2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊人教A版：第五章 5-4-1

1、5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.2.會用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.3.能利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解決簡單問題知識點(diǎn)一正弦函數(shù)的圖象1正弦曲線的定義正弦函數(shù)ysin x，xR的圖象叫正弦曲線2正弦函數(shù)圖象的畫法(1)幾何法：利用單位圓上點(diǎn)T(x0，sin x0)畫出ysin x，x0,2的圖象；將圖象向左、向右平行移動(每次2個單位長度)(2)五點(diǎn)法：畫出正弦曲線在0,2上的圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，1)，(，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f

2、(3,2)，1)，(2，0)，用光滑的曲線連接；將所得圖象向左、向右平行移動(每次2個單位長度)思考為什么把ysin x，x0,2的圖象向左、向右平移2的整數(shù)倍個單位長度后圖象形狀不變？答案由公式sin(x2k)sin x，kZ可得知識點(diǎn)二余弦函數(shù)的圖象1余弦曲線的定義余弦函數(shù)ycos x，xR的圖象叫余弦曲線2余弦函數(shù)圖象的畫法(1)要得到y(tǒng)cos x的圖象，只需把ysin x的圖象向左平移eq f(,2)個單位長度即可，這是由于cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2).(2)用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線ycos x在0,2上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1

3、)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，(，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，(2，1)，再用光滑的曲線連接1正弦函數(shù)的圖象向左右是無限伸展的()2正弦函數(shù)ysin x的圖象在x2k，2k2，(kZ)上的圖象形狀相同，只是位置不同()3函數(shù)ysin x的圖象向右平移eq f(,2)個單位得到函數(shù)ycos x的圖象()4函數(shù)ycos x的圖象關(guān)于x軸對稱()一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識例1(1)下列敘述正確的個數(shù)為()ysin x，x0,2的圖象關(guān)于點(diǎn)P(，0)成中心對稱；ycos x，x0,2的圖象關(guān)于直線x成軸對稱；正、余弦函

4、數(shù)的圖象不超過直線y1和y1所夾的范圍A0 B1個 C2個 D3個答案D解析分別畫出函數(shù)ysin x，x0,2和ycos x，x0,2的圖象，由圖象(略)觀察可知均正確(2)函數(shù)ysin |x|的圖象是()答案B解析ysin |x|eq blcrc (avs4alco1(sin x，x0，,sin x，x0，)結(jié)合選項(xiàng)可知選B.反思感悟解決正、余弦函數(shù)圖象的注意點(diǎn)對于正、余弦函數(shù)的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過相互平移得到跟蹤訓(xùn)練1關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法：ysin x1.1的圖象與x軸有無限多個公共點(diǎn)；ycos(x)與y

5、cos |x|的圖象相同；y|sin x|與ysin(x)的圖象關(guān)于x軸對稱；ycos x與ycos(x)的圖象關(guān)于y軸對稱其中正確的序號是_答案解析對，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其圖象相同；對，ycos(x)cos x，故其圖象關(guān)于y軸對稱；作圖(略)可知均不正確二、用“五點(diǎn)法”作簡圖例2用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖：(1)ysin x1，x0,2；(2)y2cos x，x0,2解(1)列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)2sin x01010sin x110121描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖(2)列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)

6、2cos x101012cos x32123描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖反思感悟作形如yasin xb(或yacos xb)，x0,2的圖象的三個步驟跟蹤訓(xùn)練2利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y1sin x(0 x2)的簡圖解(1)取值列表：x0eq f(,2)eq f(3,2)2sin x010101sin x10121(2)描點(diǎn)連線，如圖所示三、正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用例3利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的x的集合(1)sin xeq f(1,2)；(2)cos xeq f(1,2).解(1)作出正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集合

7、為eq blcrc(avs4alco1(f(,6)2k，f(5,6)2k)，kZ.(2)作出余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集合為eq blcrc(avs4alco1(f(,3)2k，f(5,3)2k)，kZ.反思感悟用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在0,2上的圖象；(2)寫出不等式在區(qū)間0,2上的解集；(3)根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集跟蹤訓(xùn)練3在0,2上，使cos xeq f(1,2)成立的x的取值集合為_答案eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(2,3)xf(4,3)解

8、析畫出ycos x在0,2上的簡圖，如圖所示由于cos xeq f(1,2)時，xeq f(2,3)或xeq f(4,3).由圖象可知，在0,2上，使cos xeq f(1,2)成立的角x的取值集合為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(2,3)xf(4,3).根據(jù)函數(shù)圖象求范圍典例函數(shù)f(x)sin x2|sin x|，x0,2的圖象與直線yk有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案(1,3)解析用數(shù)形結(jié)合法判斷k的取值范圍f(x)eq blcrc (avs4alco1(3sin x，0 x，,sin x，x2.)圖象如下圖所示結(jié)合圖象可知1k

9、3.素養(yǎng)提升關(guān)于方程根的個數(shù)問題，往往運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題來解決1函數(shù)ysin x，xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)的簡圖是()答案D解析函數(shù)ysin x與ysin x的圖象關(guān)于x軸對稱，故選D.2在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)ysin x，x0,2與ysin x，x2，4的圖象()A重合B形狀相同，位置不同C關(guān)于y軸對稱D形狀不同，位置不同答案B解析根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)ysin x，x0,2與ysin x，x2，4的圖象只是位置不同，形狀相同3用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y23sin x的圖象時，首先應(yīng)描出五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A0，

