奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總初

1、奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總(初一)第一章整數(shù)一、整數(shù)的幾種表示方法：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽粋€(gè)整數(shù)，是解決整數(shù)問(wèn)題的基本方法之一。它是解決整數(shù)問(wèn)題的前提。1、整數(shù)的多項(xiàng)式表示法：任何一個(gè)十進(jìn)制的正整數(shù)N都可表示為：Nan10nan110n1JUa2102a110a0,這里an、an1a2、a1、a各取于09這十個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)。如果N是一個(gè)n+1位正整數(shù)，則an00為了方便，也可將N簡(jiǎn)記作Nanan1“,代。這種表示法稱(chēng)為整數(shù)的多項(xiàng)式表示法。整數(shù)最左邊的一位數(shù)字an叫做整數(shù)N的首位數(shù)字，最右邊的一位數(shù)字a。叫做整數(shù)N的末位數(shù)字。2、整數(shù)的質(zhì)因數(shù)連乘積表示法：(1)算術(shù)基本定理一一每一個(gè)大于1的整數(shù)都能分解成

2、質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，并且如果把質(zhì)因數(shù)按照由小到大的順序排在一起(相同因數(shù)的積寫(xiě)成幕的形式)，那么這種分解方法是唯一的。這就是說(shuō)，任何一個(gè)整數(shù)N(N1),都能唯一地表示成下面的形式:其中為自然數(shù)，Pl,P2，W，Pn為質(zhì)數(shù)，并且PlP21）,如果它的標(biāo)準(zhǔn)分解式為NPi1P22HlPnn那么它的約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+1）（1+2）（1+n）。另外，如果一個(gè)正整數(shù)N的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么這個(gè)正整數(shù)N是完全平方數(shù)。3、整數(shù)的帶余式表示法：如果整數(shù)a除以正整數(shù)m所得的商是q,余數(shù)是r,那么a=mq+r,其中q、r都為整數(shù)，并且0&r&m-1。這種表示法稱(chēng)為整數(shù)的帶余式表示法。如果整數(shù)a、b分別除以正整數(shù)m所得

3、得余數(shù)都是r,即a=mP+r,b=mq+r（P、q為整數(shù)），那么稱(chēng)a,b對(duì)于模m同余，記作a=b（modm容易推知對(duì)于模m而言，與a同余的一切整數(shù)可以表示為mt+r（t為整數(shù)），這里r=0,1,，mr1。把所有這樣的整數(shù)作為一類(lèi)，稱(chēng)為以m為模的一個(gè)同余類(lèi)。一般地，對(duì)于模m而言，應(yīng)當(dāng)有m個(gè)同余類(lèi)存在，可分別表示為：mt,mt+1,mt+2,mt+（m1）（t為整數(shù)）。任何一個(gè)整數(shù)必定屬于并且也僅屬于其中一個(gè)同余類(lèi)。這樣一切整數(shù)就可以按照模m進(jìn)行同余分類(lèi)，把無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)分成有限個(gè)同余類(lèi)，為我們解決問(wèn)題帶來(lái)方便。特別地，按模2分類(lèi)，就得奇數(shù)與偶數(shù)兩類(lèi)；例如按模3分類(lèi)，就有三個(gè)同余類(lèi)：3t,3t+1,3

4、t+2（t為整數(shù)）有時(shí)將3t+2寫(xiě)成3t1二、數(shù)的整除特性：任意兩個(gè)整數(shù)相加、減、乘的結(jié)果都是整數(shù)，但兩個(gè)整數(shù)相除，它們的商就不一定是整數(shù)了，也就是說(shuō)，整數(shù)對(duì)加、減、乘的運(yùn)算是封閉的，而對(duì)于除法并不是封閉的。這樣就出現(xiàn)了整除與余數(shù)的兩個(gè)概念。1、整除的定義：對(duì)于整數(shù)a、b(bw0),如果a除以b得到的商是一個(gè)整數(shù)q,即a+b=q或a=bq,則稱(chēng)a能被b整除，或稱(chēng)b能整除a,記作b a ,果b不能整除a,記作ba2、數(shù)的整除的若干性質(zhì)：根據(jù)整除的定義，有如下性質(zhì)：(1)如果a b , ac, nn, n為整數(shù)，那么a (mb(2)如果a b , b c ,那么a c。(3)如果a bc ,且a、

