數(shù)學(xué)分析華東師大第四版章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù) 一元函數(shù) ，自變量只有一個； 多元(n元)函數(shù) ， 自變量有n個( )(xfy),(21nxxxfy2n多元函數(shù)的例子 1.圓的面積與橢圓的面積； 2.正方形的面積與長方形的面積 二元函數(shù) 我們這節(jié)課將討論二元函數(shù)。有關(guān)的概念、理論與方法可以平行地推廣到一般的多元函數(shù)上去。二元函數(shù)的定義域 一元函數(shù)的定義域是實數(shù)軸上的點集； 二元函數(shù)的定義域是坐標(biāo)平面上的點集. 坐標(biāo)平面與平面點集 在平面上確定了一個直角坐標(biāo)系之后，所有有序?qū)崝?shù)對(x,y)與平面上所有的點之間就建立了一一對應(yīng)。確定了直角坐標(biāo)系的平面，稱為坐標(biāo)平面； 在坐標(biāo)平面上滿足某種條件P的點的集合稱為平面點集，記

2、作),( | ),(),( : ),(PyxyxEPyxyxE滿足某種條件或滿足某種條件平面點集的例子.,: ),(,: ),(. 3;)()( : ),(0,),(. 2;,: ),(. 122020002dcbadycbxayxdycbxayxRyyxxyxRyxyxyxR笛卡爾積有的點的集合是矩形的邊界及其內(nèi)部所的集合是為半徑的圓內(nèi)所有的點以為中心以成的集合是坐標(biāo)平面上所有的點構(gòu)二元函數(shù)的定義.)(,.),(),(,),(.),(,:,),(,2RDffyxfyxfzDyxzfyxfDyxfzRDfDfzyxPDfRD記作的值域全體函數(shù)值的集合稱為處的函數(shù)值在點稱為稱為因變量的自變量，稱

3、為和的定義域，稱為記作上的二元函數(shù)為定義在則稱與之對應(yīng)都有唯一確定的實數(shù)中每一點對于若按照某種對應(yīng)法則設(shè)平面點集求二元函數(shù)的定義域與值域.11),(. 4;2),(. 3; )(1),(. 2);0,(),(. 1222222yxyxfzyxxyyxfzyxyxfzbaybxayxfz函數(shù)函數(shù)函數(shù)的實數(shù)是不為函數(shù)中鄰域的概念2R.),(),(),(| ,|:|),(),(| ,|:|),(;),()()(0: ),(;),()()( : ),(,),(000000000000220200022020200方形鄰域為中心的空心稱為以點且平面點集方形鄰域；為中心的稱為以點平面點集圓形鄰域為中心的空

4、心稱為以點平面點集圓形鄰域為中心的稱為以點平面點集對于yxPyxyxyyxxyxyxPyyxxyxyxPyyxxyxyxPyyxxyxRyx中鄰域的概念2R點集之間的關(guān)系：利用鄰域可以描述點與來表示或并以記號泛指這兩種形狀的鄰域鄰域鄰域或者空心的通常用點.),(),(,pUPUP內(nèi)點、外點與邊界點的概念.,),(),(, 0.,. 3,),(),(. 2,),(),(. 1),(22EEEEpUEpUEPEEPEPEpUpUPEPEpUpUPRERyxPc記作的邊界的全體邊界點構(gòu)成都不是空集！以及有即對任何正數(shù)的邊界點是稱點的點又含有不屬于的點于的任何鄰域內(nèi)既含有屬若在點的外點；是稱點空集使得

5、的某個鄰域若存在點的內(nèi)點；是稱點使得的某個鄰域若存在點之一：之間必有以下三種關(guān)系與任意一個點集任意一點內(nèi)點、外點與邊界點的概念 1. 點集E的內(nèi)點一定屬于E; 2. 點集E的外點一定不屬于E; 3. 點集E的邊界點有可能屬于E, 也有可能不屬于E聚點與孤立點的概念.,),(),(,. 2!.,),(. 1),(22的孤立點是稱點空集使得的某個空心鄰域且存在點若點內(nèi)點一定是聚點也有可能不屬于聚點有可能屬于的聚點；是稱點中的點內(nèi)都含有的任何空心鄰域若在點：與任意一個點集任意一點EPEpUpUPEPEEEPEpUPRERyxP.;41: ),(;14: ),(;41: ),(;41: ),(41:

