數(shù)字信號處理課后答案+第3章DFT+FFT（章節(jié)課程）

1、教材第3章習(xí)題與上機題解答 1 計算以下序列的N點DFT， 在變換區(qū)間0nN1內(nèi)， 序列定義為 (1) x(n)=1 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5) (6) (7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) (9) x(n)=cos(0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n)解：(1)（2）（3）(4)(5) 0kN1(6)0kN1(7) 或（8） 解法一 直接計算： 解法二 由DFT的共軛對稱性求解。因為所以所以即結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。 此題驗證了共軛對稱性。(9) 解

2、法一 直接計算: 解法二 由DFT共軛對稱性可得同樣結(jié)果。 因為（10） 解法一上式直接計算較難， 可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。 因為x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式兩邊進行DFT， 得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k)故當(dāng)k=0時， 可直接計算得出X(0)為這樣， X(k)可寫成如下形式： 解法二 k=0時， k0時， 所以， ，即 2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k)(1)(2)其中， m為正整數(shù)， 0mN/2, N為變換區(qū)間長度。 解: （1） n=0, 1, , N1(2)n=0, 1, , N13 已

3、知長度為N=10的兩個有限長序列：做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。題3解圖4 證明DFT的對稱定理， 即假設(shè)X(k)=DFTx(n)， 證明DFTX(n)=Nx(Nk) 證： 因為所以由于所以 DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1 5 如果X(k)=DFTx(n)， 證明DFT的初值定理證: 由IDFT定義式可知6 設(shè)x(n)的長度為N， 且X(k)=DFTx(n) 0kN1令h(n)=x(n)

4、NRmN(n) m為自然數(shù)H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)與X(k)的關(guān)系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 則因為 所以7 證明: 若x(n)為實序列， X(k)=DFTx(n)N， 則X(k)為共軛對稱序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)實偶對稱， 即x(n)=x(Nn)， 則X(k)也實偶對稱； 若x(n)實奇對稱， 即x(n)=x(Nn)， 則X(k)為純虛函數(shù)并奇對稱。 證: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道， 如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)

5、+jxi(n)則X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共軛對稱分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共軛反對稱分量。 所以， 如果x(n)為實序列， 則Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。（2） 由DFT的共軛對稱性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)則ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以， 當(dāng)x(n)=x(Nn)時， 等價于上式中xop(n

6、)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有實部， 即X(k)為實函數(shù)。 又由（1）證明結(jié)果知道， 實序列的DFT必然為共軛對稱函數(shù)， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)實偶對稱。同理， 當(dāng)x(n)=x(Nn)時， 等價于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有純虛部， 且由于x(n)為實序列， 即X(k)共軛對稱， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 為純虛奇函數(shù)。8 證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)： 設(shè)X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)， 則 證： 令m=k+l, 則 9 已知

7、x(n)長度為N， X(k)=DFTx(n)， 求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。 解:10 證明離散相關(guān)定理。 若X(k)=X1* (k)2(k)則 證： 根據(jù)DFT的惟一性， 只要證明即可。令m=l+n， 則所以 當(dāng)然也可以直接計算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。 0nN1由于0nN1所以11 證明離散帕塞瓦爾定理。 若X(k)=DFTx(n)， 則證： 12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)與y(n)均為長度為N的實序列。 設(shè)F(k)=DFTf(n)N 0kN1(1)(2) F(k)=1+jN試求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)

8、和y(n)。 解: 由DFT的共軛對稱性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k) 方法一 （1）0nN1由于0n, mN1所以 x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1 （2） F(k)=1+jN，方法二 令只要證明A(k)為共軛對稱的，B(k)為共軛反對稱， 則就會有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因為，共軛對稱，共軛反對稱 所以由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n) y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n) 13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 對x(n)的Z變換X(z)在單位圓

9、上等間隔采樣N點， 采樣序列為求有限長序列IDFTX(k)N。 解: 我們知道， , 是以2為周期的周期函數(shù)， 所以以N為周期， 將看作一周期序列的DFS系數(shù)， 則由式知為將式代入式得到由于 所以由題意知 所以根據(jù)有關(guān)X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有由于0nN1， 所以因此說明： 平時解題時， 本題推導(dǎo)的過程可省去， 直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n對每個序列作20點DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, ,

10、19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？解: 如前所述， 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n1915 已知實序列x(n)的8點DFT的前5個值為0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)

