離散數(shù)學(xué)(第2.1)陳瑜

1、陳瑜陳瑜Email：2022年年7月月6日星期三日星期三2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2 2/70/70主要內(nèi)容主要內(nèi)容n 量詞化邏輯量詞化邏輯 1.1.謂詞謂詞 2.2.量詞量詞 3.3.全總個(gè)體域全總個(gè)體域 4.4.自由變?cè)c約束變?cè)杂勺冊(cè)c約束變?cè)?5.5.兩個(gè)量詞量化謂詞的真值兩個(gè)量詞量化謂詞的真值2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3 3/70/70n 命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它看作是看作是不可再分解

2、不可再分解。這就帶來(lái)了命題邏輯的。這就帶來(lái)了命題邏輯的局限性局限性。命題邏命題邏輯研究的范圍限制在輯研究的范圍限制在命題及其外部關(guān)系上命題及其外部關(guān)系上，無(wú)法研究，無(wú)法研究命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的邏輯特征邏輯特征（如，共同性和差異性）（如，共同性和差異性）n 例例1.1 1.1 設(shè)基本命題，設(shè)基本命題，P P：李明是大學(xué)生；：李明是大學(xué)生；Q Q：王芳是大：王芳是大學(xué)生學(xué)生 R R：松樹是植物。：松樹是植物。 很明顯，很明顯，P P與與Q Q在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比R R密切得多。密切得多。然而，命題邏輯無(wú)法反映這種區(qū)別，也無(wú)

3、法反映然而，命題邏輯無(wú)法反映這種區(qū)別，也無(wú)法反映P P、Q Q間的共同性。間的共同性。第二章第二章: :一階謂詞邏輯一階謂詞邏輯2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4 4/70/70n 命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它看作是不可再分解。這就帶來(lái)了命題邏輯的局限性。命題邏輯研究的范圍限制在命題及其外部關(guān)系上，無(wú)法研究命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的邏輯特征（共同性和差異性）n 例例1.11.1 設(shè)基本命題，設(shè)基本命題，P P：李明是大學(xué)生；：李明是大學(xué)生；Q Q：王芳是大：王芳是大學(xué)生學(xué)生 R R：松樹是植物。：松樹是植

4、物。 很明顯，很明顯，P P與與Q Q在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比R R密切得多。密切得多。然而，命題邏輯無(wú)法反映這種區(qū)別，也無(wú)法反映然而，命題邏輯無(wú)法反映這種區(qū)別，也無(wú)法反映P P、Q Q間的共同性。間的共同性。第二章第二章: :一階謂詞邏輯一階謂詞邏輯2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院5 5/70/70解：假設(shè)：解：假設(shè)：n例例1.21.2 ( (著名的蘇格拉底三段論著名的蘇格拉底三段論) ) 設(shè)自然語(yǔ)言中的三個(gè)命題：設(shè)自然語(yǔ)言中的三個(gè)命題： 1 1）所有的人都是要死的；所有的人都是要死的； 2 2）蘇格拉底是人；蘇格拉底是人； 3 3）所以，蘇格拉底是要死的

5、。所以，蘇格拉底是要死的。 P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的； Q Q：蘇格拉底是人。：蘇格拉底是人。 R R：所以，蘇格拉底是要死的。：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然，無(wú)論用什么方法也無(wú)法推論出顯然，無(wú)論用什么方法也無(wú)法推論出 P P，Q Q R R。 但是，這樣簡(jiǎn)單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是但是，這樣簡(jiǎn)單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。正確的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。這是由命題邏輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。局限性造成的，因此，需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)

6、算機(jī)學(xué)院6 6/70/70解：假設(shè)解：假設(shè)：n例例1.21.2 (著名的蘇格拉底三段論) 設(shè)自然語(yǔ)言中的三個(gè)命題： 1）所有的人都是要死的； 2）蘇格拉底是人； 3）所以，蘇格拉底是要死的。 P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的； Q Q：蘇格拉底是人。：蘇格拉底是人。 R R：所以，蘇格拉底是要死的。：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然顯然，無(wú)論用什么方法也無(wú)法推論出，無(wú)論用什么方法也無(wú)法推論出 P P，Q Q R R。 但是，這樣簡(jiǎn)單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是但是，這樣簡(jiǎn)單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。正確的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。這是由命題邏

7、輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。局限性造成的，因此，需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院7 7/70/70解：解：假設(shè)：n例例1.21.2 (著名的蘇格拉底三段論) 設(shè)自然語(yǔ)言中的三個(gè)命題： 1）所有的人都是要死的； 2）蘇格拉底是人； 3）所以，蘇格拉底是要死的。 P：所有的人都是要死的； Q：蘇格拉底是人。 R：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然，無(wú)論用什么方法也無(wú)法推論出 P，Q R。 但是但是，這樣簡(jiǎn)單的、憑直覺就知蘇格拉底的論證是，這樣簡(jiǎn)單的、憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。正確