6、),(22222222222222無孤立點一切聚點構(gòu)成的集合為或一切外點構(gòu)成的集合為或者為一切邊界點構(gòu)成的集合一切內(nèi)點構(gòu)成的集合為設(shè)平面點集yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxE開集與閉集，開區(qū)域與閉區(qū)域 1. 若平面點集E中每一點都是E的內(nèi)點，則稱E為開集. 2. 若平面點集E的所有聚點都屬于E，則稱E為閉集. 3. 非空的連通開集稱為開區(qū)域. 4. 開區(qū)域連同其邊界構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域. 若集合E中任意兩點之間都可以用屬于E的折線連接起來，則稱E為連通集!既開又閉的平面點集 規(guī)定 和空集既是開集又是閉集.2R點集的直徑，有界集與無界集.,)(,)().,(sup)(.)()()

7、,(),(),(,21,221221212122112121為無界點集則稱若為有界點集；則稱為有限值若的直徑定義為點集兩點之間的距離定義為和時，和的坐標(biāo)分別為當(dāng)EEdEEdPPEdEyyxxPPPPyxyxPPEPP完備性定理 一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)是實數(shù)理論，即反映實數(shù)系完備性的六個等價定理。 這些定理可以推廣到 ，它們是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)。2R平面點列的收斂性.limlim),(),(., 0lim),(lim.,00000000202yyxxPPyxPyxPPPPPRPRPnnnnnnnnnnnnnn等價于收斂于點則點列設(shè)收斂于點則稱點列如果為一固定點為平面點列設(shè)Cauchy收斂準(zhǔn)則

8、.),(, 0pnnnPPpNnNP，都有時，對于一切自然數(shù)使得當(dāng)一定存在某個自然數(shù)對于任意給定的收斂平面點列閉區(qū)域套定理., 2 , 1, 0)(lim)2(;, 2 , 1,) 1 (,012nDPDdnDDRDnnnnnn則存在唯一的點它滿足下面兩個條件：中的閉區(qū)域列是設(shè)聚點定理中至少有一個聚點。在則為有界無限點集設(shè)22,RERE Bolzano-Weierstrass定理,2knnPRP一定存在一個收斂子列任意一個有界無限點列有限覆蓋定理.,1212nkknDDRD使得域則一定存在有限個開區(qū)所覆蓋它被一開區(qū)域族是一個有界閉區(qū)域設(shè)n元函數(shù)的定義.,),(.,),(212121稱為這個點的

9、坐標(biāo)個實數(shù)中的一個點稱為每個有序?qū)崝?shù)組記作維向量空間的全體稱為所有有序?qū)崝?shù)組nnnnnxxxnRxxxRnxxxn元函數(shù)的定義.)(,.),(),(,),(.,),(,:,),(,212121212121REffxxxfxxxfyExxxyfxxxfExxxfyREfnEfyxxxPEfREnnnnnnn記作的值域全體函數(shù)值的集合稱為處的函數(shù)值在點稱為稱為因變量的自變量，稱為的定義域，稱為記作元函數(shù)上的為定義在則稱與之對應(yīng)都有唯一確定的實數(shù)中每一點對于若按照某種對應(yīng)法則設(shè)點集 極限理論極限理論二元函數(shù)的極限此式稱為二重極限。為極限，記作以時，當(dāng)上在則稱都有時當(dāng)使得總存在某個正數(shù)若對于任意給定的

10、是一個確定的實數(shù)，的一個聚點，為上的二元函數(shù)為定義在設(shè).),(lim),()(,|),(|,),(),(, 0, 0),(,),(),(00000200AyxfAyxfPPDAyxfDPUyxPADyxPRDfyxyx例題 按照極限的定義證明. 7)(lim22) 1 , 2(),(yxyxyx證明 注意| 1|2| 2| 1| 4| 222| 1| 4| 214| | 7|22222222yyxyxyyxyyxxyyxyxyx例題. 0),(lim)0 , 0(),( ,)0 , 0(),( , 0),()0 , 0(),(2222yxfyxyxyxyxxyyxfyx按照極限的定義證明證明.