11、的其余3點的值； （2） 求X1(k)=DFTx1(n)8；（3） ，求。解： （1）因為x(n)是實序列， 由第7題證明結(jié)果有X(k)=X*(Nk)， 即X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3點值為X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根據(jù)DFT的時域循環(huán)移位性質(zhì)， (3)16 x(n)、 x1(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFTx(n)8。 求和注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。解： 因為x1(n)=x(n+3)8R8(n), x2(n)=x(n2)8R

12、8(n)， 所以根據(jù)DFT的時域循環(huán)移位性質(zhì)得到17 設(shè)x(n)是長度為N的因果序列， 且試確定Y(k)與X(ej)的關(guān)系式。 解： y(n)是x(n)以M為周期的周期延拓序列的主值序列， 根據(jù)頻域采樣理論得到18 用微處理機對實數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 解: （1） 已知F=50 Hz， 因而（2）（3）（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變

13、， 應(yīng)該使記錄時間擴大1倍， 即為0.04 s， 實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。19 已知調(diào)幅信號的載波頻率fc=1 kHz， 調(diào)制信號頻率fm=100 Hz， 用FFT對其進行譜分析， 試求： (1) 最小記錄時間Tp min; (2) 最低采樣頻率fs min; (3) 最少采樣點數(shù)Nmin。解： 調(diào)制信號為單一頻率正弦波時， 已調(diào)AM信號為x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm)所以， 已調(diào)AM信號x(t) 只有3個頻率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高頻率fmax=1.1 kHz， 頻率分辨率F100 Hz（對本題所給單頻AM調(diào)制

14、信號應(yīng)滿足100/F=整數(shù)， 以便能采樣到這三個頻率成分）。 故(1)(2)(3)（注意， 對窄帶已調(diào)信號可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣， 壓縮碼率。 而在本題的解答中， 我們僅按基帶信號的采樣定理來求解。 ）20 在下列說法中選擇正確的結(jié)論。 線性調(diào)頻Z變換可以用來計算一個有限長序列h(n)在z平面實軸上諸點zk的Z變換H(zk)， 使 (1) zk=ak, k=0, 1, , N1, a為實數(shù)，a1; (2) zk=ak, k=0, 1, , N1, a為實數(shù)， a1; (3) (1)和(2)都不行， 即線性調(diào)頻Z變換不能計算H(z)在z平面實軸上的取樣值。 解： 在chirp-Z變換中，

15、 在z平面上分析的N點為zk=AWk k=0, 1, , N1其中所以當(dāng)A0=1, 0=0, W0=a1, j=0時， zk=ak故說法（1）正確, 說法（2）、 （3）不正確。 21 我們希望利用h(n)長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理， 要求采用重疊保留法通過DFT(即FFT)來實現(xiàn)。 所謂重疊保留法， 就是對輸入序列進行分段(本題設(shè)每段長度為M=100個采樣點)， 但相鄰兩段必須重疊V個點， 然后計算各段與h(n)的L點(本題取L=128)循環(huán)卷積， 得到輸出序列ym(n)， m表示第m段循環(huán)卷積計算輸出。 最后， 從ym(n)中選取B個樣值， 使每段選取的B

16、個樣值連接得到濾波輸出y(n)。 (1) 求V； (2) 求B； (3) 確定取出的B個采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些樣點。 解: 為了便于敘述， 規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號為n=0, 1, 2, , 127。 先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)分析問題， 因為當(dāng)h(n)的50個樣值點完全與第m段輸入序列xm(n)重疊后， ylm(n)才與真正的濾波輸出y(n)相等， 所以， ylm(n)中第0點到第48點（共49個點）不正確， 不能作為濾波輸出， 第49點到第99點（共51個點）為正確的濾波輸出序列y(n)的第m段， 即B=51。所以， 為了去除前面49個不正確點， 取

17、出51個正確的點連接, 得到不間斷又無多余點的y(n)， 必須重疊10051=49個點， 即V=49。 下面說明， 對128點的循環(huán)卷積ym(n)， 上述結(jié)果也是正確的。 我們知道因為ylm(n)長度為N+M1=50+1001=149所以n從21到127區(qū)域無時域混疊， ym(n)=ylm(n)， 當(dāng)然， 第49點到第99點二者亦相等， 所以， 所取出的51點為從第49點到第99點的ym(n)。 綜上所述， 總結(jié)所得結(jié)論： V=49, B=51 選取ym(n)中第4999點作為濾波輸出。 讀者可以通過作圖來理解重疊保留法的原理和本題的解答。 22 證明DFT的頻域循環(huán)卷積定理。 證： DFT的