8、的推理，命題邏輯卻無(wú)能為力。這是由命題邏輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，局限性造成的，因此，需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。需要對(duì)命題的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行研究。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院8 8/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對(duì)命題的在對(duì)命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系內(nèi)部邏輯關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，把基本進(jìn)行研究時(shí)，把基本命題分成命題分成客體客體( (個(gè)體）個(gè)體）和和謂詞謂詞。n 客體客體命題中所描述的對(duì)象。（命題中的主命題中所描述的對(duì)象。（命題中的主語(yǔ)，客觀實(shí)體，可以獨(dú)立存在的物體）。語(yǔ)，客

9、觀實(shí)體，可以獨(dú)立存在的物體）。n 謂詞謂詞命題中描述的個(gè)體性質(zhì)（特征）或關(guān)命題中描述的個(gè)體性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個(gè)體用小寫字母表示。個(gè)體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院9 9/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對(duì)命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，把基本命題分成客體(個(gè)體）和謂詞。n 客體客體命題中所描述的對(duì)象。（命題中的主命題中所描述的對(duì)象。（命題中的主語(yǔ)，客觀實(shí)體，可以獨(dú)立存在的物體）

10、。語(yǔ)，客觀實(shí)體，可以獨(dú)立存在的物體）。n 謂詞謂詞命題中描述的個(gè)體性質(zhì)（特征）或關(guān)命題中描述的個(gè)體性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個(gè)體用小寫字母表示。個(gè)體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1010/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對(duì)命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，把基本命題分成客體(個(gè)體）和謂詞。n 客體命題中所描述的對(duì)象。（命題中的主語(yǔ)，客觀實(shí)體，可以獨(dú)立存在的物體）。n 謂詞命題中描述的個(gè)體

11、性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個(gè)體用小寫字母表示。個(gè)體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1111/70/70n 例例1.31.3如有句子：如有句子：張紅張紅是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生；王南王南是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生；李華李華是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個(gè)命題則在命題中必須要用三個(gè)命題P P，Q Q，R R來(lái)表示。來(lái)表示。但是，它們都具有一個(gè)共同的特征：但是，它們都具有一個(gè)共同的特征： “ “是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)

12、生”因此，若將句子分解成：因此，若將句子分解成：“主語(yǔ)謂語(yǔ)主語(yǔ)謂語(yǔ)”用用P P表示表示“是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”，P P后緊跟后緊跟“某某某某人人”。則上述句子可寫為：。則上述句子可寫為：P(P(張紅張紅) )；P(P(王南王南) )；P(P(李華李華) )。一般地，一般地，P(xP(x) )：x x是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1212/70/70n 例例1.31.3如有句子：張紅是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生；王南是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生；李華是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個(gè)命題P，Q，R來(lái)表示。但是，它們

13、都具有一個(gè)共同的特征：但是，它們都具有一個(gè)共同的特征： “是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”因此，若將句子分解成：因此，若將句子分解成：“主語(yǔ)謂語(yǔ)主語(yǔ)謂語(yǔ)”用用P P表示表示“是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”，P P后緊跟后緊跟“某某某某人人”。則上述句子可寫為：。則上述句子可寫為：P(P(張紅張紅) )；P(P(王南王南) )；P(P(李華李華) )。一般地，一般地，P(xP(x) )：x x是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1313/70/70n 例例1.31.3如有句子：張紅是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生；王南是一個(gè)四

14、川大學(xué)的學(xué)生；李華是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個(gè)命題P，Q，R來(lái)表示。但是，它們都具有一個(gè)共同的特征： “是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生”因此，若將句子分解成：“主語(yǔ)謂語(yǔ)”用P表示“是一個(gè)四川大學(xué)的學(xué)生”，P后緊跟“某某人”。則上述句子可寫為：P(張紅)；P(王南)；P(李華)。一般地一般地，P(xP(x) )：x x是一個(gè)是一個(gè)四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。P P：謂詞：謂詞x x：客體詞：客體詞P(x)P(x)：命題函數(shù)：命題函數(shù)2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1414/70/70n 與謂詞相聯(lián)系的個(gè)體的數(shù)目，就是與謂詞相聯(lián)系的個(gè)體的數(shù)目，就是謂詞的元數(shù)謂詞的元

15、數(shù)。 描述描述一個(gè)個(gè)體的性質(zhì)的謂詞一個(gè)個(gè)體的性質(zhì)的謂詞叫叫“一元謂詞一元謂詞”。 描述描述兩個(gè)個(gè)體間的關(guān)系的謂詞兩個(gè)個(gè)體間的關(guān)系的謂詞叫叫“二元謂詞二元謂詞”。 如如A A：比比大大 命題命題4 4比比3 3大表示成大表示成A A（4 4，3 3） 描述描述三個(gè)個(gè)體間的關(guān)系三個(gè)個(gè)體間的關(guān)系的謂詞叫的謂詞叫“三元謂詞三元謂詞”。 如如B B：在在和和之間之間 B B（n,c,zn,c,z）：內(nèi)江在成都與重慶之間。）：內(nèi)江在成都與重慶之間。n 定義定義2.12.1：設(shè)：設(shè)D D是由客體構(gòu)成的稱為個(gè)體域的非空集合，是由客體構(gòu)成的稱為個(gè)體域的非空集合，以以D D中元素為值的變?cè)Q為客體變?cè)?。由形如中?/p>