11、 |21| | 0),(|),0 , 0 (),(2222yxyxyxyxxyyxfyx對于二元函數(shù)的極限 類似地，我們可以定義其它類型的極限).,(lim),(lim),(lim),(),(),(),(),(),(00yxfyxfyxfyxyyxxyx二元函數(shù)的極限的特點 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的區(qū)別。.,),(),(),(lim00),(),(00相等對應(yīng)的極限都存在并且時以任意的方式趨向于點是指當(dāng)動點極限存在，yxyxyxfyxyx例題.lim22)0,0(),(不存在證明二重極限yxyxyx證明.,1)1 (limlim,)0 , 0(),(,2222022)0 , 0(),(

12、在有關(guān)，故二重極限不存對應(yīng)的極限值與時趨向于點沿著直線即當(dāng)動點則取kkkxkkxyxyxkxyyxkxyxyx例題.lim242)0,0(),(不存在證明二重極限yxyxyx證明.,1)1 (limlim,)0 , 0(),(,24240242)0 , 0(),(22在有關(guān)，故二重極限不存對應(yīng)的極限值與時趨向于點沿著曲線即當(dāng)動點則取kkkxkkxyxyxkxyyxkxyxyx二元函數(shù)的極限為無窮大.),(lim),()(,| ),(|,),(),(, 0, 0),(,),(),(00000200yxfyxfPPDMyxfDPUyxPMDyxPRDfyxyx的極限為無窮大，記作時，當(dāng)上在則稱都有

13、時當(dāng)使得總存在某個正數(shù)若對于任意給定的正數(shù)的一個聚點，為上的二元函數(shù)為定義在設(shè)二元函數(shù)的極限為無窮大 類似地，我們可以定義其它類型的極限.),(lim,),(lim),(),(),(),(0000yxfyxfyxyxyxyx例題 按照定義很容易能夠證明.1lim;1lim)1 , 1(),(22)0, 0(),(yxyxyxyx二元函數(shù)極限的性質(zhì)與運算 二元函數(shù)極限的性質(zhì)與運算 和一元函數(shù)的情形類似， 如極限值的唯一性，四則運算法則， 兩邊夾定理等等。累次極限.,00稱為累次極限時的極限與點繼趨向于按照一定的先后次序相與當(dāng)變量yxyx累次極限).,(limlim,),(),(lim);,(li

14、m)(),(lim),(,),( :,),( :,000000002yxfyyxxyxfyyxfyyxfYyyDyxyYyDDyxxXxDRDfxxyyyyxxxx累次極限，記作的后對先對則稱此極限值為進(jìn)一步如果還存在極限將其記作存在，極限固定如果對于軸上的投影記為在軸上的投影記為在上的二元函數(shù)為定義在設(shè)累次極限).,(limlim,),(),(lim);,(lim)(),(lim),(,),( :,),( :,000000002yxfxxyyyxfxyxfxyxfXxxDyxyYyDDyxxXxDRDfyyxxxxyyyy累次極限，記作的后對先對則稱此極限值為進(jìn)一步如果還存在極限將其記作存在