18、頻域循環(huán)卷積定理重寫如下: 設(shè)h(n)和x(n)的長度分別為N和M， ym(n)=h(n)x(n)H(k)=DFTh(n)L, X(k)=DFTX(n)L則L X(k)其中， LmaxN， M。根據(jù)DFT的惟一性， 只要證明ym(n)=IDFTYm(k)=h(n)x(n)， 就證明了DFT的頻域循環(huán)卷積定理。 23* 已知序列x(n)=1, 2, 3, 3, 2, 1。 （1） 求出x(n)的傅里葉變換X(ej)， 畫出幅頻特性和相頻特性曲線(提示： 用1024點FFT近似X(ej)； （2） 計算x(n)的N（N6）點離散傅里葉變換X(k)， 畫出幅頻特性和相頻特性曲線； （3） 將X(ej

19、)和X(k)的幅頻特性和相頻特性曲線分別畫在同一幅圖中， 驗證X(k)是X(ej)的等間隔采樣， 采樣間隔為2/N； （4） 計算X(k)的N點IDFT， 驗證DFT和IDFT的惟一性。解： 該題求解程序為ex323.m， 程序運行結(jié)果如題23*解圖所示。 第（1）小題用1024點DFT近似x(n)的傅里葉變換； 第（2）小題用32點DFT。 題23*解圖(e)和(f)驗證了X(k)是X(ej)的等間隔采樣， 采樣間隔為2/N。 題23*解圖(g) 驗證了IDFT的惟一性。 題23*解圖24*給定兩個序列: x1(n)=2, 1, 1, 2 , x2(n)=1, 1, 1, 1。 （1） 直接

20、在時域計算x1(n)與x2(n)的卷積； （2） 用DFT計算x1(n)與x2(n)的卷積， 總結(jié)出DFT的時域卷積定理。 解： 設(shè)x1(n)和x2(n)的長度分別為M1和M2， X1(k)=DFTx1(n)N, X2(k)=DFTx2(n)N Yc(k)=X1(k)X2(k), yc(n)=IDFTYc(k)N所謂DFT的時域卷積定理， 就是當(dāng)NM1+M21時， yc(n)=x1(n)*x2(n)。本題中， M1=M2=4， 所以， 程序中取N=7。 本題的求解程序ex324.m如下： % 程序 ex324.m x1n=2 1 1 2； x2n=1 1 1 1； %時域直接計算卷積yn： y

21、n=conv(x1n， x2n)%用DFT計算卷積ycn： M1=length(x1n)；M2=length(x2n)； N=M1+M21；X1k=fft(x1n， N)； %計算x1n的N點DFTX2k=fft(x2n， N)； %計算x2n的N點DFTYck=X1k.*X2k； ycn=ifft(Yck， N)程序運行結(jié)果： 直接在時域計算x1(n)與x2(n)的卷積yn和用DFT計算x1(n)與x2(n)的卷積ycn如下： yn=2 1 2 2 2 1 2ycn=2.0000 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.000025*已知序列h(n)=R6(

22、n), x(n)=nR8(n)。 （1） 計算yc(n)=h(n) 8 x(n)； （2） 計算yc(n)=h(n) 16 x(n)和y(n)=h(n)*x(n)；（3） 畫出h(n)、 x(n)、 yc(n)和y(n)的波形圖， 觀察總結(jié)循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系。 解： 本題的求解程序為ex325.m。 程序運行結(jié)果如題25*解圖所示。 由圖可見， 循環(huán)卷積為線性卷積的周期延拓序列的主值序列； 當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度大于等于線性卷積序列長度時， 二者相等， 見圖（b）和圖(c)。 題25*解圖程序ex325.m如下： %程序ex325.m hn=1 1 1 1； xn=0 1 2 3； %用DF

23、T計算4點循環(huán)卷積yc4n： H4k=fft(hn， 4)； %計算h(n)的4點DFTX4k=fft(xn， 4)； %計算x(n)的4點DFTYc4k=H4k.*X4k； yc4n=ifft(Yc4k， 4)； %用DFT計算8點循環(huán)卷積yc8n： H8k=fft(hn， 8)； %計算h(n)的8點DFTX8k=fft(xn， 8)； %計算x(n)的8點DFTYc8k=H8k.*X8k； yc8n=ifft(Yc8k， 8)； yn=conv(hn， xn)； %時域計算線性卷積yn：26* 驗證頻域采樣定理。 設(shè)時域離散信號為其中a=0.9， L=10。 （1） 計算并繪制信號x(n