16、素為值的變?cè)Q為客體變?cè)?。由形?謂詞標(biāo)識(shí)符（客體變?cè)^詞標(biāo)識(shí)符（客體變?cè)? 1，客體變?cè)?，客體變?cè)? 2，客體變?cè)?，客體變?cè)猲 n） 構(gòu)成的、其值為構(gòu)成的、其值為“真真”或或“假假”的表達(dá)式，稱為的表達(dá)式，稱為n n元謂詞。元謂詞。 即即n n元謂詞是描述元謂詞是描述n n個(gè)個(gè)體間的關(guān)系個(gè)個(gè)體間的關(guān)系。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1515/70/70n 與謂詞相聯(lián)系的個(gè)體的數(shù)目，就是謂詞的元數(shù)。 描述一個(gè)個(gè)體的性質(zhì)的謂詞叫“一元謂詞”。 描述兩個(gè)個(gè)體間的關(guān)系的謂詞叫“二元謂詞”。 如A：比大 命題4比3大表示成A（4，3） 描述三個(gè)個(gè)體間的關(guān)系的謂詞叫“三元謂詞”。

17、如B：在和之間 B（n,c,z）：內(nèi)江在成都與重慶之間。n 定義定義2.12.1：設(shè)設(shè)D D是由客體構(gòu)成的稱為是由客體構(gòu)成的稱為個(gè)體域個(gè)體域的非空集合，的非空集合，以以D D中元素為值的變?cè)Q為客體變?cè)?。由形如中元素為值的變?cè)Q為客體變?cè)?。由形?謂詞標(biāo)識(shí)符（客體變?cè)^詞標(biāo)識(shí)符（客體變?cè)? 1，客體變?cè)腕w變?cè)? 2，客體變?cè)腕w變?cè)猲 n） 構(gòu)成的、其值為構(gòu)成的、其值為“真真”或或“假假”的的表達(dá)式表達(dá)式，稱為，稱為n n元謂詞元謂詞。 即即n n元謂詞是描述元謂詞是描述n n個(gè)個(gè)體間的關(guān)系個(gè)個(gè)體間的關(guān)系。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1616/70/70n定義定義

18、2.12.1：設(shè)設(shè)D D為非空的個(gè)體域，定義在為非空的個(gè)體域，定義在D Dn n( (表示表示n n個(gè)個(gè)客體都在個(gè)體域客體都在個(gè)體域D D上取值上取值) )上取值于上取值于0,10,1上的上的n n元元函 數(shù) ， 稱 為函 數(shù) ， 稱 為 n n 元 命 題 函 數(shù) 或元 命 題 函 數(shù) 或 n n 元 謂 詞元 謂 詞 , , 記 為記 為P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )。此時(shí)，。此時(shí)，客體變?cè)腕w變?cè)獂 x1 1,x,x2 2, ,x,xn n的定義的定義域都為域都為D D， P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?0，1 1。n注

19、意：注意：n n元謂詞中的客體或客體變?cè)怯幸欢ù涡虻?。元謂詞中的客體或客體變?cè)怯幸欢ù涡虻摹?如如A A（4 4，3 3）為）為T T，A A（3 3，4 4）為）為F F。 如果謂詞中為客體變?cè)绻^詞中為客體變?cè)? ,我們稱為謂詞填式我們稱為謂詞填式( (謂詞命謂詞命名式名式,n,n元命題函數(shù)元命題函數(shù)) )。 如如S(x),A(x,yS(x),A(x,y) )，不能判斷真和假。，不能判斷真和假。 只有將具體的客體代替客體變?cè)拍芘袛嗾婧图?。只有將具體的客體代替客體變?cè)拍芘袛嗾婧图佟?2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1717/70/70n定義2.1：設(shè)D為非空

20、的個(gè)體域，定義在Dn(表示n個(gè)客體都在個(gè)體域D上取值)上取值于0,1上的n元函數(shù)，稱為n元命題函數(shù)或n元謂詞,記為P(x1,x2,xn)。此時(shí)，客體變?cè)獂1,x2,xn的定義域都為D， P(x1,x2,xn)的值域?yàn)?，1。n注意：注意：n n元謂詞中的客體或客體變?cè)怯幸欢ù涡虻?。元謂詞中的客體或客體變?cè)怯幸欢ù涡虻摹?如如A A（4 4，3 3）為）為T T，A A（3 3，4 4）為）為F F。 如果謂詞中為客體變?cè)绻^詞中為客體變?cè)? ,我們稱為我們稱為謂詞填式謂詞填式( (謂詞命謂詞命名式名式,n,n元命題函數(shù)元命題函數(shù)) )。 如如S(x),A(x,yS(x),A(x,y) )