15、，極限固定如果對于軸上的投影記為在軸上的投影記為在上的二元函數(shù)為定義在設(shè)二重極限與累次極限的關(guān)系 二重極限與累次極限是兩個不同的概念，一般來說，它們的存在性沒有彼此蘊含的關(guān)系。二重極限與累次極限的關(guān)系 函數(shù)的兩個累次極限都存在，但是二重極限卻不存在的例子：) 0 , 0 (),( , 0) 0 , 0 (),( ,),(22yxyxyxyxyxf證明. 0),(limlim),(limlim)0 , 0()0 , 0(),(0000yxfyxfyxfyxxy且有，的兩個累次極限都存在但是關(guān)于原點處的二重極限不存在，在原點函數(shù)二重極限與累次極限的關(guān)系 函數(shù)的兩個累次極限都存在，但是二重極限卻不存

16、在的另一例子：) 0 , 0 (),( , 0) 0 , 0 (),( ,),(242yxyxyxyxyxf證明. 0),(limlim),(limlim)0 , 0()0 , 0(),(0000yxfyxfyxfyxxy且有，的兩個累次極限都存在但是關(guān)于原點處的二重極限不存在，在原點函數(shù)二重極限與累次極限的關(guān)系 函數(shù)的二重極限存在，但是兩個累次極限都不存在的例子：0, 00,1sin1sin),(yxyxxyyxyxf證明. 0-|,|1sin1sin|, 0),(lim)0 , 0(),()0, 0(),(定義可知二重極限為按照但是二重極限在，的兩個累次極限都不存關(guān)于原點函數(shù)yxxyyxy

17、xfyxfyx二重極限與累次極限的關(guān)系 函數(shù)的二重極限存在，但是兩個累次極限都不存在的另一例子：0, 00,1sin1sin)(),(yxyxyxyxyxf證明. 0-|,|1sin1sin)( |, 0),(lim)0 , 0(),()0, 0(),(定義可知二重極限為按照但是二重極限都不存在，的兩個累次極限關(guān)于原點易知函數(shù)yxyxyxyxyxfyxfyx二重極限與累次極限的關(guān)系 二重極限與累次極限的聯(lián)系 定理).,(limlim),(lim.),(limlim),(lim),(),(00000000),(),(),(),(00yxfyxfyxfyxfyxyxfxxyyyxyxxxyyyxy

18、x等也存在，則它們一定相且累次極限；處存在二重極限在點設(shè)函數(shù)證明).,(lim)(lim,.2|)(|),(lim|.)(),(lim,|0:),(limlim. 2/|),(|0 ,|0, 0, 0),(lim),(),(000),(),(000000000yxfAyAyAyxfyyxfyyyyxfAyxfyyxxAyxfyxyxyyxxxxxxyyyxyx存在極限對于存在之假設(shè)，由累次極限時，有當(dāng)總存在一個正數(shù)對于；設(shè)推論1 推論1 推論1給出了累次極限次序可交換的一個充分條件。.),(limlim),(limlim),(lim),(),(000000),(),(00則三者一定相等都存在，

19、和兩個累次極限處的二重極限在點設(shè)函數(shù)yxfyxfyxfyxyxfyyxxxxyyyxyx推論2 推論2 推論2可以用來否定二重極限的存在性。!),(lim),(),(limlim),(limlim),(),(),(00000000一定不存在處的二重極限則在點存在但是不相等，的兩個累次極限如果函數(shù)yxfyxyxfyxfyxfyxyxyyxxxxyy例題.),(lim, 1),(limlim, 1),(limlim,),()0, 0(),(000022不存在二重極限極限分別為它關(guān)于原點的兩個累次設(shè)函數(shù)yxfyxfyxfyxyxyxyxfyxyxxy例題.),(lim, 1),(limlim, 1)

20、,(limlim,),()0, 0(),(00002222不存在二重極限極限分別為它關(guān)于原點的兩個累次設(shè)函數(shù)yxfyxfyxfyxyxyxfyxyxxy二元函數(shù)的連續(xù)性.| ),(),(|,),(),(, 0, 0.)(),(),(lim,),(,000000),(),(000200yxfyxfDPUyxPPDfyxfyxfDDyxPRDfyxyx都有時當(dāng)使得總存在某個正數(shù)若對于任意給定的是，用分析的語言寫出來就處連續(xù)在點關(guān)于集合則稱，如果的一個聚點，且為上的二元函數(shù)為定義在平面點集設(shè)不連續(xù)點.),(),(lim).(),(),(lim,),(,000),(),(000),(),(000200

