最大值與最小值190108實(shí)用教案

1、會計(jì)學(xué)1最大值與最小值最大值與最小值190108第一頁，共16頁。洪澤洪澤(hn z)外國語中學(xué)外國語中學(xué) 程懷宏程懷宏第1頁/共16頁第二頁，共16頁。二、新課二、新課最大值與最小值最大值與最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 觀察右邊觀察右邊(yu bian)一個(gè)定義在區(qū)間一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函的圖象，你能找出函數(shù)數(shù)y=f（x）在區(qū)間）在區(qū)間a，b上的最大值、最上的最大值、最小值嗎？小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，是極小值，_是是極大值，在區(qū)間極大值，在區(qū)間(q jin)上的函數(shù)的最大值是上的函數(shù)的最大值是

2、_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數(shù)問題在于如果在沒有給出函數(shù)(hnsh)圖象的情況下，圖象的情況下，怎樣才能判斷出怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 第2頁/共16頁第三頁，共16頁。一、是利用函數(shù)一、是利用函數(shù)(hnsh)性質(zhì)性質(zhì)二、是利用不等式二、是利用不等式三、今天學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)三、今天學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)最值的一般求函數(shù)最值的一般(ybn)方法：方法：第3頁/共16頁第四頁，共16頁。 (2)將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)比較比較(bjio)，其中最

3、大的一個(gè)為最大值，最小的，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)最小值一個(gè)最小值 f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間(q jin)a,b上的最值：上的最值：(1)求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(q jin)(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值(極大值或極小值極大值或極小值)表格法表格法(如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值)第4頁/共16頁第五頁，共16頁。例例1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間在區(qū)間(q jin)-1，4內(nèi)內(nèi) 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 將二次函數(shù)將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+3配方配方(pi fng)，利用二次函數(shù)單調(diào)性

4、處理，利用二次函數(shù)單調(diào)性處理第5頁/共16頁第六頁，共16頁。例例1 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間在區(qū)間(q jin)-1，4內(nèi)的最值。內(nèi)的最值。 故函數(shù)故函數(shù)(hnsh)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間-1，4內(nèi)的最內(nèi)的最大值為大值為8，最小值為，最小值為-1. 解法解法(ji f)二、二、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x-1 （-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1第6頁/共16頁第七頁，共16頁。 一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù)y=f(x)在在a,b上的最大值與最小上的最大值與最小值的步驟值的步驟(bzhu)如下：如下：:求求y=f(x)

5、在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值(j zh)(極大值與極極大值與極小值小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b) 比比較較(bjio),其中最大的一個(gè)為最大值其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值最小的一個(gè)為最小值. 求函數(shù)的最值時(shí)求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的函數(shù)的極值是極值是在局部范圍內(nèi)討論問題在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)是一個(gè)局部概局部概 念念,而函數(shù)的而函數(shù)的最值最值是對整個(gè)定義域而言是對整個(gè)定義域而言,是在整體范圍是在整體范圍 內(nèi)討論問題內(nèi)討論問題,是一個(gè)是一個(gè)整體性的概念整體性的概念.(2)閉

6、區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)內(nèi) 的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極則此極 值必是函數(shù)的最值值必是函數(shù)的最值.第7頁/共16頁第八頁，共16頁。 (3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè)個(gè),而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值也可能沒有極值,并并且極大值且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端點(diǎn)但除端點(diǎn)(dun din)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最

7、小值或最小值),則一定則一定是極大值是極大值(或極小值或極小值). (4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最值時(shí)則在確定函數(shù)的最值時(shí),不僅不僅比較比較(bjio)該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值,還要比較還要比較(bjio)函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值. (5)在解決實(shí)際應(yīng)用問題中在解決實(shí)際應(yīng)用問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)一個(gè)極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為這樣的函數(shù)稱為(chn wi)單峰函數(shù)單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可那么要根據(jù)實(shí)際意義判

8、定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.第8頁/共16頁第九頁，共16頁。練習(xí)練習(xí)(linx)P77 1、2第9頁/共16頁第十頁，共16頁。解解:當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , 從上表從上表(shn bio)可知可知,最大值是最大值是,最小最小值是值是0.令令 ,解得解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )2 ,34( 2+-+000第10頁/共16頁第十一頁，共16頁。練習(xí)練習(xí)(linx)1:求函數(shù)求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在

9、區(qū)間在區(qū)間-3,4上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案(d n):最大值為最大值為f(4)=142,最小值為最小值為f(1)=7.第11頁/共16頁第十二頁，共16頁。延伸延伸1:設(shè)設(shè) ,函數(shù)函數(shù) 的最的最 大值為大值為1,最小值為最小值為 ,求常數(shù)求常數(shù)a,b. 132 a)11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 得得x=0或或a.033)(2 axxxf當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf x-1(-1,0)0 (0,a) a(a,1) 1f(x) + 0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2

10、+b由表知由表知,當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),f(x)取得取得(qd)極大值極大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比較故需比較f(1)與與f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以(suy)f(x)的最大值為的最大值為f(0)=b,故故b=1.第12頁/共16頁第十三頁，共16頁。又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.說明說明:由于由于f(x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù)(linx)可導(dǎo)可導(dǎo),必有最大值與必有最大值與最小值最小值, 因此求函數(shù)因此求函數(shù)f(x)的值域的值

11、域,可轉(zhuǎn)化為求最值可轉(zhuǎn)化為求最值.解解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令令 ,則得則得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.0)( xf而而 f(0)=f(1)=1,因?yàn)橐驗(yàn)閜1,故故11/2p-1.,21)21(1 pf所以所以f(x)的最小值為的最小值為 ,最大值為最大值為1.121 p從而函數(shù)從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?1 ,211 p第13頁/共16頁第十四頁，共16頁。練習(xí)練習(xí)(linx)2:求函數(shù)求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數(shù)是正數(shù))在在0,1上的最上的最 大值大值.解解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令令 ,解得解得.22, 1, 00)(321pxxxxf 在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,)2(4)22(2 ppppf 故所求最大值是故所求最大值是.)2(42ppp 練習(xí)練習(xí)(linx)1:求函數(shù)求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+1