第6章 分支限界法

1、第六章第六章 分支限界法分支限界法2022年7月7日2 理解分支限界法的剪枝搜索策略。理解分支限界法的剪枝搜索策略。 掌握分支限界法的算法框架掌握分支限界法的算法框架隊(duì)列式隊(duì)列式(FIFO)分支限界法分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。單源最短路徑問(wèn)題單源最短路徑問(wèn)題裝載問(wèn)題；裝載問(wèn)題；布線問(wèn)題布線問(wèn)題0-1背包問(wèn)題；背包問(wèn)題；最大團(tuán)問(wèn)題；最大團(tuán)問(wèn)題；旅行售貨員問(wèn)題旅行售貨員問(wèn)題電路板排列問(wèn)題電路板排列問(wèn)題批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)2022年7月7日3一、分支限界法的基本思想一

2、、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、四、0-1背包問(wèn)題背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日4一、分支限界法的基本思想一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、0-1背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日5分支限界法同回溯法類似，它也是在解空間中搜索問(wèn)題的可分支限界法同回溯法類似，它也是在解空間中搜索問(wèn)題的可行解或最優(yōu)解，但搜索的方式不同?；厮莘ú捎蒙疃葍?yōu)先的行解或最優(yōu)解，但搜索的方式不同?；厮莘ú捎蒙疃葍?yōu)先的方式，朝縱深方向搜索，直至達(dá)到問(wèn)題的一個(gè)可

3、行解，或經(jīng)方式，朝縱深方向搜索，直至達(dá)到問(wèn)題的一個(gè)可行解，或經(jīng)判斷沿此路徑不會(huì)達(dá)到問(wèn)題的可行解或最優(yōu)解時(shí)，停止向前判斷沿此路徑不會(huì)達(dá)到問(wèn)題的可行解或最優(yōu)解時(shí)，停止向前搜索，并沿原路返回到該路徑上最后一個(gè)還可擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)。搜索，并沿原路返回到該路徑上最后一個(gè)還可擴(kuò)展的結(jié)點(diǎn)。從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)朝新的方向縱深搜索。分支定界法則采用寬度從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)朝新的方向縱深搜索。分支定界法則采用寬度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，它將活結(jié)點(diǎn)存放在一個(gè)特殊的表優(yōu)先的方式搜索解空間樹，它將活結(jié)點(diǎn)存放在一個(gè)特殊的表中。其策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)中。其策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn), ,將那些導(dǎo)致不可行

4、解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子舍棄，其余兒子將那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子舍棄，其余兒子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取出一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取出一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。所以，分支限界法前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。所以，分支限界法與回溯法的本質(zhì)區(qū)別在于搜索方式的不同?；厮莘ǜm于處與回溯法的本質(zhì)區(qū)別在于搜索方式的不同?；厮莘ǜm于處理那些求所有可行解的問(wèn)題，而分支限界法更適于處理那些理那些求所有可行解的問(wèn)題，而分支限界法更適于處理那些只確定一個(gè)可行解，特別是最優(yōu)化問(wèn)題。只確定一個(gè)可行解，特別是最優(yōu)化問(wèn)題。6在算法空間上比較回溯法

5、和分支限界法在算法空間上比較回溯法和分支限界法（1）回溯法占用內(nèi)存：）回溯法占用內(nèi)存：O(解空間的最大路徑長(zhǎng)度解空間的最大路徑長(zhǎng)度)對(duì)子集問(wèn)題，需要對(duì)子集問(wèn)題，需要O(n)的內(nèi)存空間的內(nèi)存空間對(duì)排列問(wèn)題，需要對(duì)排列問(wèn)題，需要O(n)的內(nèi)存空間的內(nèi)存空間（2）分支限界法占用內(nèi)存：）分支限界法占用內(nèi)存：O(解空間大小解空間大小)對(duì)子集問(wèn)題，需要對(duì)子集問(wèn)題，需要O(2n)的內(nèi)存空間的內(nèi)存空間對(duì)排列問(wèn)題，需要對(duì)排列問(wèn)題，需要O(n!)的內(nèi)存空間的內(nèi)存空間2022年7月7日7l 分支限界法類似于回溯法，也是一種在問(wèn)題的解空間樹T中搜索問(wèn)題解的算法。l 空間消耗空間消耗不同不同l 求解目標(biāo)（適用范圍）求解