21、，不能判斷真和假。，不能判斷真和假。 只有將具體的客體代替客體變?cè)?，才能判斷真和假。只有將具體的客體代替客體變?cè)?，才能判斷真和假?2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1818/70/70n 客體取值的范圍叫客體取值的范圍叫個(gè)體域個(gè)體域( (論域論域) )。 謂詞通常用于高級(jí)程序語(yǔ)言的控制語(yǔ)句中，謂詞通常用于高級(jí)程序語(yǔ)言的控制語(yǔ)句中， 如如 if x3 then y:=5if x3 then y:=5 x3 x3是謂詞，是謂詞，x3x3的值由的值由x x的現(xiàn)行值確定。的現(xiàn)行值確定。n n n元謂詞和命題的關(guān)系：元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+yP(x,y,z):x+

22、y=z 3=z 3元謂詞元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0元謂詞元謂詞( (命題命題)F)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴(kuò)充。的擴(kuò)充。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院1919/70/70n 客體

23、取值的范圍叫個(gè)體域(論域)。 謂詞通常用于高級(jí)程序語(yǔ)言的控制語(yǔ)句中， 如 if x3 then y:=5 x3是謂詞，x3的值由x的現(xiàn)行值確定。n n n元謂詞和命題的關(guān)系：元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+yP(x,y,z):x+y=z 3=z 3元謂詞元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0元謂詞元

24、謂詞( (命題命題)F)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴(kuò)充。的擴(kuò)充。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2020/70/70n 客體取值的范圍叫個(gè)體域(論域)。 謂詞通常用于高級(jí)程序語(yǔ)言的控制語(yǔ)句中， 如 if x3 then y:=5 x3是謂詞，x3的值由x的現(xiàn)行值確定。n n元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+y=z 3元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):

25、3+4=5 0元謂詞(命題)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴(kuò)充。的擴(kuò)充。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2121/70/70n 個(gè)體域?qū)γ}的真值有個(gè)體域?qū)γ}的真值有直接的影響直接的影響。 如如P(xP(x) :x) :x是科學(xué)家。是科學(xué)家。 x x在科學(xué)家范圍內(nèi)，則在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為為T T，x x不在科學(xué)家不在科學(xué)家范圍內(nèi)，則范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為為F F。 x x只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為永真。為永真。n 每個(gè)謂

26、詞一般都有各自的個(gè)體域，把各種個(gè)體每個(gè)謂詞一般都有各自的個(gè)體域，把各種個(gè)體域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個(gè)體域域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個(gè)體域（全論域）用（全論域）用E E表示。表示。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2222/70/70n 個(gè)體域?qū)γ}的真值有直接的影響。 如P(x) :x是科學(xué)家。 x在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為T，x不在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為F。 x只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為永真。n 每個(gè)謂詞一般都有各自的個(gè)體域，把各種個(gè)體每個(gè)謂詞一般都有各自的個(gè)體域，把各種個(gè)體域綜合在一起作為論述范圍的域叫域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個(gè)體域全

27、總個(gè)體域（全論域）（全論域）用用E E表示。表示。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2323/70/70幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 1）謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而n n元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述n n個(gè)客體之間的關(guān)系。個(gè)客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實(shí)際上就是一般的命題。實(shí)際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表

28、示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個(gè)）一個(gè)n n元謂詞不是一個(gè)命題，但將元謂詞不是一個(gè)命題，但將n n元謂詞中的客體變?cè)^詞中的客體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。元都用個(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)

29、院2424/70/70幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 1）謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而n n元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述n n個(gè)客體之間的關(guān)系個(gè)客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實(shí)際上就是一般的命題。實(shí)際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題

30、，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個(gè)）一個(gè)n n元謂詞不是一個(gè)命題，但將元謂詞不是一個(gè)命題，但將n n元謂詞中的客體變?cè)^詞中的客體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。元都用個(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2525/70/70幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 1）謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而n

31、元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述n個(gè)客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實(shí)際上就是一般的命題。實(shí)際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個(gè)）一個(gè)n n元謂詞不是一個(gè)命題，但將元謂詞不是一個(gè)命題，但將n n元謂詞中的客體變?cè)^詞中的客體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。元都用個(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，

32、客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2626/70/70幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 1）謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述n個(gè)客體之間的關(guān)系。3 3）0元謂詞(不含客體詞的)實(shí)際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不不同的，前者是有真值的，而后者不

33、是命題，它的真同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個(gè)）一個(gè)n n元謂詞不是一個(gè)命題，但將元謂詞不是一個(gè)命題，但將n n元謂詞中的客體變?cè)^詞中的客體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。元都用個(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2727/70/70幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 1）謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2

34、）一元謂詞用以描述某一個(gè)客體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞（二個(gè)以上）則用以描述n個(gè)客體之間的關(guān)系。3 3）0元謂詞(不含客體詞的)實(shí)際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和n元命題函數(shù)(n元謂詞)是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。5 5）一個(gè)）一個(gè)n n元謂詞不是一個(gè)命題，但將元謂詞不是一個(gè)命題，但將n n元謂詞中的客體變?cè)^詞中的客體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。元都用個(gè)體域中具體的客體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否而且，客體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響

