自動控制理論課件：第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2

1、 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。它不僅反映系統(tǒng)的全部獨立變量（狀態(tài)）的信息，而且還可以方便地處理其初始條件。適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、多輸入、多輸出系統(tǒng)以及隨機過程等。 線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本的內(nèi)容，其他分支均以線性理論為基礎(chǔ)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解9.3 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性1. 基本概念2. 狀態(tài)空間表達式的建立3. 狀態(tài)空間的線性變換4. 傳遞函數(shù)矩陣9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1. 基本概念一個例

2、子狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)空間狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達式 用一個 電路，說明什么是狀態(tài)變量，如何用狀態(tài)變量描述一個系統(tǒng)。 由電路原理可知，回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規(guī)律:( 和 表征了電路的運動狀態(tài))一個例子 定義：足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。 n 階微分方程有n個狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的數(shù)目選多了，狀態(tài)變量之間就會線性相關(guān)；選少了，就不能完全描述系統(tǒng)。狀態(tài)變量的選取不是惟一的。 對于一般的物理系統(tǒng)，狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)等于儲能元件的個數(shù)。狀態(tài)變量定義：把描述系統(tǒng)的 n 個狀態(tài)變量 看作向量 的分量，則 稱為 n 維狀態(tài)向量，記作狀態(tài)向量定義：以狀態(tài)變量 為坐標

3、軸所張成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中是一個點，隨時間推移，狀態(tài)在變化，在狀態(tài)空間中繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)空間定義：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。RLC電路的方程：將狀態(tài)變量用一般符號 表示，即令 ，并寫成向量矩陣的形式，則狀態(tài)方程變?yōu)闋顟B(tài)方程或式中 對圖9-1所示系統(tǒng)，在以 作輸入時，從式 中消去中間變量 ，得二階微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為狀態(tài)方程 若改選 和 為狀態(tài)變量，即令 ，則得一階微分方程組為寫成矩陣形式 在同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。狀態(tài)方程定義：輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為

4、系統(tǒng)的輸出方程。在圖9-1中， 為輸出，用 表示，則有用矩陣表示為其中輸出方程定義：狀態(tài)方程與輸出方程組合起來，稱為狀態(tài)空間表達式。它構(gòu)成對一個系統(tǒng)的完整描述。 一般情況下，設(shè)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)方程為狀態(tài)空間表達式 輸出方程除了是狀態(tài)變量的函數(shù)外，有時還有輸入變量的直接傳遞，其一般形式為用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達式為式中狀態(tài)空間表達式 對于一個 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統(tǒng)其狀態(tài)空間表達式為式中狀態(tài)空間表達式 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，可以用圖9-2的方框圖表示圖9-2 狀態(tài)空間表達式的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)空間模型一方面可根據(jù)系統(tǒng)的運行機理

5、直接建立另一方面也可由經(jīng)典控制理論已建立起來的數(shù)學(xué)模型，即結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)和微分方程來導(dǎo)出。2. 狀態(tài)空間表達式的建立1) 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式3) 由微分方程(或傳遞函數(shù))求狀態(tài)空間表達式4) 多輸入、多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立2. 狀態(tài)空間表達式的建立例9-1 建立如圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，并畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖。根據(jù)牛頓第二定理有或表示成選擇位移 和速度 為狀態(tài)變量，令 則1) 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達式為 為了更直觀地反映各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，狀態(tài)空間表達式常用狀態(tài)圖表示。繪制方

6、法如下：（1）有多少了狀態(tài)變量，畫多少個積分器；（2）根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭連接起來。1) 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 該機械系統(tǒng)的狀態(tài)如圖所示。1) 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式例9-2 在下圖所示系統(tǒng)中，若選取 作為狀態(tài)變量，試列寫其狀態(tài)空間表達式，并寫成矩陣形式。2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式由結(jié)構(gòu)圖得整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為寫成向量矩陣形式 2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項（或傳遞函數(shù)中沒有零點） 微分方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項（或傳遞函數(shù)中有零點）3) 由微分方程(或傳遞函數(shù)

7、)求狀態(tài)空間表達式若系統(tǒng)微分方程為對應(yīng)的傳遞函數(shù)為 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中沒有零點） 如果選取 為一組狀態(tài)向量，即 ，則有記成向量-矩陣形式為 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中沒有零點）其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中沒有零點） 一般情況下，由 階微分方程描述的系統(tǒng)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為若選 為狀態(tài)變量，那么 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中沒有零點）系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 如上述這樣選擇的一組狀態(tài)變量稱為相變量，得出的表達式 稱為能控標準型。系統(tǒng)矩陣 稱為友矩陣 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中沒有零點）三階

8、系統(tǒng)微分方程:對應(yīng)的傳遞函數(shù)為 只有當傳遞函數(shù)分子多項式的次數(shù)小于或等于分母多項的次數(shù)時，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式才存在。 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中有零點）化G(s)為嚴格有理分式：式中據(jù)此可導(dǎo)出能控和對角線標準型狀態(tài)空間表達式 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中有零點）. 串聯(lián)分解：將 分解為兩部分相串聯(lián) 為中間變量， ， 則應(yīng)滿足 選狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)方程為 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中有零點）輸出方程為考慮系統(tǒng)整體，則：可表示為 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中有零點）據(jù)此可得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳

9、遞函數(shù)中有零點）.并聯(lián)分解： 只含單實極點（或微分方程含有互不相等的特征根） 含有重極點（或微分方程含有重特征根） 輸入方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項 （或傳遞函數(shù)中有零點）設(shè) 可分解為則傳遞函數(shù)可展開成部分分式之和，即 式中 為極點 的留數(shù)，且有 只含單實極點 只含單實極點若令狀態(tài)變量 則展開得 只含單實極點若令狀態(tài)變量 則 其向量-矩陣形式為 只含單實極點當傳遞函數(shù)不僅含有單實極點，還含有重實極點，其A 矩陣可化為約當標準型。設(shè) 可分解為式中 為三重極點， 為單實極點，則： 含有重極點 含有重極點若狀態(tài)變量 含有重極點取拉氏反變換:表示為 含有重極點 對于多輸入、多輸出系統(tǒng)，當已知微分方程或傳

10、遞函數(shù)時要求其狀態(tài)空間表達式，可先畫出每個方程的狀態(tài)圖，然后把互相牽連的信號線加上，選每個積分器的輸出為狀態(tài)變量，根據(jù)狀態(tài)圖，就可直接寫出狀態(tài)空間表達式。4)多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立 以雙輸入、雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)微分方程為把最高階導(dǎo)數(shù)項留在左邊，其余移項到右邊后得4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立對每一個方程積分故得狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-11所示4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立取每個積分器輸出為一個狀態(tài)變量，則式 的一種實現(xiàn)為或表示為4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立1) 等價系統(tǒng)方程2) 線性變換的基本特性及系統(tǒng)的不變量3) 化系統(tǒng)矩陣A為標準型3.

11、 狀態(tài)向量的線性變換設(shè)給定系統(tǒng)為令 ，則 ， 為非奇異線性變換矩陣；它將變換為 ，變換后的狀態(tài)方程為兩方程表示同一系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，稱為等價系統(tǒng)方程1) 等價系統(tǒng)方程線性變換不改變系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程 的根 系統(tǒng)的不變量：把系統(tǒng)的特征方程寫成多項式形式由于特征值不變，那么特征多項式的系數(shù) 也不變，稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。2) 線性變換的基本特性及系統(tǒng)的不變量 A的標準型是指A陣為對角型、約當型和模態(tài)型。一般形式的A陣可以由線性變換化為標準型，其關(guān)鍵在于確定變換矩陣。將A陣化為對角型、約當型和模態(tài)型的變換矩陣用A的特征值對應(yīng)的特征向量來構(gòu)成。

12、設(shè) 是 型矩陣A的特征值，若存在一個n維非零向量 ，使 或 成立，則稱為A的對應(yīng)特征值 特征向量3) 化系統(tǒng)矩陣A為標準型 A為任意形式 A為友矩陣3) 化系統(tǒng)矩陣A為標準型.化A為對角陣.化A為約當陣.化A為模式矩陣 A為任意形式當 陣為任意形式的方陣且有 個互異實數(shù)特征根 ，每一個特征根對應(yīng)一個特征向量，根據(jù)特征向量的定義，有令那么.化A為對角陣兩邊左乘 ，得由此可知，變換矩陣 由 陣的實數(shù)特征向量 組成， 表示對角矩陣。若 陣具有 重特征根，其余為 個互異實特征根，但 重特征根只有一個獨立的實特征向量 ，這時只能把 化為約當陣 。 .化A為約當陣變換矩陣 ，式中 互異特征根對應(yīng)的實特征向

13、量。 是廣義特征向量，滿足即當矩陣 有復(fù)數(shù)特征根時，可以用上述方法把 化成標準型。簡單起見，設(shè) 只有一對復(fù)數(shù)特征根， 在此情況下， 的模態(tài)形為設(shè) 為對應(yīng) 的特征向量，根據(jù)特征向量的定義有 ，令 .化A為模式矩陣則由此可見，變換矩陣 是以 的特征向量 的實部和虛部為列所構(gòu)成的矩陣。.A的特征根無重根時.A的特征根有重根，重根只有一個獨立的特征向量.A的特征根有五重根，有兩個獨立的特征向量.A有共軛復(fù)根 A陣為友矩陣已知 A陣為友矩陣其變換矩陣是一個范德蒙德（Vandermonde）矩陣，為.A的特征根無重根時.A的特征根有重根，重根只有一個獨立的特征向量 設(shè) 陣具有五重特征值 ，但有二個獨立實特

14、征向量 和 ，其余為 個互異實特征根，這時， 陣一定存在兩個約當塊。. A的特征根有五重根，有兩個獨立的特征向量 有共軛復(fù)根時，以四階系統(tǒng)中有一對共軛復(fù)根為例即 ，而此時.A有共軛復(fù)根1)傳遞函數(shù)陣2)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 4. 傳遞函數(shù)矩陣 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為式中， 為 維狀態(tài)向量， 為 維輸入向量， 為 維輸出向量， 為滿足矩陣運算的矩陣。1) 傳遞函數(shù)陣對式 進行拉氏變換，并設(shè)初始條件為零，則有式中 為狀態(tài)向量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣，是一個 型矩陣1) 傳遞函數(shù)陣 為輸出向量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞函數(shù)矩陣，是一個 型矩陣式中各元素 都是標量函數(shù)，表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關(guān)系。當 時，意味著不同標號輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點。 同一系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達式不惟一，但傳遞函數(shù)矩陣是不變的1) 傳遞函數(shù)陣復(fù)雜的控制系統(tǒng)，可能由多個子系統(tǒng)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接而成。討論兩個子系統(tǒng) 和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為2) 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣并聯(lián)連接串連連接反饋連接2) 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣并聯(lián)連接：如圖9-12(a)所示，兩個子系統(tǒng)并聯(lián)連接時，并聯(lián)連接系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為系統(tǒng)的