6、目標(biāo)（適用范圍）不同：n回溯法適用于找出滿足約束條件的所有解的情況；n分支限界法發(fā)誓找出滿足條件的一個(gè)解，或某種意義下的最優(yōu)解。l 搜索方式搜索方式不同n回溯法：深度優(yōu)先n分支限界法：廣度優(yōu)先2022年7月7日8l 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹。效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹。l 在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在

7、這些兒子結(jié)點(diǎn)中，中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。l 此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。2022年7月7日9l從活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的不同方從活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的不同方式導(dǎo)致不同的分支限界法：式導(dǎo)致不同的分支限界法：n隊(duì)列式隊(duì)列式(FIFO)分支限界法：將活結(jié)

8、點(diǎn)表組織成一分支限界法：將活結(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)隊(duì)列，按照隊(duì)列先進(jìn)先出（個(gè)隊(duì)列，按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。n優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：將活結(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：將活結(jié)點(diǎn)表組織成一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列，按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)優(yōu)先隊(duì)列，按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。u最大優(yōu)先隊(duì)列：使用最大堆，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先最大優(yōu)先隊(duì)列：使用最大堆，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先u最小優(yōu)先隊(duì)列：使用最小堆，體現(xiàn)最小費(fèi)用優(yōu)先最小優(yōu)先隊(duì)列：使用最小堆，體現(xiàn)最小費(fèi)用優(yōu)先2022年7月7日10 隊(duì)列式

9、分支限界法的搜索解空間樹的方式類隊(duì)列式分支限界法的搜索解空間樹的方式類似于解空間樹的寬度優(yōu)先搜索，不同的是隊(duì)列式似于解空間樹的寬度優(yōu)先搜索，不同的是隊(duì)列式分支限界法不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)（已經(jīng)被判定不分支限界法不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)（已經(jīng)被判定不能導(dǎo)致可行解或不能導(dǎo)致最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)）為根的能導(dǎo)致可行解或不能導(dǎo)致最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)）為根的子樹。這是因?yàn)?，按照?guī)則，這樣的結(jié)點(diǎn)未被列子樹。這是因?yàn)?，按照?guī)則，這樣的結(jié)點(diǎn)未被列入活結(jié)點(diǎn)表。入活結(jié)點(diǎn)表。2022年7月7日11優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的搜索方式是根據(jù)活結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的搜索方式是根據(jù)活結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)確定下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)常用一個(gè)與該結(jié)點(diǎn)

10、有確定下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)常用一個(gè)與該結(jié)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)值關(guān)的數(shù)值p p 來(lái)表示。來(lái)表示。最大優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定最大優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p p 值較大的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算值較大的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)通常用一個(gè)最大堆來(lái)實(shí)現(xiàn)最大優(yōu)先隊(duì)列，用最大法實(shí)現(xiàn)時(shí)通常用一個(gè)最大堆來(lái)實(shí)現(xiàn)最大優(yōu)先隊(duì)列，用最大堆的堆的Deletemax Deletemax 運(yùn)算抽取堆中的下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展運(yùn)算抽取堆中的下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先的原則。結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最大效益優(yōu)先的原則。類似地，最小優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定類似地，最小優(yōu)先隊(duì)列規(guī)定p p 值較小的結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。值較小的結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)較高。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，常

11、用一個(gè)最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)，用最小堆的在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，常用一個(gè)最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)，用最小堆的Deletemin Deletemin 運(yùn)算抽取堆中下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，運(yùn)算抽取堆中下一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)最小優(yōu)先的原則。體現(xiàn)最小優(yōu)先的原則。2022年7月7日12 采用優(yōu)先隊(duì)列式分支定界算法解決具體采用優(yōu)先隊(duì)列式分支定界算法解決具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選用最大優(yōu)先或問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選用最大優(yōu)先或最小優(yōu)先隊(duì)列，確定各個(gè)結(jié)點(diǎn)的最小優(yōu)先隊(duì)列，確定各個(gè)結(jié)點(diǎn)的p p 值。值。2022年7月7日13n=3, c=30, w=16,15,15, p=45,25,25n=3,w=16,15,15,p=4

12、5,25,25,c=30FIFO隊(duì)列：A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列： BCB,CDEJKFGLMNOC,EE,F,GF,GG 455025250n=3,w=16,15,15,p=45,25,25,c=30價(jià)值大者優(yōu)先隊(duì)列：A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列： BCB,CDEJKFGLMNOE,CCF,GG 455025250454525002022年7月7日16n=3, c=30, w=16,15,15, p=45,25,25l 隊(duì)列式分支限界法：A B, C = B, CB, C D, E = EC, E F, G = F, GE, F, G J, K = K(45) 1,0,0F, G L, M =L(50) 0, 1, 1

