中國計量學(xué)院~學(xué)第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A》課程考試試卷(A)

1、裝訂線中國計量學(xué)院2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)(A)(2) 課程考試試卷（A）開課二級學(xué)院： 理學(xué)院 ，考試時間： 2010 年 7 月 1 日 9：00 時考試形式：閉卷、開卷，允許帶 鉛筆、鋼筆、橡皮 、膠帶紙等文具 入場考生姓名： 學(xué)號： 專業(yè)： 班級： 題序一二三四五六總分得分評卷人得分評卷人一、單項選擇題（每小題3分，共15分）一、單項選擇題（每題3分，共15分）1 函數(shù)在（2，1）處的全微分為（ ）A， B，C， D，2 極限（ ） A， B， C， D，不存在3設(shè)存在，則（ ）A， B， C， D，4下列級數(shù)條件收斂的是（ ）A， B， C， D，5. 設(shè)，則（ ）A

2、， B， C， D， 得分評卷人二、填空題（每小題3分，共15分) 1設(shè)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 . 2. 面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面方程為 .3. 改變二次積分的積分次序4. 已知級數(shù)，則級數(shù) .5. 冪級數(shù)的收斂域為 得分評卷人三、計算與解答題(每小題7分，共56分)1、求過點且與兩平面和平行的直線方程2、求垂直于平面且過點和的平面方程裝訂線3、求曲線在點處的切線方程4、計算，其中是由，所圍成的閉區(qū)域5、計算，是拋物面被平面所截下的有限部分的下側(cè)。6、計算，其中是拋物線上從點到點的一段弧裝訂線7、計算三重積分:，其中是由旋轉(zhuǎn)拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域8、求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù).得

3、分評卷人四、應(yīng)用題（8分）要用鐵板做一個體積為立方米的有蓋長方體水箱，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省.得分評卷人五、證明題（6分）設(shè)是橢圓： 的正方向的邊界光滑閉曲線，證明： 中國計量學(xué)院2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)(A) (2) 課程考試試卷（A）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)開課二級學(xué)院： 理學(xué)院 ，學(xué)生班級： ，教師： 等 一 單項選擇題（每小題3分, 共15分)15， BCCAD 二、填空題（每小題3分， 共15分)1 2 3 4 5三、計算與解答(共56分)1、解:因為所求直線與兩平面都平行，因而平行于他們的交線，而交線的方向向量為 （+3分）故所求直線方程為 .(+

4、4分)2、解:由條件，設(shè)所求平面方程為 （1）而，且在所求平面上，因而有， （2） （+3分）又所求平面垂直于平面，故有 ， （3）因此由（2）、（3）得，代入（1）得 或 .(+4分)3、解: 處,對應(yīng)，且處對應(yīng)的切向量為 .(+3分)所求切線方程為 .(+4分)4、解： （+4分） .(+3分)5、解：計算，是拋物面被平面所截下的有限部分的下側(cè)。解：由對稱性知： (+3分) (+4分)6、解： (+4分) (+3分)7、計算三重積分:，其中是由旋轉(zhuǎn)拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域解： ,其中： (+2分)故 (+5分)8、因，故收斂半徑為。當(dāng)時級數(shù)分別為與，且都發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為 .(+3分

5、)當(dāng) 時設(shè) ，則有 (+4分)四、應(yīng)用題(8分)解：設(shè)水箱的長為，寬為，則高應(yīng)為，此水箱所用材料的面積為 .(+4分)令解這個方程組的駐點得 ，由題意，水箱所用材料面積的最小值一定存在，并在區(qū)域中取得，又函數(shù)在內(nèi)只有唯一的駐點，因此當(dāng)時取得最小值，即當(dāng)水箱的長為 ，寬為 ，高為時，水箱所用的材料最省。 .(+4分)五、 證明題(6分)證：記，則在橢圓內(nèi)作包含原點的半徑為的小圓，其圓周曲線為，方向取為順時針方向，因此構(gòu)成一個封閉的區(qū)域，由格林公式得： .(+3分)因，所以得 由此得 ，即 .(+3分)注：計算、解答和證明過程沒有錯誤，并能得到該題正確答案的其它計算、解答和證明方法可參照本參考答案