21、00的可去間斷點為則稱點如果間斷點的不連續(xù)點為則稱點不成立，如果極限式的一個聚點，且為上的二元函數(shù)為定義在平面點集設(shè)fPyxfAyxffPyxfyxfDDyxPRDfyxyxyxyx二元連續(xù)函數(shù) 孤立點一定是連續(xù)點！ 若f在D上任何點處都連續(xù)，則稱f為D上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的例子.) 1 , 2(),(),1 , 2(7),(lim,),()1 , 2(),(22處連續(xù)在點故函數(shù)有設(shè)函數(shù)yxffyxfyxyxyxfyx連續(xù)函數(shù)的例子.)0 , 0(),0 , 0(0),(lim)0 , 0(),( , 0)0 , 0(),( ,),()0 , 0(),(2222處連續(xù)故函數(shù)在原點有設(shè)函數(shù)fy

22、xfyxyxyxyxxyyxfyx連續(xù)函數(shù)的例子.)0 , 0()0 , 0(),( , 0)0 , 0(),( ,),(222處連續(xù)試證明函數(shù)在原點設(shè)函數(shù)yxyxyxxyxf二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 與一元連續(xù)函數(shù)的情形一樣，二元連續(xù)函數(shù)也有局部有界性，局部保號性，四則運算的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性等等，其證明過程相同。全增量與偏增量., 0lim),(),(),(),(,),(),(),(0)0, 0(),(000000000000處連續(xù)在點則如果式來描述連續(xù)性我們可以用全增量的形處的全增量。在點稱為設(shè)PfzPfyxfyyxxfyxfyxfzyyyxxxDyxPyxPyxfzyx全增量與偏增量.)

23、(),(),(),(),()(),(),(),(),(,),(),(),(000000000000000000000處的偏增量在點關(guān)于第二個變量稱為處的偏增量；在點關(guān)于第一個變量稱為設(shè)PyfyxfyyxfyxfyxfPxfyxfyxxfyxfyxfyyyxxxDyxPyxPyxfz全增量與偏增量.),(, 0),(),(lim, 0),(),(),(),(),(, 0),(),(lim, 0),(),(),(),(000000000000000000000000000000處連續(xù)作為一元函數(shù)在時，稱為固定即的極限為如果偏增量處連續(xù)；作為一元函數(shù)在時，稱為固定即的極限為如果偏增量yyxfxxyx

24、fyyxfyxfyyxfyxfyxfxyxfyyyxfyxxfyxfyxxfyxfyxfyx二元連續(xù)函數(shù)連續(xù)性！并不能保證二元函數(shù)的都連續(xù)二元函數(shù)對單個自變量反過來不成立，處也連續(xù)在點處連續(xù)；在點則連續(xù)，內(nèi)的點在其定義域若以證明按照函數(shù)極限的定義可.),(),(),(),(000000yyxfxyxfyxDyxf反例., 0), 0(lim)0 ,(lim)0 , 0(0, 00, 1),(00分別都連續(xù)和對兩個自變量在原點處但是處不連續(xù)，顯然二元函數(shù)在原點設(shè)函數(shù)yxfyfxfxyxyyxfyx二元函數(shù)的連續(xù)性 定理.),(,),(),(|;| ),(),(|),(2121212上連續(xù)在區(qū)域則函數(shù)為常數(shù)，其中滿足條件對連續(xù)，上對在區(qū)域設(shè)函數(shù)DyxfLDyxyxyyLyxfyxfyxRDyxf證明.| ),(),(| ),(),(| ),(),(|,|,min; 2| ),(),(|,|, 02, 0; 2| ),(),(|,|, 0, 0),(0000000021200202000101000yxfyxfyxfyxfyxfyxfyyxxLyyLy