13、M(25)G N, 0 =N(25), O(0)不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)為根的子樹不搜索以不可行結(jié)點(diǎn)為根的子樹l 優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：A B, C = B(45), C(0)B, C D, E = E(45)E, C J, K = K(45) 1, 0, 0C F, G = F(25), G(0)F, G L, M = L(50), 0, 1, 1 M(25)G N, O = N(25), O(0)l 可用剪枝函數(shù)加速搜索可用剪枝函數(shù)加速搜索2022年7月7日171234206305410ABCDEFGHIJKLMNOPQ1234344342322423問(wèn)題描述：某售貨員問(wèn)題描述：某售貨員要到若干

14、城市去推銷要到若干城市去推銷商品，一直各城市之商品，一直各城市之間的路程，他要選定間的路程，他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一遍，最過(guò)每個(gè)城市一遍，最后回到住地的路線，后回到住地的路線，使總的路程最短。使總的路程最短。1234302010654FIFO隊(duì)列：活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列： BCDEGIKFHJMOQLNP222223333344444592525666659C,D,E D,E,F,GE,F,G,H,I F,G,H,I,J,K G,H,I,J,K H,I,J,K I,J,K J,K K 分支限界法解旅行售貨員問(wèn)題1234302010654最小費(fèi)用優(yōu)先隊(duì)列：活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列： BCD

15、EGIKFHJMOQLNP2222233333444443064402624351114592525666659E,D,C D,J,K,C H,J,K,I,C J,K,I,C K,I,C I,C C F,G G 2022年7月7日20l 隊(duì)列式分支限界法：B C, D, EC, D, E F, GD, E, F, G H, IE, F, G, H, I J, KF, G, H, I, J, K L(59) 1,2,3,4,1G, H, I, J, K M(66)H, I, J, K N(25) 1, 3, 2, 4,1I, J, K 1-3-4(26)J, K P(25)K Q(59)l 優(yōu)先

16、隊(duì)列式分支限界法：B C, D, E = C(30), D(6), E(4)E, D, C J, K = J(14), K(24)D, J, K, C H, I = H(11), I(26)H, J, K, I, C N = N(25) 1, 3, 2, 4,1J, K, I, C P = P(25)K, I, C Q = Q(59)I, C I, C 被限界掉1234206305410ABCDEFGHIJKLMNOPQ12343443423224232022年7月7日21l 如何確定合適的限界函數(shù)？l 如何組織活結(jié)點(diǎn)表？l 如何確定最優(yōu)解中的各個(gè)分量？好的限界函數(shù)不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，還要保證最優(yōu)解

17、在搜索空間中，好的限界函數(shù)不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，還要保證最優(yōu)解在搜索空間中，更重要的是能在搜索的早期對(duì)超出目標(biāo)函數(shù)界的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行丟棄，更重要的是能在搜索的早期對(duì)超出目標(biāo)函數(shù)界的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行丟棄，減少搜索空間，從而盡快找到問(wèn)題的最優(yōu)解。減少搜索空間，從而盡快找到問(wèn)題的最優(yōu)解。 通常采用最大堆或最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解問(wèn)通常采用最大堆或最小堆來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解問(wèn)題。題。 可以用如下方法求得最優(yōu)解中的分量：可以用如下方法求得最優(yōu)解中的分量：1 1）對(duì)每個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)保存）對(duì)每個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)保存該結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑；該結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑；2 2）在搜索過(guò)程中構(gòu)建搜索經(jīng)過(guò)的樹結(jié)）在搜索過(guò)程中構(gòu)建搜索經(jīng)

18、過(guò)的樹結(jié)構(gòu)，在求得最優(yōu)解時(shí)，從葉子結(jié)點(diǎn)不斷回溯到根結(jié)點(diǎn)，以確定最構(gòu)，在求得最優(yōu)解時(shí)，從葉子結(jié)點(diǎn)不斷回溯到根結(jié)點(diǎn)，以確定最優(yōu)解中的各個(gè)分量。優(yōu)解中的各個(gè)分量。 2022年7月7日22一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、0-1背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日23l在有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。2022年7月7日24l用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路的單源最短路徑問(wèn)題徑問(wèn)題產(chǎn)生產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)的解空間樹。其中，每