5、b互質(zhì),那么a c。(4)如果ab, c b ,且a, c互質(zhì),那么ac b。(5) n個(gè)連續(xù)整數(shù)的連乘積，一定能被1X2X3此時(shí)a叫做b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)；如nc).x n整除3、數(shù)的整除特征:1）能被2（或5）整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字能被2（或5）整除。（2）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。（3）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。（4）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之后能被3（或9）整除。（5）能被11整除的數(shù)的特征：奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差能被11整除。（6）能被7、11、13整除的數(shù)的特征：奇位千進(jìn)位

6、數(shù)段之和與偶位千進(jìn)位數(shù)段之和的差能被7、11、13整除。上述性質(zhì)與特征是解決整除問(wèn)題的重要理論依據(jù)。解決整除問(wèn)題常用的方法有：利用數(shù)的整除特征，湊連續(xù)整數(shù)乘積法，整數(shù)的多項(xiàng)式表示法，按同余分類(lèi)整數(shù)表示法、考慮余數(shù)法、奇偶性分析法等等。4、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：一個(gè)大于1的正整數(shù)a,如果只有1和a這兩個(gè)約數(shù)，那么a叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù);如果除了1和a這兩個(gè)約數(shù)外，還有其他正約數(shù)，那么a叫做合數(shù)。這樣，自然數(shù)按約數(shù)的個(gè)數(shù)可分為0、1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)四類(lèi)。在關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的問(wèn)題中，除了廣泛運(yùn)用它們的定義外，還要運(yùn)用如下關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的性質(zhì)：質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是2，不存在最大的質(zhì)數(shù)。除2以外的全體偶數(shù)是合數(shù)

7、，除2以外的全體質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。(3)任何大于1的自然數(shù)都可以分解成質(zhì)因數(shù)的乘積，即N=P11P22“Pnn(N為大于1的自然數(shù)，Pi,P2,|“Pn為質(zhì)數(shù)，1,2,Wn為正整數(shù))。如果不考慮這些質(zhì)因數(shù)的順序，這種分解方法是唯一的。質(zhì)數(shù)與合數(shù)問(wèn)題是數(shù)論中的另一個(gè)基本問(wèn)題，解決的常用方法有質(zhì)數(shù)分析法、分解質(zhì)因數(shù)法、余數(shù)法、因式分解法等等。5、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)：若a1,a2,|an是不全為零的整數(shù)，并且da,da2，U|dan,則d叫做a1,a2,|an的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的數(shù)叫做這n個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，記作(a1,a2,|an)=d。若&舊2,|辰都是正整數(shù)，且(現(xiàn)色,|辰)=1,則稱(chēng)為但,|

8、a0這n個(gè)數(shù)互質(zhì)或互素。互質(zhì)的數(shù)不一定都是質(zhì)數(shù)，但幾個(gè)不同的質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)。若a1,22,”,和m均為正整數(shù)，且a1m,a?mJ“anm,則稱(chēng)m是a1,a2,”|an的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小白數(shù)叫做這n個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，記作&,a2j“anm。有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)如下：(1)如果ba,那么(a,b)=b,a,b=a。(2)如果(a,b)=d,那么(ka,kb)=kd,(-,-)1(k為正整數(shù))。dd如果a,b=m,那么ka,kb=km,a,bm,(m,m)1(k為正整數(shù)，c為a,b的公約cccab數(shù))。(4)如果(a,b)=1,那么(a,bc)=(a,c)(5)如果(a,b)=d,a,

