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)2, 12, 2

19、2, 0, 32, 22, 12NNNNNNh波矢的取值范圍波矢的取值范圍qaa22NhNh N個整數(shù)值，波矢個整數(shù)值，波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)個狀態(tài)a2NNaa/2/2每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度Naq2第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)hNaq2波矢波矢格波的格波的色散關(guān)系：色散關(guān)系：)2(sin422aqm)2sin(2aqm 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性色散關(guān)系曲線具有周期性 q空間的周期空間的周期頻率極小值頻率極小值0min

20、頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m)2sin(2aqm只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減其它頻率的格波被強烈衰減02/m 一維單原子晶格看作成一維單原子晶格看作成低通濾波器低通濾波器色散關(guān)系色散關(guān)系2a格波格波 長波極限長波極限情況情況 ), 0(aq0q當當)2sin(2aqm/am q 一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù) 介質(zhì)中介質(zhì)中彈性波彈性波的色散關(guān)系一致的色散關(guān)系一致2)2sin(qaqaqVElastic相鄰原子之間的作用力相鄰原子之間的作用力f格波傳播速度格波傳播速度)(aa

21、f/cam/am q/acm a連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度/ElasticVK 連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度,KaK 長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) /cq長波極限長波極限情況情況 K 伸長模量伸長模量格波格波 短波極限短波極限情況情況)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì)短波極限下短波極限下qaaq22 相鄰兩個原子振動的相鄰兩個

22、原子振動的位相相反位相相反長波極限下長波極限下 ，相鄰兩個原子之間的位相差，相鄰兩個原子之間的位相差(0)q 長波極限下長波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下qaaq220q 相鄰兩個原子振動位相差相鄰兩個原子振動位相差2q 晶格原子集體振動模式晶格原子集體振動模式聲子聲子phonon的概念：的概念：聲子聲子 晶格振動的能量量子；或格波的能量量子晶格振動的能量量子；或格波的能量量子為什么晶格振動的問題要用量子力學(xué)為什么晶格振動的問題要用量子力學(xué) 來處理？來處理？ 根據(jù)量子力學(xué)根據(jù)量子力學(xué)，判定一個系統(tǒng)是經(jīng)典系，判定一個系統(tǒng)是經(jīng)典系統(tǒng)還是量子系統(tǒng)的一個重要判據(jù)為測不準統(tǒng)還是量子

23、系統(tǒng)的一個重要判據(jù)為測不準關(guān)系，即：關(guān)系，即： Et 也就是說：看該系統(tǒng)的粒子能量漲落與具有也就是說：看該系統(tǒng)的粒子能量漲落與具有該能量的時間漲落的乘積是否與該能量的時間漲落的乘積是否與 相當。相當。 對于晶格振動，在室溫下獲得的熱激發(fā)對于晶格振動，在室溫下獲得的熱激發(fā)的平均能量為的平均能量為KBT0.026ev ; 另一方面，另一方面，晶格振動的最高頻率所對應(yīng)的周期大致為晶格振動的最高頻率所對應(yīng)的周期大致為10-13 s , 因此，對于晶格振動，因此，對于晶格振動， Et 2.6 2.6 10 10-15-15 evevs s而而 = h/2 =6.62/2 1 11010-15-15 ev

24、evs s也就是說：對于晶格振動系統(tǒng)，也就是說：對于晶格振動系統(tǒng)，Et是是與與 相當?shù)模虼?，晶格振動問題必須用相當?shù)?，因此，晶格振動問題必須用量子力學(xué)量子力學(xué)的方法來處理。的方法來處理。 晶格原子集體振動模式晶格原子集體振動模式聲子聲子phonon的概念：的概念：一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為當這種振動模處于當這種振動模處于 時，說明有時，說明有 個聲子個聲子qqn)21(qn 聲子是一種聲子是一種元激發(fā)元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用，可與電子或光子發(fā)生作用 晶格振動的問題晶格振動的問題 聲子系統(tǒng)問題的研究聲子系統(tǒng)問題的研究 每個振動模式

25、在簡諧近似條件下都是獨立的每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的 聲子系宗是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng)聲子系宗是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng) 聲子具有能量聲子具有能量_動量，看作是準粒子動量，看作是準粒子晶格振動晶格振動 聲子體系聲子體系2、 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波聲學(xué)波和和光學(xué)波光學(xué)波 一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無限長鏈一維無限長鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù)

26、 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個原個原胞胞2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個原胞，有個原胞，有2N個獨立的方程個獨立的方程 兩種原子兩種原子振動的振幅振動的振幅A和和B一般來說一般來說是不同的是不同的 第第2n+1個個M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個個m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMBeeAB22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為有非

27、零的解，系數(shù)行列式為零零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第2n個個m原子原子方程的解方程的解02cos2cos2222Maqaqmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種兩種獨立的格波獨立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波 與與q之間存在著兩之間存在著兩種不同的色散關(guān)系種不同的色

