1.2行列式的性質與計算

1、1.2 行列式的性質與計算 三、行列式的三個基本操作及其性質 二、幾個簡單的性質 四、關于代數余子式的重要性質 一、行列式的轉置 五、行列式的計算特點 一、行列式的轉置定義不妨記為設行列式 ,其轉置行列式為1. 轉置行列式的概念與特點 P 6 行列式與它的轉置行列式相等，即 性質一、行列式的轉置1. 轉置行列式的概念與特點2. 性質及其意義行列式中的 “行” 與 “列” 具有同等的地位，意義因此凡是對“行”成立的性質對“列”也同樣成立. 比如，行列式 D 亦可依行展開，即 P 7 性質1 P 8 推論 證明(利用數學歸納法證明)對 1 階行列式，性質顯然成立；假設對于 階行列式成立，則對于 n

2、 階行列式有同理即性質對于 n 階行列式也成立。由歸納假設二、幾個簡單的性質性質(1) 若行列式中某行(列)的元素全為零, 則其值為零. (2) 若行列式的某列(行)的元素都是兩數之和，行列式等于兩個行列式之和，則該即P8 P 10 性質4 (2) 交換第 i, j 兩行(或列)的所有元素， (1) 將第 i 行(或列)中所有的元素 k 倍，三、行列式的三個基本操作及其性質1. 三個基本操作為了方便討論，通常用 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列. (3) 將第 i 行(或列)的各元素的 k 倍加到第 j 行(或列)(或 ).記作(或 ).記作對應的元素上，記作(或 ).補 三、行列式

3、的三個基本操作及其性質1. 三個基本操作2. 相應的三個性質將行列式的某一行(列)中所有的元素 k 倍，性質1證明只需將上式兩邊的行列式按第 i 行展開即可證明. 則行列式的值 k 倍，即 P8 性質2 例形如試證：奇數階反對稱行列式等于 0。的行列式稱為反對稱行列式。證故 D = 0。所以有由于 n 為奇數，例如交換行列式中的兩行(列)， 行列式的值反號. 性質2 P8 性質3 交換行列式中的兩行(列)， 行列式的值反號. 性質2證明(利用數學歸納法證明)對于 2 階行列式, 結論顯然成立；假設對于 階行列式結論成立，下證對于 n 階行列式結論也成立。 (注意此時 )設 是行列式 D 交換第

4、 i , j 兩行后得到的行列式，由于因此除第 i , j 兩行外還有一個第 k 行。令 和 分別是行列式 和 D 的第 k 行的代數由歸納假設有于是有余子式，證明設行列式 D 的第 i 行與第 j 行的元素相同，如果行列式中有兩行(列)的對應元素相同，則行列式推論1的值為零. 即得將 D 的第 i 行與第 j 行的元素交換，由性質 2 有 P9 推論1 證明若行列式中有兩行(列)的元素對應成比例，則行列式推論2的值為零. P10 推論3 即將行列式的某一列(行)的各元素 k 倍加到另一列(行)性質3對應的元素上，行列式的值不變，證明只需將上式右端行列式的第 j 列拆開即可證明. P11 性質

5、5 ?問?四、關于代數余子式的重要性質引例已知證明將行列式按第 j 行展開，有四、關于代數余子式的重要性質行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的定理代數余子式乘積之和等于零，即把 換成可得 P9 推論2 同理相同四、關于代數余子式的重要性質綜合其中例設解利用行列式的性質把行列式化為上三角形行列式。五、行列式的計算基本思路(2) 交換兩行(或列)； (1) 某行(或列) k 倍；基本操作(3) 某行(或列)的 k 倍加到另一行(或列)。常用技巧(5) 高化(低階化為高階)。(1) 用某行(或列)去減其它行(或列)；(4) 遞歸(高階化為低階)； (3) 逐行(或列)相減；(2) 所有

6、行(或列)全部加到某一行(或列)上；例 計算行列式解例注 本例的方法適合于計算機編程實現。例 計算行列式解將第 3, 4 列都加到第 2 列得例 計算 n 階行列式解將第 2 至 n 列都加到第 1 列得P 13 例 7將第一行減到其它行例 計算解逐行相減P 12 例 5例 計算行列式(采用“高化”方法)第一行的 (-1) 倍加到其它行解(1) 當 x = 0 或 y = 0 時，D = 0 ；(2) 當 時，注意“雞爪”型行列式的處理例 計算行列式解(采用“高化”方法)第一行分別乘第 2, 3, 4 行減到按第一行(列)展開按第一列展開解例 計算進一步，由 遞推可得：本題可直接按最后一行展開

7、。注例 計算 n 階行列式解逐行相減法一逐步遞推法二b, c 互換即得(A)(B)由 (A), (B) 求解得(漸悟)(頓悟)按第 1 列展開解例 計算 n 階行列式P17 例11考慮一個一般的兩步遞推式附：如何將兩步遞推轉化為一步遞推設則有即 a , b 是方程 的兩個根。比如，對于遞推式 有進一步可轉化為證(用數學歸納法證明)例證明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式因此，當 n = 2 時結論成立。 P15 例9 證 從 Dn 的最后一行開始，下面假設結論對 n -1 階成立，要證結論對 n 階也成立。的 x1 倍減到下一行，得由下而上，依次將上一行例證明范德蒙德 (Vander

8、monde) 行列式 P15 例9 按第 1 列展開，并把每列的公因子提出，就有 n-1 階范德蒙德行列式由歸納法假設，即得：解將 D 的第 1 行加到第 3 行得試用范德蒙行列式計算例 3 階范德蒙德行列式 行列式中行與列具有同等的地位， 計算行列式的常用方法：(1) 利用定義;(2) 利用性質把行列式化為上三角形行列式，行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立。小結從而得到行列式的值。解補充題1求設 n 階行列式已知 abcd =1，計算補充題2解1, 2 列3, 4 列2, 3 列交換提示：按第 1 列展開。答案：計算 n 階行列式補充題3提示：各行 (列) 之和相等。 答案：計算 n 階行列式補充題4提示：將第一行的 2、3、4 倍分別減到第 2、3、4