35、。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2828/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在在蘇格拉底蘇格拉底三段論的例子中，如要對(duì)句子：三段論的例子中，如要對(duì)句子： P P：H(xH(x)D(xD(x) )（）求否定求否定，則，則有：有：(H(x(H(x)D(xD(x)H H( ()( () )H H( ()( () ) 上述式子說(shuō)明：上述式子說(shuō)明：“命題命題P”P”的否定是：的否定是：“所有的人都不死所有的人都不死”。 但這與人們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)命但這與人們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)命題：題：“所有人都是要死的所有人都是要死

36、的”的否定為：的否定為：“并非一切的人并非一切的人都是要死的都是要死的”。顯然相差甚遠(yuǎn)。顯然相差甚遠(yuǎn)。 其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對(duì)任意的對(duì)任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切地表示出并沒有確切地表示出“對(duì)任意對(duì)任意x”x”這個(gè)意思，亦即這個(gè)意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個(gè)命題不是一個(gè)命題2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2929/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在蘇格拉底三段論的例子中，

37、如要對(duì)句子： P：H(x)D(x)（所有的人都是要死的）求否定，則有：(H(x)D(x)H()() 上述式子說(shuō)明：上述式子說(shuō)明：“命題命題P”P”的否定是：的否定是：“所有的人都不死所有的人都不死”。但這與人們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)命題：。但這與人們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)命題：“所有人都是要死的所有人都是要死的”的否定為：的否定為：“并非一切的人都是并非一切的人都是要死的要死的”。顯然相差甚遠(yuǎn)。顯然相差甚遠(yuǎn)。 其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對(duì)任意的對(duì)任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切

38、地表示出并沒有確切地表示出“對(duì)任意對(duì)任意x”x”這個(gè)意思，亦即這個(gè)意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個(gè)命題不是一個(gè)命題2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3030/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在蘇格拉底三段論的例子中，如要對(duì)句子： P P：H(xH(x)D(xD(x) )（所有的人都是要死的）所有的人都是要死的）求否定，則有：(H(x)D(x)H()()H()()上述式子說(shuō)明：“命題P”的否定是：“所有的人都不死”。但這與人們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)命題：“所有人都是要死的”的否定為：“并非一切的人都是要死的”。顯然相差甚遠(yuǎn)。

39、其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對(duì)任意的對(duì)任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切地表示出并沒有確切地表示出“對(duì)任意對(duì)任意x x”這個(gè)意思，亦即這個(gè)意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個(gè)命題不是一個(gè)命題2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3131/70/70例例1.41.4：n 符號(hào)化下述命題：符號(hào)化下述命題： 1 1）所有的老虎所有的老虎都要吃人；都要吃人； 2 2）每一個(gè)人每一個(gè)人都會(huì)犯錯(cuò)誤；都會(huì)犯錯(cuò)誤； 3 3）有一些人有一些人會(huì)摔跤；會(huì)摔

40、跤； 4 4）有一些人有一些人是大學(xué)生；是大學(xué)生； 5 5）每一個(gè)帶傘的人每一個(gè)帶傘的人都不怕雨；都不怕雨； 6 6）有一些自然數(shù)有一些自然數(shù)是素?cái)?shù)。是素?cái)?shù)。 上述每一個(gè)描述量詞的語(yǔ)句下劃有上述每一個(gè)描述量詞的語(yǔ)句下劃有“下劃線下劃線”。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3232/70/70例例1.41.4（續(xù)（續(xù)1）n 解：解：設(shè)立如下謂詞：設(shè)立如下謂詞： R(x)R(x)：x x會(huì)吃人；會(huì)吃人；P(xP(x) )：x x會(huì)犯錯(cuò)誤；會(huì)犯錯(cuò)誤； N(xN(x) )：x x會(huì)摔跤；會(huì)摔跤；Q(xQ(x) )：x x是大學(xué)生；是大學(xué)生； C(xC(x) )：x x不怕雨；不怕雨；

41、S(xS(x) )：x x是素?cái)?shù)。是素?cái)?shù)。 則有：則有： 1 1）所有的）所有的x x，R(x) xR(x) x 老虎；老虎； 2 2）每一個(gè)）每一個(gè)x x，P(xP(x) x) x 人人 ； 3 3）有一些）有一些x x，N(xN(x) x) x 人人 ； 4 4）有一些）有一些x x，Q(xQ(x) x) x 人人 ； 5 5）每一個(gè)）每一個(gè)x x，C(xC(x) x) x 帶傘的人帶傘的人 ； 6 6）有一些）有一些x x，S(xS(x) x ) x 自然數(shù)自然數(shù) 。 2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3333/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅

42、僅只符號(hào)化了一部分內(nèi)容，而對(duì)上述一系列例子，都僅僅只符號(hào)化了一部分內(nèi)容，而對(duì)句子中的句子中的“對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)”，“對(duì)任意的對(duì)任意的”，“有一些有一些”等等等等無(wú)法用謂詞來(lái)表示無(wú)法用謂詞來(lái)表示，這些都是與客體詞的，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)數(shù)量有關(guān)的的語(yǔ)句。語(yǔ)句。n 為了把它們符號(hào)化，引進(jìn)如下兩個(gè)符號(hào)：為了把它們符號(hào)化，引進(jìn)如下兩個(gè)符號(hào)： ( ( x x ) ) : : 所 有 的所 有 的 x x ； ( ( x )x ) : : 有 些有 些 x x ； 任意的任意的x x； 至少有一個(gè)至少有一個(gè)x x； 一 切 的一 切 的 x x ； 存 在存 在 x x ； 每一個(gè)每一個(gè)x x；等等

43、。等等。 等等。等等。n 定義定義2.1.2:(2.1.2:( x x) )稱為全稱量詞稱為全稱量詞。( ( x)x)為存在量為存在量詞詞, ,其中其中的的x x稱為作用變量稱為作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x), (F(x), ( x)x)F(x)F(x)。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3434/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅僅只符號(hào)化了一部分內(nèi)容，而對(duì)句子中的“對(duì)每一個(gè)”，“對(duì)任意的”，“有一些”等等無(wú)法用謂詞來(lái)表示，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句。n 為了把它們符號(hào)化，引進(jìn)如下

44、兩個(gè)符號(hào)：為了把它們符號(hào)化，引進(jìn)如下兩個(gè)符號(hào)： ( ( x x ) ) : : 所 有 的所 有 的 x x ； ( ( x )x ) : : 有 些有 些 x x ； 任意的任意的x x； 至少有一個(gè)至少有一個(gè)x x； 一 切 的一 切 的 x x ； 存 在存 在 x x ； 每一個(gè)每一個(gè)x x；等等。等等。 等等。等等。n 定義定義2.2:(2.2:( x x) )稱為全稱量詞稱為全稱量詞。( ( x)x)為存在量為存在量詞詞, ,其中的其中的x x稱為作用變量稱為作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x), (F(x), ( x)x)

45、F(x)F(x)。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3535/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅僅只符號(hào)化了一部分內(nèi)容，而對(duì)句子中的“對(duì)每一個(gè)”，“對(duì)任意的”，“有一些”等等無(wú)法用謂詞來(lái)表示，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句。n 為了把它們符號(hào)化，引進(jìn)如下兩個(gè)符號(hào)： ( x ) : 所 有 的 x ； ( x ) : 有 些 x ； 任意的x； 至少有一個(gè)x； 一 切 的 x ； 存 在 x ； 每一個(gè)x；等等。 等等。n 定義定義2.2:2.2:( ( x x) )稱為稱為全稱量詞全稱量詞。( ( x)x)為為存在量存在量詞詞, ,其中的其中的x x

46、稱為稱為作用變量作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x)F(x), , ( ( x)x)F(x)F(x)。全稱量化命題全稱量化命題存在量化命題存在量化命題2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3636/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)2)2)n 在例在例1.41.4中，利用量詞則有：中，利用量詞則有： ( ( x)R(xx)R(x) )(x(x 老虎老虎) ( ( x)P(xx)P(x) ) (x (x 人人) ( ( x)N(xx)N(x) )(x(x 人人) ( ( x)Q(xx)Q(x) )(x(x 人人) ( (

47、 x)C(xx)C(x) )(x(x 帶傘的人帶傘的人) ( ( x)S(xx)S(x) )(x(x 自然數(shù)自然數(shù))n 前面蘇格拉底三段論中的前面蘇格拉底三段論中的P P也可表示為：也可表示為：( ( x)(H(x)D(xx)(H(x)D(x)。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3737/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)2)2)n 在例1.4中，利用量詞則有： (x)R(x)(x老虎) (x)P(x) (x人) (x)N(x)(x人) (x)Q(x)(x人) (x)C(x)(x帶傘的人) (x)S(x)(x自然數(shù))n 前面蘇格拉底三段論中的前面蘇格拉底三段論中的P P也

48、可表示為：也可表示為：( ( x)(H(x)D(xx)(H(x)D(x)。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3838/70/70不便之處不便之處n 1)1)從書寫上十分不便，總要特別注明個(gè)體域。從書寫上十分不便，總要特別注明個(gè)體域。 2)2)在同一個(gè)比較復(fù)雜的句子中，對(duì)于不同命題函數(shù)中在同一個(gè)比較復(fù)雜的句子中，對(duì)于不同命題函數(shù)中的個(gè)體可能屬于不同的個(gè)體域，此時(shí)無(wú)法清晰表達(dá)。的個(gè)體可能屬于不同的個(gè)體域，此時(shí)無(wú)法清晰表達(dá)。 3)3)有時(shí)，由于個(gè)體域的注明不清楚，造成無(wú)法確定其有時(shí)，由于個(gè)體域的注明不清楚，造成無(wú)法確定其真值。對(duì)于同一個(gè)公式，不同的個(gè)體域有可能帶來(lái)不真值。對(duì)于同一個(gè)