10、eq f(,4)，eq f(,2)，eq f(3,4)， B0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2C0，2，3，4 D0，eq f(,6)，eq f(,3)，eq f(,2)，eq f(2,3)答案B解析所描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)與函數(shù)ysin x的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2，故選B.4不等式cos x0，x0,2的解集為_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)解析由函數(shù)ycos x的圖象可知，不等式cos x0，x0,2的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2).5函數(shù)ycos x，x0,2

11、的圖象與直線yeq f(1,4)的交點(diǎn)有_個答案2解析作ycos x，x0,2的圖象及直線yeq f(1,4)(圖略)，知兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)1知識清單：(1)通過單位圓畫正弦函數(shù)圖象；(2)通過平移得余弦函數(shù)的圖象；(3)五點(diǎn)法作圖；(4)函數(shù)圖象的應(yīng)用2方法歸納：數(shù)形結(jié)合3常見誤區(qū)：五點(diǎn)的選取；平移得余弦函數(shù)的圖象1用五點(diǎn)法畫y3sin x，x0,2的圖象時，下列哪個點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(3,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，3) C(，0) D(2，0)答案A解析五個關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是0，eq f(,

12、2)，eq f(3,2)，2.2函數(shù)ysin(x)，x0,2的簡圖是()答案B解析由ysin(x)sin x可知，其圖象和ysin x的圖象關(guān)于x軸對稱3函數(shù)y1sin x，x0,2的圖象與直線y2交點(diǎn)的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析由函數(shù)y1sin x，x0,2的圖象(如圖所示)，可知其與直線y2只有1個交點(diǎn)4在0,2內(nèi)，不等式sin xeq f(r(3),2)的解集是()A(0，) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(4,3) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(5,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(5

13、,3)，2)答案C解析畫出ysin x，x0,2的草圖如下因?yàn)閟in eq f(,3)eq f(r(3),2)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,3)eq f(r(3),2).即在0,2內(nèi)，滿足sin xeq f(r(3),2)的xeq f(4,3)或eq f(5,3).可知不等式sin xeq f(r(3),2)的解集是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(5,3).故選C.5如圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是()Ay|sin x| Bysin |x|Cysin |

14、x| Dy|sin x|答案C解析排除法，可知C正確6用“五點(diǎn)法”畫出y2sin x在0,2內(nèi)的圖象時，應(yīng)取的五個點(diǎn)為_答案(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，2)，(，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，(2，0)解析可結(jié)合函數(shù)ysin x的五個關(guān)鍵點(diǎn)尋找，即把相應(yīng)的五個關(guān)鍵點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍即可7函數(shù)ycos x4，x0,2的圖象與直線y4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，4)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)解析由eq blcrc (avs4alco1(

15、ycos x4，,y4)得cos x0，當(dāng)x0,2時，xeq f(,2)或eq f(3,2)，交點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，4)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4).8函數(shù)y的定義域是_答案x|2kx2k，kZ解析由0知0sin x1，由正弦函數(shù)圖象(圖略)知2kx2k，kZ.9用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡圖(1)y3sin x(x0,2)；(2)ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xblcrc(avs4alco1(f(,2)，f(5,2).解(1)列表如下：x0eq f(

16、,2)eq f(3,2)23sin x03030描點(diǎn)連線如圖：(2)列表如下：xeq f(,2)eq f(3,2)2eq f(5,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)01010描點(diǎn)連線如圖：10根據(jù)ycos x的圖象解不等式：eq f(r(3),2)cos xeq f(1,2)，x0，2解函數(shù)ycos x，x0,2的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可得不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(,3)xf(5,6)或f(7,6)xf(5,3).11如圖所示，函數(shù)ycos x|tan x|eq blc(rc)(avs4alco1

17、(0 xf(3,2)且xf(,2)的圖象是()答案C解析當(dāng)0 xeq f(,2)時，ycos x|tan x|sin x；當(dāng)eq f(,2)x時，ycos x|tan x|sin x；當(dāng)xeq f(3,2)時，ycos x|tan x|sin x，故其圖象為C.12方程sin xeq f(x,10)的根的個數(shù)是()A7 B8 C9 D10答案A解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出yeq f(x,10)和ysin x的圖象如圖所示根據(jù)圖象可知方程有7個根13函數(shù)y2cos x，x0,2的圖象和直線y2圍成的一個封閉的平面圖形的面積是_答案4解析如圖所示，將余弦函數(shù)的圖象在x軸下方的部分補(bǔ)到x軸的上方，可得一個

18、矩形，其面積為224.14函數(shù)ysin x2|sin x|在0,2上的圖象若與直線yk有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_，若與直線yk有四個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案1k30k1解析 ysin x2|sin x|eq blcrc (avs4alco1(3sin x，0 x，,sin x，x2，)由題意在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，若有兩個不同的交點(diǎn)，則1k3.若有四個不同的交點(diǎn)，則0k1.15已知函數(shù)f(x)|sin x|，x2，2，則方程f(x)eq f(1,2)的所有根的和等于()A0 B C D2答案A解析若f(x)eq f(1,2)，即|sin x|eq f(1,2)，則sin xeq f(1,2)或sin xeq f(1,2).因?yàn)閤2，2，所以方程sin xeq f(1,2)的4個根關(guān)于xeq f(,2)對稱，則對稱的2個根之和為，則4個根之和為2，由對稱性可得sin xeq f(1,2)的四個根之和為2.綜上，方程f(x)eq f(1,2)的所有根的