距離最短或最大問題分析

1、路雖遠，行則必至；事雖難，做則必成 PAGE 11初中數(shù)學專題復習：最短距離問題分析 最值問題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強的問題，它貫穿初中數(shù)學的始終，是中考的熱點問題，它主要考察學生對平時所學的內(nèi)容綜合運用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結論（如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質求最值。一、“最值”問題大都歸于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種

2、情況：（1）歸于“兩點之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時，大都應用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時，大都應用這一模型。 （1）歸于“兩點之間的連線中，線段最短”ABPl幾何模型：條件：如圖，、是直線同旁的兩個定點問題：在直線上確定一點，使的值最小方法：作點關于直線的對稱點，連結交于點，則的值最?。ú槐刈C明）模型應用：例1 如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點連結，由正方形對稱性可知，與關于直線對稱連結交于，則的最小值是_；如圖2，的半徑為2，點在上，是上一動點，求的最小值；例3 如圖3，是內(nèi)一點，分別

3、是上的動點，求周長的最小值解：（1）的最小值是 （2）的最小值是（3）周長的最小值是注意：至于求線段的長，仍是以歸入“解直角三角形”為第一選擇。不管在什么背景下，有關線段之和最短問題，總是化歸到“兩點之間的所有連線中，線段最短”，而轉化的方法大都是借助于“軸對稱點”ACBPACBPQACBPQ例4 如圖，（1），在中，為邊上一定點，（不與點B，C重合），為邊上一動點，設的長為，請寫出最小值，并說明理由。（1）（1）（1）【觀察與思考】其實，本題和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直線上求一點，使它到同側的兩個定點和的距離之和最小”。因此，可由圖（1）（連結關于的對稱點與所成線段，交于?；驁D（

4、1）（連結關于的對稱點與所成線段，交于，都同樣可得最小值。解：如圖（1），作點關于的對稱點，連結交于點，易知，。在中，又，在上任意取一異于的點，連結，則 對邊上的動點，最小值為。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”幾何模型：條件：如下圖，、是直線同旁的兩個定點問題：在直線上確定一點，使的值最大方法：作過點與點B的直線，直線AB與交于點，則的值最大（不必證明）若、是直線異旁的兩個定點則先做對稱點，再連接對稱點與A（或B）。模型應用：例1 拋物線交軸于A，B兩點，交軸于點已知拋物線的對稱軸為.求（1）求拋物線的解析式；ABC （2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使點到B，C兩點的距離之差最大？

5、若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。例2 已知：如圖，把矩形放置于直角坐標系中，取的中點，連結，把沿軸的負方向平移的長度后得到.(1)試直接寫出點的坐標；(2)已知點與點在經(jīng)過原點的拋物線上，點在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點作軸于點，連結.試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得的值最大.解：(1)依題意得：； (2) ，. 拋物線經(jīng)過原點，設拋物線的解析式為又拋物線經(jīng)過點與點 解得：拋物線的解析式為.存在點，使得的值最大.拋物線的對稱軸為直線，設拋物線與軸的另一個交點為，則點.點、點關于直線對稱， 要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當、三點在同一

6、直線上時，的值最大. 設過、兩點的直線解析式為， 解得：直線的解析式為.當時，.存在一點使得最大【超強大腦訓練營】ADEPBC1.如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 D 第2題2一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標解：(1)將點A、B的坐標代入ykxb并計算得k2，b4解析式為：y2x4；(2)設點C關于點O的對稱點為C，連結PC、DC，則PCPC

7、PCPDPCPDCD，即C、P、D共線時，PCPD的最小值是CD連結CD，在RtDCC中，CD2；易得點P的坐標為(0，1)(亦可作RtAOB關于y軸對稱的)3. 如圖，拋物線的頂點為A，與y 軸交于點BBOAxy(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PA-PBAB；(3)當PA-PB最大時，求點P的坐標.解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)證明：.當點P是AB的延長線與x軸交點時，PA-PB=AB；.當點P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點時，BOAxyPH在點P、A、B構成的三角形中，PA-PBAB. 綜合上述：PA-PBAB.(3

8、)作直線AB交x軸于點P由(2)可知：當PA-PB最大時，點P是所求的點作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)yOxPDB4. 如圖，在矩形中，已知、兩點的坐標分別為，為的中點設點是平分線上的一個動點（不與點重合）（1）試證明：無論點運動到何處，總與相等；（2）當點運動到與點的距離最小時，試確定過三點的拋物線的解析式；（3）設點是（2）中所確定拋物線的頂點，當點運動到何處時，的周長最??？求出此時點的坐標和的周長；yOxDBPEFM解：（1）點是的中點，又是的角平分線，（2）過點作的平分線

9、的垂線，垂足為，點即為所求易知點的坐標為（2，2），故，作，是等腰直角三角形，點的坐標為（3，3） 拋物線經(jīng)過原點， 設拋物線的解析式為又拋物線經(jīng)過點和點， 有 解得拋物線的解析式為（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于的平分線的對稱點即為點連接，它與的平分線的交點即為所求的點（因為，而兩點之間線段最短），此時的周長最小拋物線的頂點的坐標，點的坐標， 設所在直線的解析式為，則有，解得所在直線的解析式為點滿足，解得，故點的坐標為 的周長即是5. 如圖（1），拋物線和軸的交點為為的中點，若有一動點，自點處出發(fā)，沿直線運動到軸上的某點（設為點），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設為點），最后

10、又沿直線運動到點，求使點運動的總路程最短的點，點的坐標，并求出這個最短路程的長。AFEM解：如圖（1），由題意可得（0，3），拋物線的對稱點為，點關于軸的對稱點為，點關于拋物線對稱軸的對稱點為（6，3）。連結。根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，的長就是所求點運動中最短總路程的長，在直線的方程為（過程略）。AFEMB33設與的交點為則為在軸上所求的點，與直線的交點為所求的F點?？傻命c的坐標為（2，0），F(xiàn)點的坐標為）。由勾股定理可求出（過程略）所以點運動的總路程（）最短時間為。不管在什么背景下，有關線段之和最短問題，總是化歸到“兩點之間的所有連線中，線段最短”，而轉化的方法大都是借助于“軸對稱點

11、”信心測試1.已知：拋物線的對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小請求出點P的坐標（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）過點D作交軸于點連接、設的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由ACxyBO5題圖ACxyBO解：（1）此拋物線的解析式為（2）連結、.因為的長度一定，所以周長最小，就是使最小.點關于對稱軸的對稱點是點，與對稱軸的交點即為所求的點.（第24題圖）OACxyBEPD設直線的表達式為則解得此直線的表達式為把代入得點的坐標為2.如圖，拋

12、物線的頂點P的坐標為，交x軸于A、B兩點，交y軸于點DOxyBEPAC（1）求拋物線的表達式（2）把ABC繞AB的中點E旋轉180，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知DOxyBEPACP解得， 拋物線的解析式為 （2）設點A（，0），B（，0），則，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋轉性質可知ACBD，BCAD 四邊形ADBC是平行四邊形 又ACB90四邊形ADBC是矩形 （3）延長BC至N，使假設存在一點

13、F，使FBD的周長最小即最小DB固定長只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN當N、F、D在一條直線上時，F(xiàn)D+FB最小 又C為BN的中點， （即F為AC的中點） 又A（1，0），C（0，EQ R(,3)） 點F的坐標為F（，） 存在這樣的點F（，），使得FBD的周長最小 3.恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解：圖10（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC40,又AP10, AC30 在RtABC 中，AB50 AC3