49、公式，不同的個(gè)體域有可能帶來(lái)不同的真值。同的真值。n 如如( ( x)x)(x(x6 65):5):1 1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，確有）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，確有x x-1-1使得使得x x6 65 5， 因此，因此，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“真真”。2 2）在正整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，則找不到任何）在正整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，則找不到任何x x，使得，使得 x x6 65 5為為“真真”，所以，所以，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“假假”。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3939/70/70不便之處不便之處n 1)1)從書寫上十分不便，總要特別注明個(gè)體域。 2)2)在同一個(gè)

50、比較復(fù)雜的句子中，對(duì)于不同命題函數(shù)中的個(gè)體可能屬于不同的個(gè)體域，此時(shí)無(wú)法清晰表達(dá)。 3)3)有時(shí)，由于個(gè)體域的注明不清楚，造成無(wú)法確定其真值。對(duì)于同一個(gè)公式，不同的個(gè)體域有可能帶來(lái)不同的真值。n 如如( ( x)x)(x(x6 65):5):1 1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，確有在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，確有x x-1-1使得使得x x6 65 5， 因此，因此，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“真真”。2 2）在正整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，則找不到任何在正整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，則找不到任何x x，使得，使得 x x6 65 5為為“真真”，所以，所以，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“假假”。2022-7-62

51、022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4040/70/70三、全總個(gè)體域三、全總個(gè)體域n 基于上述情況，有必要對(duì)個(gè)體域進(jìn)行統(tǒng)一，全部使用基于上述情況，有必要對(duì)個(gè)體域進(jìn)行統(tǒng)一，全部使用全總個(gè)體域，此時(shí)，對(duì)每一個(gè)句子中客體變量的變化全總個(gè)體域，此時(shí)，對(duì)每一個(gè)句子中客體變量的變化范圍用一定的范圍用一定的特性謂詞特性謂詞刻劃之。而統(tǒng)一成刻劃之。而統(tǒng)一成全總個(gè)體域全總個(gè)體域后，此全總個(gè)體域在謂詞公式中就不必特別說(shuō)明，常后，此全總個(gè)體域在謂詞公式中就不必特別說(shuō)明，常常省略不記。常省略不記。n 同時(shí)，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時(shí)必定遵循同時(shí)，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時(shí)必定遵循如下原則：如下原則： 1

52、1）對(duì)于全稱量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為）對(duì)于全稱量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為蘊(yùn)涵的前件加入。蘊(yùn)涵的前件加入。 2 2）對(duì)于存在量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為）對(duì)于存在量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為合取式之合取項(xiàng)加入。合取式之合取項(xiàng)加入。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4141/70/70三、全總個(gè)體域三、全總個(gè)體域n 基于上述情況，有必要對(duì)個(gè)體域進(jìn)行統(tǒng)一，全部使用全總個(gè)體域，此時(shí)，對(duì)每一個(gè)句子中客體變量的變化范圍用一定的特性謂詞刻劃之。而統(tǒng)一成全總個(gè)體域后，此全總個(gè)體域在謂詞公式中就不必特別說(shuō)明，常常省略不記。n 同時(shí)，這種特性謂詞在加入到命題

53、函數(shù)中時(shí)必定遵循同時(shí)，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時(shí)必定遵循如下如下原則原則： 1 1）對(duì)于全稱量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為對(duì)于全稱量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為蘊(yùn)涵的前件加入蘊(yùn)涵的前件加入。(P29)(P29) 2 2）對(duì)于存在量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為對(duì)于存在量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為合取式之合取項(xiàng)加入合取式之合取項(xiàng)加入。(P29)(P29)2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4242/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)3)3)n 對(duì)于例對(duì)于例1 14 4 中的例子運(yùn)用特性謂詞描述。中的例子運(yùn)用特性謂詞描述。解：解：1)1) U(x)

54、U(x)：x x是老虎；是老虎；( ( x x) )( (U(x)R(x)U(x)R(x)2)2) H(x)H(x)：x x是人；是人； ( ( x x) )(H(x)P(x)(H(x)P(x) )3)3) H(x)H(x)：x x是人；是人； ( ( x)x)( (H(x)H(x)N(x)N(x)4)4) H(x)H(x)：x x是人；是人；( ( x)x)( (H(x)H(x)Q(x)Q(x)5)5) M(x)M(x)：x x是帶傘的人；是帶傘的人； ( ( x x) )( (M(x)C(xM(x)C(x)6)6) T(x)T(x)：x x是自然數(shù)；是自然數(shù)；( ( x)(x)(T(x)T