19、一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。2022年7月7日25l 用一最小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)當(dāng)前路長(zhǎng)。l 算法從圖算法從圖G的源頂點(diǎn)的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)到頂點(diǎn)

20、j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到再到頂點(diǎn)頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。2022年7月7日26l 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界（即結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)）不小于當(dāng)前找到的界（即結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)）不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子

21、樹。最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。l 在算法中，還可以利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。在算法中，還可以利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)從源頂點(diǎn)s出發(fā)，出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。l 例如，從源點(diǎn)例如，從源點(diǎn)s s出發(fā)，經(jīng)過(guò)邊出發(fā)，經(jīng)過(guò)邊a,e,qa,e,q（路長(zhǎng)為（路長(zhǎng)為5 5）和）和經(jīng)過(guò)邊經(jīng)過(guò)邊c,hc,h（路長(zhǎng)為（路長(zhǎng)為6 6）的）的2 2條路徑到達(dá)圖條路徑到達(dá)圖G G的同一頂?shù)耐?/p>

22、一頂點(diǎn)。故可將后一條路徑剪掉。點(diǎn)。故可將后一條路徑剪掉。2022年7月7日27 下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹的剪枝情況。BA優(yōu)于優(yōu)于B，B可剪枝可剪枝經(jīng)過(guò)不同經(jīng)過(guò)不同的路徑到的路徑到達(dá)相同的達(dá)相同的頂點(diǎn)頂點(diǎn)A2022年7月7日28 while (true) for (int j = 1; j = n; j+) if (cE.ijinf)&(E.length+cE.ijdistj) / 頂點(diǎn)頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束可達(dá)，且滿足控制約束 distj=E.length+cE.ij; prevj=E.i; / 加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列加入活結(jié)

23、點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 MinHeapNode N; N.i=j; N.length=distj; H.Insert(N); try H.DeleteMin(E); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) catch (OutOfBounds) break; / 優(yōu)先隊(duì)列空優(yōu)先隊(duì)列空 頂點(diǎn)頂點(diǎn)i i和和j j間有邊，且間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從此路徑長(zhǎng)小于原先從源點(diǎn)到源點(diǎn)到j(luò) j的路徑長(zhǎng)的路徑長(zhǎng) 2022年7月7日29計(jì)算從源頂點(diǎn)計(jì)算從源頂點(diǎn)1到其它頂點(diǎn)間最短路徑到其它頂點(diǎn)間最短路徑2022年7月7日301230V2V0V1V4V33825420510計(jì)算從源頂點(diǎn)計(jì)算從源頂點(diǎn)V0 到其它頂點(diǎn)間最短路徑到其它頂

24、點(diǎn)間最短路徑2022年7月7日31一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、0-1背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日32l有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且wiC1+C2l裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。 l容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。2022年7月7日33 解裝載問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法只求出所要求的解裝載問(wèn)題的隊(duì)

25、列式分支限界法只求出所要求的最優(yōu)值，稍后將進(jìn)一步討論求出最優(yōu)解。函數(shù)最優(yōu)值，稍后將進(jìn)一步討論求出最優(yōu)解。函數(shù)MaxLoading具體實(shí)施對(duì)解空間的分支限界搜索。具體實(shí)施對(duì)解空間的分支限界搜索。其中隊(duì)列其中隊(duì)列Q用于存放活結(jié)點(diǎn)表。在隊(duì)列用于存放活結(jié)點(diǎn)表。在隊(duì)列Q的元素值的元素值表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。 當(dāng)其值當(dāng)其值為為1時(shí)，表示隊(duì)列已到達(dá)解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的時(shí)，表示隊(duì)列已到達(dá)解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。尾部。2022年7月7日34 函數(shù)函數(shù)EnQueue用于將活結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)用于將活結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。該函數(shù)首先檢查隊(duì)列中。該函數(shù)首先檢查i是否等于

26、是否等于n。如果。如果in，則表示當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)為一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。由于葉，則表示當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)為一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。由于葉結(jié)點(diǎn)不會(huì)被進(jìn)一步擴(kuò)展，因此不必加入到活結(jié)結(jié)點(diǎn)不會(huì)被進(jìn)一步擴(kuò)展，因此不必加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。此時(shí)只要檢查該葉結(jié)點(diǎn)表示的可行點(diǎn)隊(duì)列中。此時(shí)只要檢查該葉結(jié)點(diǎn)表示的可行解是否優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，并適時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)解是否優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，并適時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)解。當(dāng)in時(shí)，當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)是一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)是一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，應(yīng)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。應(yīng)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。2022年7月7日35void EnQueue(&Q,Type wt,Type & bestw, int i, int n