28、散關(guān)系 一維一維復(fù)式格子復(fù)式格子存在存在兩種兩種獨立的格波獨立的格波 0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAm兩種格波的振幅兩種格波的振幅12222()411sin ()mMmMaqmMmMaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波相鄰原胞之間位相差相鄰原胞之間位相差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子振動方程原子振動方程q的取值的取值:波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)采用周期性邊界條件采用周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22aNhq /a布里淵區(qū)大小布里淵區(qū)大小2aq2

29、2aNhq Naq h為整數(shù)為整數(shù)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)允許的第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目值的數(shù)目NNaa/ 晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目 對應(yīng)一個對應(yīng)一個q有兩支格波：一支有兩支格波：一支聲學(xué)波聲學(xué)波和一支和一支光學(xué)波光學(xué)波 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)目為2N ： 原子的數(shù)目原子的數(shù)目: 2Nq的取值的取值色散關(guān)系的色散關(guān)系的特點特點 短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因為因為 Mmmaxmin)()(maxmin)

30、()( 不存在格波不存在格波maxmin)()(頻率間隙為：頻率間隙為： 一維雙原子晶格一維雙原子晶格叫做叫做帶通濾波器帶通濾波器長波極限長波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm應(yīng)用應(yīng)用11/2xx 1)(sin)(422aqMmmM)sin(2qaMm2()aqmM 聲學(xué)波的色散關(guān)系與聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維布喇菲格子形式相同一維布喇菲格子形式相同長長聲學(xué)波聲學(xué)波中相鄰原子的振動中相鄰原子的振動0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致 代表代表原胞質(zhì)心的振動原胞質(zhì)

31、心的振動2()aqmM長波極限長波極限0q光學(xué)波光學(xué)波 sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長光學(xué)波同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反長光學(xué)波同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動相對運動3、 聲子能譜的測定聲子能譜的測定晶格振動譜晶格振動譜晶格振動的頻率和波矢間的關(guān)系晶格振動的頻率和波矢間的關(guān)系 晶格振動的振動譜晶格振動的振動譜晶格振動的振動譜測定方法：晶格振動的振動譜測定方法： 中子非彈性散射中子非彈

32、性散射 X射線散射射線散射 光子與晶格的非彈性散射光子與晶格的非彈性散射1). 中子非彈性散射中子非彈性散射 入射晶體時中子的動量和能量入射晶體時中子的動量和能量nMpEandp22nMpEandp22出射晶體后中子的動量和能量出射晶體后中子的動量和能量 22( )22:( ):( )nnppqMMqAbsorb a PhononqEmit a Phonon 能量守恒能量守恒nGqpp 動量守恒動量守恒332211bnbnbnGn倒格子矢量倒格子矢量q聲子的準動量聲子的準動量 中子的能量中子的能量 _ 0.020.04 eV 聲子的能量聲子的能量 _ 10 2 eV 兩者具有相同的數(shù)量級兩者具

33、有相同的數(shù)量級測得各個方位上入射中子和散射中子的能量差測得各個方位上入射中子和散射中子的能量差 確定聲子的頻率確定聲子的頻率( )nnEEq 從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，容易從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，容易測定中子散射前后的能量變化，直接給出聲子能量的信息測定中子散射前后的能量變化，直接給出聲子能量的信息 根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何關(guān)系根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何關(guān)系 確定聲子的波矢確定聲子的波矢 得到聲子的振動譜得到聲子的振動譜nGqpp ( ) qq2). 光子與光學(xué)波聲子的相互作用光子與光學(xué)波聲子的相互作用 光子的拉曼散射光子的拉曼散射 )(q能

34、量守恒能量守恒動量守恒動量守恒nGqkk 光子的拉曼散射只限于光子與光子的拉曼散射只限于光子與長光學(xué)波聲子長光學(xué)波聲子的相互作用的相互作用 可見光可見光或或紅外光紅外光k很小，很小，光子與光波聲子發(fā)生相互作用，光子與光波聲子發(fā)生相互作用，要求聲子的波矢要求聲子的波矢q必須很小必須很小散射光和入射光的頻率位移散射光和入射光的頻率位移H. X光非彈性散射光非彈性散射 X光光子具有更高的頻率光光子具有更高的頻率(波矢可以很大波矢可以很大)，可以用來研，可以用來研究聲子的究聲子的振動譜振動譜 X射線的能量射線的能量 10 -4eV 遠遠小于聲子能量遠遠小于聲子能量 10 -2

35、eV 在實驗技術(shù)上在實驗技術(shù)上很難很難精確地直接測量精確地直接測量X光在散射前后的能光在散射前后的能量差，因此確定聲子的能量是量差，因此確定聲子的能量是很困難的很困難的 三、固體的熱性質(zhì)三、固體的熱性質(zhì)Thermal Properties of Solids固體可以被加熱或被降溫。一種固體每升高一度需要的能量，或固體可以被加熱或被降溫。一種固體每升高一度需要的能量，或每降低一度釋放的能量，被稱為該固體的每降低一度釋放的能量，被稱為該固體的比熱比熱(Specific Heat)。不同固體比熱的來源不同。不同固體比熱的來源不同。固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均