55、(x)S(x)S(x)n蘇格拉底三段論可完整翻譯為：蘇格拉底三段論可完整翻譯為： ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)，H(S)H(S)D(S)D(S) ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)( ( x)x)( (H H( ()D(D()2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4343/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)3)3)n 對(duì)于例14 中的例子運(yùn)用特性謂詞描述。解：1) U(x)：x是老虎；(x)(U(x)R(x)2) H(x)：x是人； (x)(H(x)P(x)3) H(x)：x是人； (x)(H(x)N(x)4) H(x)：x是人；(x

56、)(H(x)Q(x)5) M(x)：x是帶傘的人； (x)(M(x)C(x)6) T(x)：x是自然數(shù)；(x)(T(x)S(x)n蘇格拉底蘇格拉底三段論可完整翻譯為：三段論可完整翻譯為： ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)，H(S)H(S)D(S)D(S) ( ( x x) )( (H(xH(x)D(xD(x) ) )( ( x)x)( (H H( ()D(D() ) )2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4444/70/70例例1.5:1.5:n 符號(hào)化下述語(yǔ)句符號(hào)化下述語(yǔ)句：1)1) 天下烏鴉一般黑；天下烏鴉一般黑；2)2) 那位身體強(qiáng)健的、用功的、肯于思

57、考的大學(xué)那位身體強(qiáng)健的、用功的、肯于思考的大學(xué)生，解決了一個(gè)數(shù)學(xué)難題；生，解決了一個(gè)數(shù)學(xué)難題；3)3) 張強(qiáng)和李平都是足球運(yùn)動(dòng)員；張強(qiáng)和李平都是足球運(yùn)動(dòng)員；4)4) 每個(gè)實(shí)數(shù)都存在比它大的另外的實(shí)數(shù)。每個(gè)實(shí)數(shù)都存在比它大的另外的實(shí)數(shù)。5)5) 并非所有的動(dòng)物都是脊椎動(dòng)物；并非所有的動(dòng)物都是脊椎動(dòng)物；6)6) 盡管有人很聰明，但未必一切人都聰明；盡管有人很聰明，但未必一切人都聰明；7)7) 對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的 00，必存在著，必存在著 00，使得對(duì)，使得對(duì)任意的任意的x x，只要，只要|x-a|x-a| ，就有：，就有： |f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|0)(0)()()(

58、0)0) (|x-a| (|x-a| )(|f(x)-f(a)(|f(x)-f(a)|)|0)(0)() )( ( ( 0)0) ( (|x-a|(|x-a| )(|f(x)-f(a)(|f(x)-f(a)|)| ) ) ) ) )2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院5252/70/70四、自由變?cè)c約束變?cè)?、自由變?cè)c約束變?cè)猲 定義定義2.32.3：在表達(dá)式在表達(dá)式 xA(xxA(x) )或或 xA(xxA(x) )中，中，x x稱為稱為指導(dǎo)指導(dǎo)（作用）變?cè)ㄗ饔茫┳冊(cè)?，A(xA(x) )稱為相應(yīng)量詞的稱為相應(yīng)量詞的轄域（作用域）轄域（作用域）。在轄域中在轄域中x x的所

59、有出現(xiàn)稱為的所有出現(xiàn)稱為x x在公式在公式A A中的約束出現(xiàn)，中的約束出現(xiàn)， 此時(shí)的變?cè)藭r(shí)的變?cè)獂 x稱為稱為約束變?cè)s束變?cè)?A A中不是約束出現(xiàn)的其它中不是約束出現(xiàn)的其它變?cè)Q為變?cè)Q為自由變?cè)杂勺冊(cè)?。n 例例1.61.6： a a） x(P(x)Q(x):x(P(x)Q(x): x x的轄域?yàn)榈妮犛驗(yàn)镻 P（x x）Q(x),xQ(x),x為約為約 束變?cè)?。束變?cè)?b b） xP(x)Q(x):xP(x)Q(x): x x的轄域?yàn)榈妮犛驗(yàn)镻(x),xP(x),x為約束出現(xiàn)，為約束出現(xiàn)， Q(xQ(x) )中的中的x x為自由出現(xiàn)。為自由出現(xiàn)。2022-7-62022-7-6計(jì)算機(jī)

60、學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院5353/70/70四、自由變?cè)c約束變?cè)?、自由變?cè)c約束變?cè)猲 定義2.3：在表達(dá)式xA(x)或xA(x)中，x稱為指導(dǎo)（作用）變?cè)?，A(x)稱為相應(yīng)量詞的轄域（作用域）。在轄域中x的所有出現(xiàn)稱為x在公式A中的約束出現(xiàn)， 此時(shí)的變?cè)獂稱為約束變?cè)?A中不是約束出現(xiàn)的其它變?cè)Q為自由變?cè) 例例1.61.6： a a） x x( (P(x)Q(x)P(x)Q(x) ): : x x的轄域?yàn)榈妮犛驗(yàn)镻 P（x x）Q(x),xQ(x),x為約為約 束變?cè)?。束變?cè)?b b） xP(x)Q(x):xP(x)Q(x): x x的轄域?yàn)榈妮犛驗(yàn)镻(x),xP(x),x為約束出現(xiàn)，為