27、) /該函數(shù)負(fù)責(zé)加入活結(jié)點(diǎn)該函數(shù)負(fù)責(zé)加入活結(jié)點(diǎn) / 如果不是葉結(jié)點(diǎn)，則將結(jié)點(diǎn)權(quán)值如果不是葉結(jié)點(diǎn)，則將結(jié)點(diǎn)權(quán)值wt加入隊(duì)列加入隊(duì)列Qif (i = n) /可行可行 葉子結(jié)點(diǎn)葉子結(jié)點(diǎn) if (wtbestw) bestw = wt; else Q.Add(wt); / 不是葉子不是葉子2022年7月7日36函數(shù)函數(shù)MaxLoading在開始時(shí)將在開始時(shí)將i初始化為初始化為1，bestw初始化為初始化為0。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空。將同層結(jié)點(diǎn)尾。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空。將同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志部標(biāo)志1加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，表示此時(shí)位于第加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，表示此時(shí)位于第1層結(jié)點(diǎn)的尾部。層結(jié)點(diǎn)的尾部。Ew存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展

28、結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量。重量。2022年7月7日37在算法的在算法的whilewhile循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中( (右兒子結(jié)點(diǎn)一定是右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)可行結(jié)點(diǎn)) )。2 2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由

29、于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1-1，故在取隊(duì)首，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1-1時(shí)，再判時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1-1加入加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。2022年7月7日38while (true) / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn)檢查左兒子結(jié)點(diǎn) if (Ew + wi = c) / xi = 1 EnQueue(Q, Ew + wi, bestw, i, n

30、); / 右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); / xi = 0 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (Ew = -1) / 同層結(jié)點(diǎn)尾部同層結(jié)點(diǎn)尾部 if (Q.IsEmpty() return bestw; Q.Add(-1); / 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i+; / 進(jìn)入下一層進(jìn)入下一層 2022年7月7日39 節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)示不將

31、此集裝箱裝上船。設(shè)bestwbestw是當(dāng)前最優(yōu)解；是當(dāng)前最優(yōu)解；ewew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r r是剩余集裝箱的是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)重量。則當(dāng)ew+rew+r bestwbestw時(shí)，可將其右子樹剪去。時(shí)，可將其右子樹剪去。 算法算法MaxLoadingMaxLoading初始時(shí)將初始時(shí)將bestwbestw置為置為0 0，直到搜，直到搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)時(shí)才更新索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)時(shí)才更新bestwbestw。因此在算法搜。因此在算法搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)之前，總有索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)之前，總有bestwbestw0 0，r r0 0，故，故EwEw十十r rbe

32、stwbestw總是成立。也就是說(shuō)，此時(shí)右子樹測(cè)總是成立。也就是說(shuō)，此時(shí)右子樹測(cè)試不起作用。試不起作用。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestwbestw的值。的值。2022年7月7日40/ 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) Type wt = Ew + wi; / 左兒子結(jié)點(diǎn)的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i n) Q.Add(Ew); / 可能含最優(yōu)解 Q.Delete(Ew); / 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)右兒子剪枝右兒子剪枝 2

33、022年7月7日41while (true) / 檢查左兒子結(jié)點(diǎn)檢查左兒子結(jié)點(diǎn) Type wt = Ew + wi; / 左兒子左兒子結(jié)點(diǎn)的重量結(jié)點(diǎn)的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i 0; j-) bestxj = bestE-LChild; bestE = bestE-parent; 找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯回溯到根結(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。到根結(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。2022年7月7日44l 解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)

34、先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。l 優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。l 在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)在優(yōu)先隊(duì)列

35、式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。2022年7月7日45上述策略可以用兩種不同的方式實(shí)現(xiàn)。第一種方式在結(jié)點(diǎn)上述策略可以用兩種不同的方式實(shí)現(xiàn)。第一種方式在結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列的每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)中保存從解空間樹的根結(jié)點(diǎn)到該優(yōu)先隊(duì)列的每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)中保存從解空間樹的根結(jié)點(diǎn)到該活結(jié)點(diǎn)的路徑，在算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就活結(jié)點(diǎn)的路徑，在算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就在該葉結(jié)點(diǎn)處同時(shí)得到相應(yīng)的最優(yōu)解。第二種策略在算法在該葉結(jié)點(diǎn)處同時(shí)得到相應(yīng)的最優(yōu)解。第二種策略在算

