高數(shù)第八章(5)平面及其方程.

1、第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 平面及其方程 第八八章 zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kji例例1.1.求過(guò)三點(diǎn),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(

2、14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過(guò)三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說(shuō)明說(shuō)明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(,

3、 )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程

4、方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過(guò)原點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

5、返回 結(jié)束 例例2. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解解: 因平面通過(guò) x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy(P40 例4 , 自己練習(xí)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121

6、cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此有例例4. 一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1

7、() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo0M例例6.解解: 設(shè)球

8、心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得令令tcba 61161,

9、61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(1111CBAn 思考與練習(xí)思考與練習(xí)P42 題4 , 5, 8第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P42 2 , 6 , 7 , 9備用題備用題求過(guò)點(diǎn) 且垂直于二平面 和 的