9、b=m,貝Uab=md或者m=ab,dab0dm6、整數(shù)問(wèn)題：整數(shù)有三種表示方法：多項(xiàng)式表示法、質(zhì)因數(shù)表示法與帶余式表示法。要會(huì)靈活運(yùn)用整數(shù)各種表示法解題。解決整數(shù)問(wèn)題，余數(shù)法、反證法、奇偶性分析、抽屜原理是常用方法。7、奇數(shù)與偶數(shù)：在整數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常把奇數(shù)記為2n+1,把偶數(shù)記為2n,這里n為整數(shù)。要注意0也是偶數(shù)。一切整數(shù)分成兩大部分：奇數(shù)和偶數(shù)。一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)不會(huì)相等，這種數(shù)的奇偶性是整數(shù)最基本的性質(zhì)。奇數(shù)與偶數(shù)有以下一些重要性質(zhì)：(1)奇數(shù)加奇數(shù)，其和是偶數(shù)；奇數(shù)加偶數(shù)，其和是奇數(shù)；偶數(shù)加偶數(shù)，其和是偶數(shù)。一般地奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶

10、數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，任意個(gè)偶數(shù)的和總是偶數(shù)(2)奇數(shù)減奇數(shù)，其差是偶數(shù)；奇數(shù)減偶數(shù)或偶數(shù)減奇數(shù)，其差都是奇數(shù)；偶數(shù)減偶數(shù)，其差是偶數(shù)。(3)奇數(shù)乘奇數(shù)，其積是奇數(shù)；奇數(shù)乘偶數(shù)，其積是偶數(shù)；偶數(shù)乘偶數(shù)，其積是偶數(shù)。一般地，N個(gè)奇數(shù)的積是奇數(shù)；幾個(gè)整數(shù)相乘，如果其中有偶數(shù)，那么乘積是偶數(shù)。(4)如果一個(gè)偶數(shù)被奇數(shù)整除，則其商是偶數(shù)；如果一個(gè)奇數(shù)能被一個(gè)奇數(shù)整除，則其冏是奇數(shù)。對(duì)于奇數(shù)、偶數(shù)的上述四條性質(zhì)，通常稱(chēng)為奇偶性原理。在解決一些有關(guān)整數(shù)問(wèn)題時(shí)，靈活而巧妙地運(yùn)用這些性質(zhì)，再加上正確的推理分析，在解題中會(huì)收到較好的效果。第二章整式1、有理數(shù)及其運(yùn)算技巧：在自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上引入負(fù)數(shù)后，數(shù)集就

11、擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍。也就是說(shuō)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。有理數(shù)通?？杀硎境煞?jǐn)?shù)2形式，這里m,n都是整數(shù)，且m0m運(yùn)則運(yùn)算對(duì)有理數(shù)是封閉的，即任意兩個(gè)有理數(shù)相加、相減、相乘、相除(除數(shù)不為零)結(jié)果的和、差、積、商仍為有理數(shù)。有理數(shù)可以作以下兩種分類(lèi)：正整數(shù)f整數(shù)零負(fù)整數(shù)有理數(shù)正有限小數(shù)一正分?jǐn)?shù)正無(wú)限循邛小數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)有限小數(shù)1負(fù)無(wú)限循環(huán)小數(shù)正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)1負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)可以比較大小，任意兩個(gè)有理數(shù)之間都有無(wú)窮府哦個(gè)有理數(shù)，有理數(shù)的巧算是一種基本的運(yùn)算技巧。巧算的關(guān)鍵是從整體上觀察算式和其中每個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，尋求一定的規(guī)律，以簡(jiǎn)化計(jì)算工作量。常用方法有：1、分組計(jì)算(湊整法、

12、應(yīng)用運(yùn)算定律、應(yīng)用添(去)括號(hào))；2、拆項(xiàng)法【11 1 .11(11).n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k11/11、11/1()；( n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2) (n a)(n b) a b n a氣)】 n b3、換元計(jì)算；4、倒寫(xiě)相加或叫反序求和法；5、錯(cuò)位相減法；6、探索規(guī)律法；7、應(yīng)用幕的性質(zhì)；7、逆向思維法2、乘法公式：一般常用的乘法公式有：(1) (a b)(a b) a2 b2 ; TOC o 1-5 h z ，i222(ab)a2abb;(ab)3a33a2b3ab2b3;(ab)3a33a2b3ab2b3;(ab)(a