36、法的搜索進(jìn)程中保存當(dāng)前已構(gòu)造出的部分解空間樹，這樣在的搜索進(jìn)程中保存當(dāng)前已構(gòu)造出的部分解空間樹，這樣在算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就可以在解空間樹中算法確定了達(dá)到最優(yōu)值的葉結(jié)點(diǎn)時(shí)，就可以在解空間樹中從該葉結(jié)點(diǎn)開始向根結(jié)點(diǎn)回溯，構(gòu)造出相應(yīng)的最優(yōu)解。在從該葉結(jié)點(diǎn)開始向根結(jié)點(diǎn)回溯，構(gòu)造出相應(yīng)的最優(yōu)解。在下面的算法中，我們采用第二種策略。下面的算法中，我們采用第二種策略。2022年7月7日46第第i十十1層結(jié)點(diǎn)的剩余重量層結(jié)點(diǎn)的剩余重量ri定義為定義為ri= 。變量變量E指向子集樹中當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)指向子集樹中當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), Ew是相應(yīng)的重量。是相應(yīng)的重量。算法開始時(shí)，算法開始時(shí)，i1，Ew0，子集樹

37、的根結(jié)點(diǎn)是擴(kuò)展結(jié)，子集樹的根結(jié)點(diǎn)是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。點(diǎn)。/定義剩余重量數(shù)組定義剩余重量數(shù)組r int * r = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1) ; rn = 0; for(int j = n-1; j 0; j-) rj= rj+1 + wj+1;2022年7月7日47int MaxLoading(int w , int c, int n)/優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量，優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法，返回最優(yōu)載重量，bestx返回最優(yōu)解返回最優(yōu)解 /定義最大堆的容量為定義最大堆的容量為1000/ MaxHeap HeapNode H( 1000 );head = (He

38、apNode*)malloc(sizeof(HeapNode) ;if(head =NULL)printf(沒(méi)有足夠的空間分配沒(méi)有足夠的空間分配n) ; return 1 ; head-level = 0 ; head-next = NULL ; head -ptr =NULL ; head-uweight = 0 ; /定義剩余重量數(shù)組定義剩余重量數(shù)組r int * r = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1) ; rn = 0; for(int j = n-1; j 0; j-) rj= rj+1 + wj+1; /初始化初始化 int i = 1; / 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)

39、點(diǎn)所處的層當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層 bbnode * E =0; /當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) int Ew = 0; /擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量 2022年7月7日48While循環(huán)體產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左右兒子結(jié)點(diǎn)。如果循環(huán)體產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左右兒子結(jié)點(diǎn)。如果當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，即它所相應(yīng)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，即它所相應(yīng)的重量末超過(guò)船載容量，則將它加入到子集樹的第的重量末超過(guò)船載容量，則將它加入到子集樹的第i十十1層上，并插入最大堆。擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)總是可層上，并插入最大堆。擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的，故直接插入子集樹的最大堆中。接著算法

40、從最行的，故直接插入子集樹的最大堆中。接著算法從最大堆中取出最大元素作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。如果此時(shí)大堆中取出最大元素作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。如果此時(shí)不存在下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則相應(yīng)的問(wèn)題無(wú)可行解。如不存在下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則相應(yīng)的問(wèn)題無(wú)可行解。如果下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，即子集樹中第果下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，即子集樹中第n十十1層結(jié)點(diǎn)，則它相應(yīng)的可行解為最優(yōu)解。該最優(yōu)解所相層結(jié)點(diǎn)，則它相應(yīng)的可行解為最優(yōu)解。該最優(yōu)解所相應(yīng)的路徑可由子集樹中從該葉結(jié)點(diǎn)開始沿結(jié)點(diǎn)父指針應(yīng)的路徑可由子集樹中從該葉結(jié)點(diǎn)開始沿結(jié)點(diǎn)父指針逐步構(gòu)造出來(lái)。具體算法可描述如下：逐步構(gòu)造出來(lái)。具體算法可描述如下：2022年7月7日49

41、while( i!=n+1 ) /非葉結(jié)點(diǎn)非葉結(jié)點(diǎn) /檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn)檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn) if(Ew+w i level;E = N-ptr;Ew = N-uweight-ri-1;/優(yōu)先權(quán)優(yōu)先權(quán)uweight = Ew + r i - 1;2022年7月7日50for(j = n ; j 0;j-) /構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解 bestxj = E - LChild; E = E-parent;return Ew;構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解2022年7月7日512022年7月7日52一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、四、0-1背包問(wèn)題背包問(wèn)題