6、的標(biāo)準(zhǔn)給分。中國計量學(xué)院2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)(A)（2）課程考試試卷（B）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)開課二級學(xué)院： 理學(xué)院 ，學(xué)生班級：，教師： 一、單項選擇題（每小題3分, 共15分) 1B 2C 3C 4D 5B二、填空題（每小題3分，共15分)1 2 3 4 5三、計算題(每題7分；共56分)1解： 設(shè)平面方程為 根據(jù)題意有 （4分） 所以有； 所求平面方程為 （3分）2解： （3分） （4分）3解：是由及所圍成的閉區(qū)域 也就是 （3分） （4分）4解：計算三重積分:，其中是由旋轉(zhuǎn)拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域解： ,其中： (+2分)故 (+5分)5解： 設(shè)，因為， 所以，而且

7、有， .(3分) 故由格林公式得 .(4分)6解：計算，是拋物面被平面所截下的有限部分的下側(cè)。解：由對稱性知： （3分） .(4分)7解： . (3分) 所以原式 （4分)8解 ，所以收斂半徑為1；在端點處，級數(shù)為，發(fā)散；在端點處，級數(shù)為為收斂的交錯級數(shù)所以收斂域為 （2分）令，則當(dāng)時有 ， （2分）因 于是在上積分得： (3分)四、應(yīng)用題（8分）解：設(shè)球面方程為，是它的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的頂點，則長方體的長、寬、高分別為體積為 （3分） 做輔助函數(shù)則有方程組 解得為唯一駐點 （3分）根據(jù)實際問題可知，這種長方體的體積為最大，所以當(dāng)長、寬、高分別為體積最大。 （2分）五、證明題（6分） 證

8、明: 證明：因為級數(shù)、均收斂，所以+即收斂 （2分） 因為 （2分）因此收斂，即絕對收斂。 （2分）中國計量學(xué)院200 8 200 9 學(xué)年第 2 學(xué)期 高等數(shù)學(xué)（A）(2) 課程試卷（ B ）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)開課二級學(xué)院：理學(xué)院，學(xué)生班級： 08級二本各班 ，教師： 丁春梅 等 一、單項選擇題（每題3分，共15分）1、A 2、C 3、C 4、D 5、B 二、填空題（每題3分，共15分）1、（由兩點距離相等或經(jīng)化簡可得該平面方程的答案都算正確） 2、 3、 4、 5、三、計算與解答題（8、9小題各7分，其它小題各6分，共56分）1. 解：因 ， （+3分） （+3分）2解： （+3分） .(

9、+3分)3. 解：記，則 （+3分） （+3分）4. 解：方程的特征方程為：，其特征根為， （+3分）故方程的通解為： .(+3分)5解： (+3分) (+3分)6解：解：因為所求直線與兩平面都平行，因而平行于他們的交線，而交線的方向向量為 （+3分）故所求直線方程為 .(+3分)7解：因的柱坐標(biāo)方程是， .(+3分)因此有 .(+3分)8因，故收斂半徑為。當(dāng)時級數(shù)分別為與，且都發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為 .(+3分)當(dāng) 時設(shè) ，則有 (+4分)9解：記，則在上有，且在上的投影區(qū)域為，在上，且在上的投影區(qū)域仍為，而且有 （+3分）， 因此有 （+4分）四、應(yīng)用題（8分）解：設(shè)長方體箱子的長、寬、高分別為,，則長方體箱子的表面積為，而，設(shè) (+4分)則，求解以上方程組得，此時面積最小，平方單位 (+4分)五、證明題（6分）證：記，則在橢圓內(nèi)作包含原點的半徑為的小圓，其圓周曲線為，方向取為順時針方向，因此構(gòu)成一個封閉的