13、2abb2)a3b3;(ab)(a2abb2)a3b3；(abc)2a2b2c22ab2bc2ac在熟練掌握上述基本公式的基礎(chǔ)上，將這些公式變形逆用可得下面的重要公式：a2b2(ab)22ab,或者a2b2(ab)22ab;(ab)2(ab)24ab; TOC o 1-5 h z a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcac);331、/2|2、ab(ab)(aabb);a3b3(ab)(a2abb2);/i2221222abcabbcac-(ab)(bc)(ca)23、整式的運(yùn)算與求值：整式的運(yùn)算就是將一個(gè)整式通過(guò)恒等變形變換成另一個(gè)與之恒等的式子。它包括代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求代數(shù)式的

14、值等。在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，代數(shù)式的運(yùn)算與求值是兩個(gè)基本內(nèi)容，其方法靈活多變，技巧性強(qiáng)。所以進(jìn)行整式的運(yùn)算與求值除了掌握一些基本方法外，還應(yīng)掌握一些典型的技巧和特殊的方法。常用方法有：（1）、觀察找規(guī)律；（2）、整體代入法；（3）、拆添項(xiàng)法；（4）、套用公式法等等。4、整式的恒等變形：恒等式分為兩類(lèi)：一般恒等式和條件包等式。例如（ab）2a22abb2,不論a、b取任何實(shí)數(shù)，等式總能成立，稱(chēng)這類(lèi)等式為一股恒等式。又如，當(dāng)a+b=0時(shí)，a2b20,這個(gè)等式對(duì)任意a、b的值并不成立，僅當(dāng)滿(mǎn)足a+b=0時(shí)才成立，稱(chēng)這類(lèi)等式為條件包等式。在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，包等變形是重要的基本內(nèi)容之一。所謂恒等變形是指在字

15、母允許的范圍內(nèi)，把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式。包等變形方法靈活多變，技巧性也很強(qiáng)。常用方法和技巧有：（1）配方法；（2）換元法；（3）代入法；（4）差、商比較法（作差法、作商法）；（5）消元法；5、有理數(shù)的表示法及其應(yīng)用：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)叫做有理數(shù)。有理數(shù)總可以表示成既約分?jǐn)?shù)-p（其p、q是沒(méi)q有公因數(shù)的整數(shù)，且qw0）。例如，-=0.5,-0.6,。23第三章一次方程與一次不等式一元一次方程的一般表達(dá)式：ax=b（a、b均為常數(shù)）當(dāng)aw0時(shí)，方程ax=b有唯一的解x=；a當(dāng)a=0,b=0時(shí)，方程ax=b有無(wú)數(shù)多個(gè)解，即方程的解為任何實(shí)數(shù);當(dāng)a=0,bw0時(shí)，方程ax=b無(wú)解

16、一元一次不等式有四種類(lèi)型，即axb,axb,axb,axb。這里aw0,且a、b均為常數(shù)不等式的基本性質(zhì)：ab,bcac;(2)aba+cb+c;(3)aba-cb-c;(4)ab,c0acbc;(5)ab,c0ac0ab;a-b=0a=ba-b0ab這樣的一種基本形式。由不等式的性質(zhì)知：(1)當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為xb。a(2)當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為x0,不等式無(wú)解；若b0,不等式的解為任意實(shí)數(shù)。對(duì)于一般由兩個(gè)不等式組成的不等式組，可分別解出每一個(gè)不等式，而兩個(gè)不等式的解總可歸納成如下四種情況(設(shè)aa,不等式組的解集為xb.xb,情形千xa,不等式組的解集為xa。xa,不等式組的解集為axb

17、xb,情形4?xb,4、含絕對(duì)值的一次方程和一次不等式：帶有絕對(duì)值符號(hào)的方程和不等式，可以利用絕對(duì)值的定義脫去絕對(duì)值符號(hào)而化為普通的方程和不等式進(jìn)行求解，關(guān)鍵時(shí)不要忽視去絕對(duì)值符號(hào)的條件。一般常利用分類(lèi)討論法在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，要注意所劃分的類(lèi)別之間不重復(fù)、不遺漏。常用方法有：（1）零點(diǎn)分段法；（2）逐層去絕對(duì)值法。5、應(yīng)用問(wèn)題：列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)出未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作出結(jié)論等步驟。常見(jiàn)題型：（1）水電費(fèi)問(wèn)題；（2）順流、逆流問(wèn)題；（3）鐘表問(wèn)題；（4）扶梯問(wèn)題;（5）追擊相遇問(wèn)題（如環(huán)形跑道問(wèn)題）；（6）濃度問(wèn)題；（7）工程問(wèn)題；（8）面積、體積問(wèn)題；第四章簡(jiǎn)單幾何圖計(jì)