42、五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日53l給定n種物品和一個(gè)背包，物品i的重量是wi，價(jià)值pi,背包容量為C，問(wèn)如何選擇裝入背包的物品，使裝入背包中的物品的總價(jià)值最大？l對(duì)于每種物品只能選擇完全裝入或不裝入，一個(gè)物品至多裝入一次。2022年7月7日54l 首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。l 在優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝入背包的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。l 算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一

43、定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)即為問(wèn)題的最優(yōu)值。2022年7月7日55templateTypep Knap:Bound(int i)/ 計(jì)算結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)價(jià)值的上界計(jì)算結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)價(jià)值的上界 Typew cleft = c - cw; / 剩余容量剩余容量 Typep b = cp; /價(jià)值上界價(jià)值上界 / 以物品單位重量?jī)r(jià)值遞減序裝滿剩余背包容量以物品單位重量?jī)r(jià)值遞減序裝滿剩余背包容量 while (i = n & wi = cleft) cleft -= wi; b += pi; i+; / 裝填剩余容量至裝滿背包裝填剩余容量

44、至裝滿背包 if (i = n) b += pi/wi * cleft; return b; 2022年7月7日56while (i != n+1) / 非葉結(jié)點(diǎn)非葉結(jié)點(diǎn) / 檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn) Typew wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp+pi; AddLiveNode(up, cp+pi, cw+wi, true, i+1); up = Bound(i+1); / 檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn) if (up = bestp) / 右子樹可能含最優(yōu)解右子樹可能含最優(yōu)解 AddLive

45、Node(up, cp, cw, false, i+1); / 取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）分支限界搜索分支限界搜索過(guò)程過(guò)程2022年7月7日57一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、0-1背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日58l 給定無(wú)向圖G=(V，E)。如果UV，且對(duì)任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。l 下圖G中，子集1，2是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖1，2

46、，5包含。1，2，5是G的最大團(tuán)。1，4，5和2，3，5也是G的最大團(tuán)。 2022年7月7日59 子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界函數(shù)（upperSizebestn）時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集

47、樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。2022年7月7日60l用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。l在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。2022年7月7日61l具體算法略（見課本）。 算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對(duì)于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSizecliqueS

48、ize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。 2022年7月7日62一、分支限界法的基本思想二、單源最短路徑問(wèn)題三、裝載問(wèn)題四、0-1背包問(wèn)題五、最大團(tuán)問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題六、旅行售貨員問(wèn)題2022年7月7日63l 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。l 路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線

49、的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。l 旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。2022年7月7日64l算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。l算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處

50、理：2022年7月7日651、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x0:s，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)xi，且(xs，xi)是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcostbestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。2022年7月7日66l 算

51、法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x0:n-1，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。l 算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。2022年7月7日672022年7月7日682022年7月7日692022年7月7日702022年7月7日712022年7月7日72

52、 算法中算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)sn1時(shí)，已找到的回路前綴是時(shí)，已找到的回路前綴是x0：n1，它已包含圖，它已包含圖G的所有的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)sn1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的1cost值不小于己找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致值不小于己找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相

53、應(yīng)的回路是費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束.2022年7月7日73 算法的算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分兩種情況進(jìn)行處理。于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分兩種情況進(jìn)行處理。首先；考慮首先；考慮sn2的情形。此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹的情形。此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用

54、，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)sn-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x0:s，其可行兒子結(jié)。，其可行兒子結(jié)。點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)xs+1:n-1中選取的頂點(diǎn)中選取的頂點(diǎn)xIj，且，且(x s，xi)是所給有向圖是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x0:s，xi)的費(fèi)用的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界和相應(yīng)的下界Lcost。當(dāng)。當(dāng)lc

55、ostbestc時(shí)，將這個(gè)可時(shí)，將這個(gè)可行兒行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。2022年7月7日74試寫出試寫出0/1 0/1 背包問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分枝限界算法程序，背包問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分枝限界算法程序，并找一個(gè)物品件數(shù)為并找一個(gè)物品件數(shù)為16 16 的例子檢驗(yàn)程序的運(yùn)行情況。的例子檢驗(yàn)程序的運(yùn)行情況。上機(jī)上機(jī)2022年7月7日75回溯法與分支限界法的用回溯法與分支限界法的用法取向探討法取向探討1.1.基本思想分析基本思想分析回溯法的基本思想回溯法的基本思想: 首先確定解空間的組織結(jié)構(gòu)首先確定解空間的組織結(jié)構(gòu), 接著就從接著就從開始結(jié)點(diǎn)開始結(jié)點(diǎn)(根結(jié)點(diǎn)根結(jié)點(diǎn)) 出

