高三數(shù)學(xué)軌跡問題的求法

1、軌跡方程的求法 求平面上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程不僅是教學(xué)大綱要求掌握的主要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。由于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律千差萬別，因此求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法也多種多樣，這里介紹幾種常用的方法。 1、直接法 例1、動(dòng)點(diǎn)P到直線xy=6的距離的平方等于由兩坐標(biāo)軸及點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸之垂線所圍成的矩形面積，求P的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）則 S=|xy|點(diǎn)P到直線x十y=6的距離 故P點(diǎn)的軌跡方程為： 即：（x+y-6）2=2|xy| 當(dāng)xy0時(shí)，方程為(x-6)2+(y-6)2=36當(dāng)xy0時(shí)，方程為x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 ACB2、定義法例2如圖，在ABC中邊BC=a，若三

2、內(nèi)角滿足 sinC sinb= sinA，求點(diǎn) A的軌跡方程。 解:以BC所在的直線為x軸，BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（一a，0），C（a，0），設(shè)A（x，y）則 由sinC sinB= sinAc-b= a即|AB|-|AC|= a（定值）由雙曲線定義知軌跡方程為 3、相關(guān)點(diǎn)法（代入法） 例3、從定點(diǎn)A（0，4），連接雙曲線x2一4y2=16上任一點(diǎn)Q，求內(nèi)分線段AQ成1：2的分點(diǎn)P的軌跡。 解：設(shè)Q（xl，y1），P（x，y），由題設(shè)， 則 Q（x1，y2）在雙曲線上：, 即: 4、參數(shù)法 例題4、已知線段AB的長(zhǎng)為a，P分AB為 APPB= 2l兩部分，當(dāng)A點(diǎn)在y

3、軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），AB和x軸的夾角為，| ，作PMx于M, PNy軸于N|AB|= a, |AP|= a, |PB|= a動(dòng)點(diǎn)P的參數(shù)方程為 即：5、交軌法 例6、橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1(一4,0),F2(4,0)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓與雙曲線交點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a（2a0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且， P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存

4、在，請(qǐng)說明理由。 OxyABCDEFP解：根據(jù)題意，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，根據(jù)此判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離和為定值。 依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)設(shè) =k(0k1),由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)直線OF的方程為 2ax+(2k-1)y=0直線GE的方程為 -a(2k-1)x+y-2a=0從消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0, 整理得 當(dāng)a2= 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)； 當(dāng)a2 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離

5、之和為定值； 其中當(dāng)a2 時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（a， ）的 距離之和為定值2a. 2003年高考題20（本小題滿分12分） 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南（ arccos ）方向 300 km的海面P處，并以20 kmh的速度問西偏北450方向移動(dòng)。臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 kmh的速度不斷增大問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ 解：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向，建立直角坐標(biāo)系在時(shí)刻t(h)，臺(tái)風(fēng)中心P（m,n）的坐標(biāo)為即此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是其中r(t)=10t+60若在時(shí)刻t城市O受到侵襲，則有 即： 解得12

6、t24 答：12小時(shí)后該城市受到臺(tái)風(fēng)侵襲。 http:/www.139111888.club lpu48hln 五歲以上，三十歲以下的年青人，而且耿老爹計(jì)劃只教授三年時(shí)間，因此其教材的內(nèi)容與一年級(jí)小學(xué)童的課本有些不同，而且一開始就加入了珠算。兄妹仨把夜校教材也研究一遍，都感覺并沒有什么需要改動(dòng)的。然后，耿正就帶著新婚燕爾的秀兒，又拉上耿直、娘和耿蘭專門去了一趟省城。那日進(jìn)城后，耿正先把娘、秀兒和耿蘭安置到客棧里住下后，馬上就和弟弟帶上書稿直奔省城唯一的一家印書館去了。去了印書館后，耿正與其掌柜的說明情況，提出來希望其一定要保證質(zhì)量，并且爭(zhēng)取盡量加快印刷。掌柜的滿口答應(yīng)，說：“先生只管放心，樣書

7、您也看了，我們的印刷質(zhì)量絕對(duì)沒有問題！這樣吧，你們年底之前，大概在臘月二十前后就可以來提書了。”謝過掌柜的后，耿正當(dāng)即交付了規(guī)定的定金。柜臺(tái)給開了付印課本的名稱、數(shù)量和總費(fèi)用，以及定金的收據(jù)之后，兄弟倆高高興興地返回客棧。耿正這次省城印書可謂計(jì)劃周全，不但帶弟弟去了省城的印書館，使倆人都得以了解了付印課本的一切交接程序，而且還順便帶著娘、秀兒和耿蘭在省城里美美地轉(zhuǎn)悠了一番，讓她們有機(jī)會(huì)開了一次大的眼界！返回來的路上，耿正吩咐弟弟：“年底之前取書的事兒哥就不管了。你叫上你姐夫給你趕車，看你姐和董妞兒，還有大伯大娘他們是不是想去省城里玩兒玩兒。如果他們想去，就順便讓他們也坐車去轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)?！惫⒅闭f：“

8、行，印書館那地兒俺記住了！”耿正又吩咐：“你們?nèi)ヌ釙鴷r(shí)，一定要仔細(xì)檢查他們的印刷質(zhì)量和交付數(shù)量；如果沒有錯(cuò)，就補(bǔ)足費(fèi)用全部提了，還要讓他們給咱打包好了！”耿直說：“那些憑證單據(jù)什么的還是哥你保存著哇，走之前再給俺！俺可不想多操心，倘若弄丟了一張，豈不麻煩！”郭氏伸出右手食指輕輕戳了一下耿直的腦門兒，半憐愛半舔怪地說：“你就討省心哇，虧得有你哥哥在前面擋著呢！這么多年過去了，怎么還是這么一個(gè)小娃娃的脾性！”秀兒卻說：“娘，你可別這樣說，小直子很不容易的。他哥哥和俺說過好多次了，小直子很堅(jiān)強(qiáng)，也很聰明能干呢。在親哥哥的面前，弟弟永遠(yuǎn)都是弟弟哇！”耿直撇撇嘴說：“可不是耶，后來的這些年爹不在跟前，哥哥就當(dāng)是俺的爹啦！當(dāng)年走的時(shí)候，俺還只知道貪玩兒呢，就連俺喝了的那些個(gè)墨水兒，也主要是俺哥和俺姐給俺灌輸?shù)哪?！”耿蘭說：“是啊二哥，大哥和咱姐教了你，三哥倒是得了咱爹的親傳！看這事情，怎么給搞成這樣