18、數(shù)問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱門(mén)課題。對(duì)于簡(jiǎn)單的幾何圖形的計(jì)數(shù)常用的有枚舉法、分類(lèi)計(jì)數(shù)法和分步計(jì)數(shù)法。先將要計(jì)數(shù)的所有對(duì)象一一列舉出來(lái)，最后計(jì)算總數(shù)，這種方法稱(chēng)為枚舉法。如果完成一件事有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有n種不同方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同方法，在第n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件事共有mim2|mn種不同的方法。這種方法稱(chēng)為分類(lèi)計(jì)數(shù)法。如果完成一件事需分k個(gè)步驟，依次完成各步后，整件事也就完成了。若完成其中各步的方法分別有ni,n2,2種，那么完成這件事共有n1出|,種不同的方法。這種方法稱(chēng)為分類(lèi)計(jì)數(shù)法。1、線(xiàn)段、角：一條直線(xiàn)上有n個(gè)分點(diǎn)，則以這n個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段共有網(wǎng)條。當(dāng)這n

19、個(gè)點(diǎn)不2共線(xiàn)時(shí)，此算式也成立。一般地，如果一條線(xiàn)段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線(xiàn)段一共分成n(n3條線(xiàn)段。2(3)平面上四個(gè)點(diǎn)，可確定1條或4條或6條直線(xiàn)。一條直線(xiàn)上任取n個(gè)互不重合的點(diǎn)，共有2n條射線(xiàn)。(5)射線(xiàn)上任取n個(gè)互不重合的點(diǎn)，共有n條射線(xiàn).(6)線(xiàn)段上任取n個(gè)互不重合的點(diǎn)，共有(n2)(n”條線(xiàn)段。2(7)平面上有n(n2)條互不重合的直線(xiàn)，那么最多有n(n1)個(gè)交點(diǎn);2(8)平面上有n(n3)條互不重合的直線(xiàn)，由交點(diǎn)組成的線(xiàn)段的條數(shù)最多有n(n條線(xiàn)2段。(9)平面上有n條互不重合的直線(xiàn)，可以把平面最多分成n(口1=-一匕二部分222、垂線(xiàn)、平行線(xiàn)：平面內(nèi)

20、兩條不同直線(xiàn)有兩種位置關(guān)系：相交與平行。兩條不同直線(xiàn)，若它們有一個(gè)公共點(diǎn)，我么說(shuō)它們相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。兩條不同直線(xiàn)不能有兩個(gè)或更多的公共點(diǎn)。相交關(guān)系中最重要的是垂直。與垂直相關(guān)的知識(shí)：(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；(2)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的連線(xiàn)中，垂線(xiàn)段最短。在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。關(guān)于平行線(xiàn)最重要的是平行公理，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)平行于已知直線(xiàn)。設(shè)兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，則有：同位角相等兩直線(xiàn)平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行。3、趣味角的求和：“三角形的內(nèi)角和等于180”是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，它是解決許多角度求和

21、問(wèn)題的基礎(chǔ)。解決一類(lèi)有趣的角度求和問(wèn)題：折多邊形的頂角求和。如下圖：4、兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短：兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短是一個(gè)很重要的結(jié)論，在現(xiàn)實(shí)生活中它的應(yīng)用也十分廣泛。它有一個(gè)直接的推論是：三角形兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。由此可解決許多幾何中的趣題。解決幾何中有關(guān)最短與最小的問(wèn)題，常用到軸對(duì)稱(chēng)這一幾何工具。對(duì)于平面上兩個(gè)圖形，如果將其中一個(gè)圖形沿某條直線(xiàn)L折疊，可使這兩個(gè)圖形疊合在一起，我么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于直線(xiàn)L對(duì)稱(chēng)，叫直線(xiàn)L為對(duì)稱(chēng)軸。兩個(gè)圖形上互相重合的點(diǎn)，叫做關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形具有下面的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；對(duì)稱(chēng)圖形是全等形；對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離相