36、內(nèi)能 固體內(nèi)能包括固體內(nèi)能包括晶格振動的能量晶格振動的能量和和電子熱運動的能量電子熱運動的能量 溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻T 電子對比熱的貢獻電子對比熱的貢獻3AT 晶格振動對比熱的貢獻晶格振動對比熱的貢獻3ATTCV實驗結(jié)果實驗結(jié)果：低溫下，金屬的熱容：低溫下，金屬的熱容1、晶格振動對熱容的貢獻、晶格振動對熱容的貢獻 經(jīng)典理論的回顧經(jīng)典理論的回顧 一個簡諧振動平均能量一個簡諧振動平均能量TkBN個原子，總的平均能量個原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 但但實驗

37、表明實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律2、晶格熱容的、晶格熱容的量子理論量子理論 一個頻率為一個頻率為 j的的振動模對振動模對熱容熱容的貢獻的貢獻1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動模由一系列量子能級為振動模由一系列量子能級為 組成組成 子體系子體系jBjBjjnTknTknneeP/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn一個振動模的平均能量一個振動模的平均能量 與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系

38、 VjVdTEdC)(/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個振動模對熱容貢獻一個振動模對熱容貢獻/1( )21jBjjjk TE TejjjnjnEP E振動模的平均能量振動模的平均能量222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk TjBTkBVkC 高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個振動模對熱容貢獻一個振動模對熱容貢獻 忽略不計忽略不計jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC低溫極限低溫極限

39、1/TkBje 與實驗結(jié)果不與實驗結(jié)果不相符相符!/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個振動模對熱容貢獻一個振動模對熱容貢獻 晶體中有晶體中有3N個振動模，總的能量為：個振動模，總的能量為：NjjTETE31)()(NjjVVCC31NjjVdTTEdC31)(晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te)(30TkfNkCBBBV1） 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 N個原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以個原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以相同的頻率相同的頻率 0振動振動 VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21j

40、BNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk/1( )21jBjjjk TE Te一個振動模式的平均能量一個振動模式的平均能量晶體熱容晶體熱容總能量總能量愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計算的結(jié)果和實驗結(jié)果相當好地符合算的結(jié)果和實驗結(jié)果相當好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛因斯坦熱容函數(shù)愛因斯坦熱容函數(shù)金剛石金剛石KE1320理論計算和實驗結(jié)

41、果比較理論計算和實驗結(jié)果比較 22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3溫度較高時溫度較高時 10TkB2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkCTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容溫度非常低時溫度非常低時10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按溫度的指數(shù)形式降低按溫度的指數(shù)形式降低實驗測得結(jié)果實驗測得結(jié)果3ATCV 愛因斯坦模型忽略了各格波的愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別頻率差別0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體熱容晶體熱容2）德拜模型）德拜模型 P

42、eter Joseph Debye-1908年在慕尼黑大學(xué)獲得博士年在慕尼黑大學(xué)獲得博士學(xué)位。學(xué)位。1911年去瑞士蘇黎士大學(xué)接替年去瑞士蘇黎士大學(xué)接替Albert Einstein的職位，擔任理論物理學(xué)教授，注意到愛因斯坦的工作的職位，擔任理論物理學(xué)教授，注意到愛因斯坦的工作。1912年他改進了愛因斯坦的工作，獲得了跟實驗更加年他改進了愛因斯坦的工作，獲得了跟實驗更加符合的固體比熱容公式。符合的固體比熱容公式。1916年年Debye和和Paul Sherrer一起，發(fā)展出一起，發(fā)展出X射線的粉末衍射法。射線的粉末衍射法。1936年獲諾貝爾化年獲諾貝爾化學(xué)獎。戰(zhàn)后到學(xué)獎。戰(zhàn)后到美國美國。191

43、2年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布喇菲晶格看作是各向同性的喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì) 有有1個縱波和個縱波和2個獨立的橫波個獨立的橫波ltC qFor LognitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動模的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動模 不同的振動模，能量不同不同的振動模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 受邊界條件限制波矢受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在分立取值，允許的取值在q空間空

44、間形成了均勻分布的點子形成了均勻分布的點子體積元體積元zyxdqdqdqqd qdV3)2(態(tài)的數(shù)目態(tài)的數(shù)目 q是近連續(xù)變化的是近連續(xù)變化的dqqV234)2(dqqq振動數(shù)目振動數(shù)目頻率在頻率在 之間振動模式的數(shù)目之間振動模式的數(shù)目 ddgdn)(pqv各向同性的介質(zhì)各向同性的介質(zhì) 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的態(tài)密度函數(shù)振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的態(tài)密度函數(shù) )(g一個振動模的熱容一個振動模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振動頻率分布函數(shù)振動頻率分布函數(shù) 和和 m的計算的計算)(g頻率在頻率在 之間，縱波數(shù)目之間，縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，格波數(shù)目之間，格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，橫波數(shù)目之間，橫波數(shù)目d233212()2ltVdCC波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動方式的數(shù)目之間的振動方式的數(shù)目dqqqlCddq頻率分布函數(shù)