概率與過程課件：第一章 概率論的基礎(chǔ)知識(shí) 第四節(jié) 條件概率

1、 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？?1.4 條件概率若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？ 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率解：設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球這就是利用縮減

2、的樣本空間來做的一、條件概率例1S=ABA第一次取到紅球,B第二次取到紅球 顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有NA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有NAB個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則 “條件概率”是“概率”嗎？?條件概率的性質(zhì):(P(A) 0)(1) P(B|A) 0P(S|A)=1對(duì)一列兩兩互不相容的事件 A1, A2 , , 有 P( A1 A2 |A ) P(A1|A) P(A2|A)+ 設(shè)A,B,C是樣本空間S中的三個(gè)事件,且P(C)0,試用概率的運(yùn)算性質(zhì)證明:P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A

3、B|C)例2 條件加法公式 而 所求概率為解：設(shè) A= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩 B= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩 已知某家庭有3個(gè)小孩，且至少有一個(gè)是女孩，求該家庭至少有一個(gè)男孩的概率例 3 用公式法求條件概率一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010解：設(shè)A從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B從盒中隨機(jī)取到一只新球. AB這就是利用縮減的樣本空間來做的例4 縮減的樣本空間法求概率設(shè)A、B S，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A)上式就稱為事件A、B的概率乘法公式。 上式還可推廣到三個(gè)事

4、件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1) 二、乘法公式例5 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，i=1,2,3,4,則作業(yè)4.4可參照此例題例5 利用乘法公式求交集的概率解：令 Ai = “第 i 次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 則所求的事件為： 例6 一批零件共100個(gè)，其中有10個(gè)次品，依次做不放回的抽取

5、三次，求第三次才抽到合格品的概率？例6 利用乘法公式求交集的概率定義： 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2AnB三、全概率公式與貝葉斯公式A1B， A2B，AnB是B 的一個(gè)劃分。例：S=南理工全體本科生 Ai=“南理工本科i年級(jí)學(xué)生” i=1,2,3,4 “南理工本科生中男學(xué)生” “南理工本科生中女學(xué)生”概率論意義：若A1，A2，An是S的一個(gè)劃分，則， A1，A2，An任意兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生。定理1、設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B S有 上式稱為 。全概率公式全概率公式的證明:由于A1,

6、 A2, An兩兩互不相容所以由概率的有限可加性，得全概率公式的說明我們把事件B 看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率例7. 市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。B例7-9 利用全概率公式求一般概率例8 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A從

7、甲袋放入乙袋的是白球； B從乙袋中任取一球是紅球；甲乙作業(yè)4.5可參照此例題例9 在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴4個(gè)隊(duì)爭(zhēng)奪決賽權(quán)，半決賽方式是中國(guó)對(duì)古巴，日本對(duì)美國(guó)，并且中國(guó)隊(duì)已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊(duì)，現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績(jī)，假定中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)和美國(guó)隊(duì)的概率分別為0.9與0.4，而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國(guó)隊(duì)的概率為0.5，試問中國(guó)隊(duì)取得冠軍的可能性有多大？解：設(shè)A1日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)； A2美國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)； B中國(guó)隊(duì)取得冠軍；若已知中國(guó)隊(duì)獲得了冠軍，問中國(guó)隊(duì)是與美國(guó)隊(duì)決賽而獲勝的概率是多少？解:定理2 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B, P(B)0,有 上式稱為 。貝

8、葉斯公式貝葉斯公式的說明我們把事件B 看作某種結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)B發(fā)生是由第 i 個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式托馬斯 貝葉斯 (Thomas Bayes，1702-1761)英國(guó)數(shù)學(xué)家. 1702年出生于倫敦，1761年4月7日逝世.1742年成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 后來成為了一名Presbyterian minister(長(zhǎng)老會(huì)牧師). 和他的同事們不同：他認(rèn)為上帝的存在可以通過方程式證明. 貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論. 他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決

9、策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn). 1763年發(fā)表了這方面的論著，對(duì)于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用. 貝葉斯理論是非常令人著迷的、強(qiáng)大的工具，當(dāng)我們需要處理多個(gè)變量系統(tǒng)的時(shí)候尤其有用.正因?yàn)槿绱耍谧匀豢茖W(xué)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的眾多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用. 他對(duì)統(tǒng)計(jì)推理的主要貢獻(xiàn)是使用了逆概率這個(gè)概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來. 貝葉斯的另一著作機(jī)會(huì)的學(xué)說概論發(fā)表于1758年. 貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿用至今. 雖然他看到了自己的兩篇論文被發(fā)表了，但是于1763年發(fā)表在倫敦皇家學(xué)會(huì)哲學(xué)學(xué)報(bào)上的那一篇提出著名的貝葉斯公式的論文論有關(guān)機(jī)遇問題的求解(Essay Toward Sol

10、ving a Problem in the Doctrine of Chances)卻是在他死后的第三年才被發(fā)表. 200多年后，經(jīng)過多年的發(fā)展與完善，貝葉斯公式以及由此發(fā)展起來的一整套理論與方法，已經(jīng)成為概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)冠以“貝葉斯”名字的學(xué)派，他的這一理論照亮了今天的計(jì)算領(lǐng)域，成了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)軟件的理論基礎(chǔ)，尤其是在數(shù)據(jù)管理軟件領(lǐng)域.商店論箱出售玻璃杯，每箱20只。其中每箱僅可能含0，1，2只次品，其相應(yīng)的概率分別為0.8,0.1, 0.1。某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.若已知顧客買下了一箱，則這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)B:從一箱中任取4只檢

11、查,結(jié)果都是好的. A0, A1, A2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1由貝葉斯公式:例10-11 利用貝葉斯公式求條件概率例11數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)，則發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+

12、0.067解：設(shè)A發(fā)射端發(fā)射0， B接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(0.1)條件概率 縮減的樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式有限可加性 條件概率示意圖本節(jié)要求內(nèi)容1、條件概率與乘法公式；2、全概率公式與貝葉斯公式。要求1、會(huì)用公式法和縮減的樣本空間法求條件概率；2、會(huì)用乘法公式計(jì)算交集的概率；3、會(huì)用全概率公式與貝葉斯公式計(jì)算一般概率與條件概率。練習(xí)題11 袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×薾