24、)的波形。 （2）證明： （3） 按照N=30對X(ej)采樣得到（4） 計算并圖示周期序列試根據(jù)頻域采樣定理解釋序列與x(n)的關(guān)系。 （5） 計算并圖示周期序列，比較 與驗證（4）中的解釋。 （6） 對N=15， 重復(fù)（3）（5）。 解： 求解本題（1）、 （3）、 （4）、 （5）、 （6）的程序為ex326.m。 下面證明（2）。 N=30和N=15時， 對頻域采樣Ck進行離散傅里葉級數(shù)展開得到的序列分別如題26*解圖(b)和(c)所示。 由圖顯而易見， 如果Ck表示對X(ej)在0， 2上的N點等間隔采樣， 則簡言述之： xN(n)是x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。 程序

25、ex326.m如下： 程序中直接對（2）中證明得到的結(jié)果采樣得到Ck。 %程序ex326.m% 頻域采樣理論驗證clear all； close all； a=0.9； L=10； n=-L： L； %= N=30 =N=30； xn=a.abs(n)； %計算產(chǎn)生序列x(n)subplot(3， 2， 1)； stem(n， xn， .)； axis(15， 15， 0， 1.2)； %(1)顯示序列x(n)title(a)x(n)的波形 )； xlabel(n)； ylabel(x(n)； box on % 對X(jw)采樣30點： for k=0： N1， Ck(k+1)=1； for

26、m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N);%(3)計算30點%采樣Ck endendx30n=ifft(Ck， N)； %(4)30點IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下為繪圖部分n=0： N1； subplot(3， 2， 2)； stem(n， x30n， .)； axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title(b)N=30由Ck展開的的周期序列的主值序列 )； xlabel(n)； ylabel(x30(n)%= N=15 =N=15； % 對X(jw)采樣15點： for k=0： N1， Ck

27、(k+1)=1； for m=1： L， Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N); %(3)計算30點%采樣Ck endendx15n=ifft(Ck， N)； %(4)15點IDFT得到所要求的周期序列的主值序列 %以下為繪圖部分n=0： N1； subplot(3， 2， 3)； stem(n， x15n， .)； axis(0， 30， 0， 1.2)； box on title(c)N=15由Ck展開的的周期序列的主值序列 )； xlabel(n)； ylabel(x15(n)程序運行結(jié)果如題26*解圖所示。 題26*解圖27* 選擇合適

28、的變換區(qū)間長度N， 用DFT對下列信號進行譜分析， 畫出幅頻特性和相頻特性曲線。 （1） x1(n)=2 cos(0.2n) （2） x2(n)=sin(0.45n)sin(0.55n)（3） x3(n)=2|n|R21(n+10)解： 求解本題的程序為ex327.m， 程序運行結(jié)果如題27*解圖所示。 本題選擇變換區(qū)間長度N的方法如下：對x1(n)， 其周期為10， 所以取N1=10； 因為x2(n)=sin(0.45n) sin(0.55n)=0.5cos(0.1n)cos(n)， 其周期為20， 所以取N2=20； x3(n)不是因果序列， 所以先構(gòu)造其周期延拓序列（延拓周期為N3），

29、再對其主值序列進行N3點DFT。 x1(n)和x2(n)是周期序列， 所以截取1個周期， 用DFT進行譜分析， 得出精確的離散譜。 x3(n)是非因果、 非周期序列，通過試驗選取合適的DFT變換區(qū)間長度N3進行譜分析。 題27*解圖x1(n)的頻譜如題27*解圖(a)和(b)所示， x2(n)的頻譜如題27*解圖(c)和(d)所示。 用32點DFT對x3(n)的譜分析結(jié)果見題27*解圖(e)、 (f)和(g)， 用64點DFT對x3(n)的譜分析結(jié)果見題27*解圖(h)、 (i)和(j)。 比較可知， 僅用32點分析結(jié)果就可以了。 請注意， x3(n)的相頻特性曲線的幅度很小， 這是計算誤差引

30、起的。 實質(zhì)上， x3(n)是一個實偶對稱序列， 所以其理論頻譜應(yīng)當(dāng)是一個實偶函數(shù)， 其相位應(yīng)當(dāng)是零。 程序ex327.m如下： %程序ex327.m% 用DFT對序列譜分析n1=0： 9； n2=0： 50； n3=-10： 10； N1=10； N2=20； N3a=32； N3b=64； x1n=2*cos(0.2*pi*n1)； %計算序列x1nx2n=2*sin(0.45*pi*n2).*sin(0.55*pi*n2)； %計算序列 x2nx3n=0.5.abs(n3)； %計算序列x3nx3anp=zeros(1， N3a)； %構(gòu)造x3n的周期延拓序列， 周期為N3afor m=