56、發(fā)出發(fā), 以深度優(yōu)先的方式搜索整個(gè)解空間。以深度優(yōu)先的方式搜索整個(gè)解空間。這個(gè)開始結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)活結(jié)點(diǎn)這個(gè)開始結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)活結(jié)點(diǎn), 同時(shí)也成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)同時(shí)也成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處點(diǎn)。在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處, 搜索向縱深方向移至一個(gè)新結(jié)點(diǎn)。搜索向縱深方向移至一個(gè)新結(jié)點(diǎn)。這個(gè)新結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)新的活結(jié)點(diǎn)這個(gè)新結(jié)點(diǎn)就成為一個(gè)新的活結(jié)點(diǎn), 并成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。并成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。如果在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處不能再向縱深方向移動(dòng)如果在當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處不能再向縱深方向移動(dòng), 則當(dāng)前擴(kuò)則當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)就成為死結(jié)點(diǎn)。換句話說(shuō)展結(jié)點(diǎn)就成為死結(jié)點(diǎn)。換句話說(shuō), 這個(gè)結(jié)點(diǎn)不再是一個(gè)活結(jié)這個(gè)結(jié)點(diǎn)不再是一個(gè)活結(jié)點(diǎn)

57、。此時(shí)點(diǎn)。此時(shí), 應(yīng)往回移動(dòng)應(yīng)往回移動(dòng)(回溯回溯) 至最近的一個(gè)活結(jié)點(diǎn)處至最近的一個(gè)活結(jié)點(diǎn)處, 并使這并使這個(gè)活結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；厮莘匆赃@種工作方式遞個(gè)活結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；厮莘匆赃@種工作方式遞歸地在解空間中搜索歸地在解空間中搜索, 直至找到所要求的解或解空間中已沒(méi)直至找到所要求的解或解空間中已沒(méi)有活結(jié)點(diǎn)時(shí)為止。有活結(jié)點(diǎn)時(shí)為止。2022年7月7日76分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想: 確定解空間的組織結(jié)構(gòu)確定解空間的組織結(jié)構(gòu), 以廣度優(yōu)先以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)或以最小耗費(fèi)(最大效益最大效益) 優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹。優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹。在搜索問(wèn)題的解空

58、間樹時(shí)在搜索問(wèn)題的解空間樹時(shí), 分支限界法與回溯法對(duì)當(dāng)前擴(kuò)展分支限界法與回溯法對(duì)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中, 每一個(gè)活結(jié)每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中, 那些導(dǎo)那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄, 其余兒子結(jié)其余兒子結(jié)點(diǎn)被子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后點(diǎn)被子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后, 從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成從活結(jié)點(diǎn)表中取下

59、一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn), 并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所求的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。持續(xù)到找到所求的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。2022年7月7日77用法比較用法比較分支限界法類似于回溯法分支限界法類似于回溯法, 也是一種在問(wèn)題的解空間樹也是一種在問(wèn)題的解空間樹T上搜索問(wèn)題解的算法。但在一般情況下上搜索問(wèn)題解的算法。但在一般情況下, 分支限界法與回分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同?；厮莘ǖ那蠼饽繕?biāo)是找出溯法的求解目標(biāo)不同?；厮莘ǖ那蠼饽繕?biāo)是找出T中滿中滿足約束條件的所有解足約束條件的所有解, 而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出而分支限

60、界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解滿足約束條件的一個(gè)解, 或是在滿足約束條件的解中找出或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解, 即在某種意義下即在某種意義下的最優(yōu)解。的最優(yōu)解。2022年7月7日78由于求解目標(biāo)不同由于求解目標(biāo)不同, 導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹T上的搜索方式也不相同?；厮莘ㄒ陨疃葍?yōu)先的方式搜索解上的搜索方式也不相同?；厮莘ㄒ陨疃葍?yōu)先的方式搜索解空間樹空間樹T, 而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹方式搜索解空間樹T。分支限界法的搜索策略是。分支限界法的搜索