22、等。5、圖形計(jì)數(shù)：常用的方法有：枚舉法；分類(lèi)計(jì)數(shù)法；分步計(jì)數(shù)法、樹(shù)形圖、染色法等。在計(jì)數(shù)中要做到不重復(fù)、不遺漏。第五章趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題1、簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題：計(jì)數(shù)就是數(shù)一數(shù)或算一算某類(lèi)確定對(duì)象的個(gè)數(shù)，比如：某一給定的幾何圖形中有多少個(gè)正方形；某次籃球單循環(huán)賽多少場(chǎng)。解答這些問(wèn)題需要掌握一定的計(jì)數(shù)方法。如枚舉法、分類(lèi)法、加法原理和乘法原理、染色法等數(shù)學(xué)方法。2、觀察、歸納與猜想：觀察、歸納與猜想是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的方法之一，當(dāng)我們碰到一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，涉及到相當(dāng)多乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，常常通過(guò)對(duì)若干簡(jiǎn)單的、特殊的情況進(jìn)行分析觀察，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某一種猜想，探索出解決問(wèn)題的途徑，再通過(guò)對(duì)作出的結(jié)論的

23、證明，最后得出命題的正確性，這種研究問(wèn)題的方法叫做歸納法。3、最大與最?。涸谌粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到一些在一定條件下求最大值和最小值問(wèn)題，從一個(gè)地方到另一個(gè)地方，如何走可以使所走的路程盡可能地短，車(chē)費(fèi)最省；一件工程如何安排工期最短；發(fā)運(yùn)貨物如何調(diào)運(yùn)才能使費(fèi)用最少？這類(lèi)問(wèn)題有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也常出現(xiàn)這種最大值和最小值問(wèn)題。如“將軍飲馬”問(wèn)題用的是“對(duì)稱(chēng)原理”。另若兩個(gè)數(shù)的和為定值，則當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，乘積最大；（ab（4）2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b2時(shí)等號(hào)成立）。這種情況可以推廣為：如果aia2為定值，則當(dāng)aia?|an時(shí)，ai,a2,|,an的乘積最大。在周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大

24、；在周長(zhǎng)相等邊數(shù)也相等的多邊形中，正多邊形的面積最大；周長(zhǎng)相等的正多邊形中，邊數(shù)愈多的正多邊形面積最大，當(dāng)邊數(shù)無(wú)限地增多時(shí)，多邊形愈來(lái)愈接近圓。因此，在周長(zhǎng)一定的條件下，有正三角形面積（正方形面積（正五邊形面積圓面積。再如：把14分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，如何分拆可以使這些自然數(shù)的乘積最大？本例是自然數(shù)分拆的典型例子，本例的解法可推出一般的結(jié)論。解：考慮到以下幾步：步1：分拆成的自然數(shù)中不應(yīng)含有1，因?yàn)?與任何數(shù)的乘積仍為原數(shù)，而將1加到其他任一個(gè)加數(shù)上，將使乘積更大。步2：分拆的加數(shù)不應(yīng)超過(guò)4，否則可以將這個(gè)加數(shù)拆成兩個(gè)大于1的加數(shù)，從而使乘積更大；步3：分拆出的數(shù)中如果有4，可以用22代替；步4:分拆的加數(shù)中2至多只有2個(gè)，否則，可用兩個(gè)3替換3個(gè)2,因?yàn)?X32X2X2,替換后乘積更大。通過(guò)以上分析可以知道，應(yīng)將14拆成若干個(gè)2與3的和，2至多出現(xiàn)兩次，此時(shí)這些加數(shù)的乘積最大。將14拆寫(xiě)成14=3+3+3+3+2,即將14分拆成4個(gè)3與1個(gè)2的和時(shí)，這些加數(shù)的乘積最大，最大值為342162。常用的方法還有“抽屜原理“。4、邏輯推理問(wèn)題：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題幾乎不涉及幾