31、1： 10， x3anp(m)=x3n(m+10)；x3anp(N3a+1-m)=x3n(11m)；endx3bnp=zeros(1， N3b)； %構(gòu)造x3n的周期延拓序列， 周期為N3bfor m=1： 10， x3bnp(m)=x3n(m+10)； x3bnp(N3b+1m)=x3n(11m)； endX1k=fft(x1n， N1)； %計算序列x1n的N1點DFTX2k=fft(x2n， N2)； %計算序列x2n的N2點DFTX3ak=fft(x3anp， N3a)； %計算序列x3n的N3a點DFT X3bk=fft(x3bnp， N3b)； %計算序列x3n的N3b點DFT%以

32、下為繪圖部分（省略）3.6 教材第4章習(xí)題與上機題解答快速傅里葉變換（FFT）是DFT的快速算法， 沒有新的物理概念。 FFT的基本思想和方法教材中都有詳細的敘述， 所以只給出教材第4章的習(xí)題與上機題解答。 1 如果某通用單片計算機的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s， 每次復(fù)數(shù)加需要1 s， 用來計算N=1024點DFT， 問直接計算需要多少時間。 用FFT計算呢？照這樣計算， 用FFT進行快速卷積對信號進行處理時， 估計可實現(xiàn)實時處理的信號最高頻率。 解: 當(dāng)N=1024=210時， 直接計算DFT的復(fù)數(shù)乘法運算次數(shù)為N2=10241024=1 048 576次復(fù)數(shù)加法運算次數(shù)為N（N1）=1

33、0241023=1 047 552次直接計算所用計算時間TD為TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT計算1024點DFT所需計算時間TF為快速卷積時， 需要計算一次N點FFT（考慮到H(k)=DFTh(n)已計算好存入內(nèi)存）、 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點IFFT。 所以， 計算1024點快速卷積的計算時間Tc約為所以， 每秒鐘處理的采樣點數(shù)（即采樣速率）由采樣定理知， 可實時處理的信號最高頻率為應(yīng)當(dāng)說明， 實際實現(xiàn)時， fmax還要小一些。 這是由于實際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時， 重疊部分要計算兩次。 重疊部分長度與h

34、(n)長度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時間。 2 如果將通用單片機換成數(shù)字信號處理專用單片機TMS320系列， 計算復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加各需要10 ns。 請重復(fù)做上題。 解: 與第1題同理。 直接計算1024點DFT所需計算時間TD為TD=1010910242+101091 047 552=20.961 28 ms用FFT計算1024點DFT所需計算時間TF為快速卷積計算時間Tc約為可實時處理的信號最高頻率fmax為由此可見， 用DSP專用單片機可大大提高信號處理速度。 所以， DSP在數(shù)字信號處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 機器周期小于1 ns的DSP產(chǎn)品已上市， 其處理速度更高。 3 已

35、知X(k)和Y(k)是兩個N點實序列x(n)和y(n)的DFT， 希望從X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 為提高運算效率， 試設(shè)計用一次N點IFFT來完成的算法。 解: 因為x(n)和y(n)均為實序列， 所以， X(k)和Y(n)為共軛對稱序列， jY(k)為共軛反對稱序列。 可令X(k)和jY(k)分別作為復(fù)序列F(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量， 即F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)計算一次N點IFFT得到f(n)=IFFTF(k)=Ref(n)+j Imf(n)由DFT的共軛對稱性可知Ref(n)=IDFTFep(k)=IDFTX(k)=x(n)j

36、Imf(n)=IDFTFop(k)=IDFTjY(k)=jy(n)故4 設(shè)x(n)是長度為2N的有限長實序列， X(k)為x(n)的2N點DFT。 (1) 試設(shè)計用一次N點FFT完成計算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，試設(shè)計用一次N點IFFT實現(xiàn)求X(k)的2N點IDFT運算。解: 本題的解題思路就是DIT-FFT思想。（1） 在時域分別抽取偶數(shù)和奇數(shù)點x(n)， 得到兩個N點實序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1根據(jù)DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N點DFT，

37、 再經(jīng)過簡單的一級蝶形運算就可得到x(n)的2N點DFT。 因為x1(n)和x2(n)均為實序列， 所以根據(jù)DFT的共軛對稱性， 可用一次N點FFT求得X1(k)和X2(k)。 具體方法如下：令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , N1則2N點DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到這樣， 通過一次N點IFFT計算就完成了計算2N點DFT。 當(dāng)然還要進行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的運算(運算量相對很少)。 （2） 與（1）相同， 設(shè)x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1X2(k)