高考專版——“動(dòng)能定理”的典型例題

1、高考專版“動(dòng)能定理”的典型例題【例1】質(zhì)量為m=2kg的物體，在水平面上以v1= 6m/s的速度勻速向西運(yùn)動(dòng)，若有一個(gè)F=8N、方向向北的恒定力作用于物體，在t=2s內(nèi)物體的動(dòng)能增加了 A28J B64J C32J D36J E100J【分析】物體原來(lái)在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后將做類似于平拋的曲線運(yùn)動(dòng)(見圖)物體在向北方向上的加速度2s后在向北方向上的速度分量故2s后物體的合速度所以物體在2s內(nèi)增加的動(dòng)能為也可以根據(jù)力對(duì)物體做動(dòng)能定理來(lái)計(jì)算由于在這個(gè)過(guò)程中，可以看作物體只受外力F作用，在這個(gè)力方向上的位移外力F對(duì)物體做的功W =Fs= 88J=64J，故物體動(dòng)能的增加【答】B【說(shuō)

2、明】由上述計(jì)算可知，動(dòng)能定理在曲線運(yùn)動(dòng)中同樣適用，而且十分簡(jiǎn)捷有的學(xué)生認(rèn)為，物體在向西方向上不受外力，保持原動(dòng)運(yùn)能不變，向北方向上受到外力后，向北方向上的動(dòng)能增加了即整個(gè)物體的動(dòng)能增加了64J，故選B必須注意，這種看法是錯(cuò)誤的動(dòng)能是一個(gè)標(biāo)量(不同于動(dòng)量)，不能分解外力對(duì)物體做功引起物體動(dòng)能的變化，是對(duì)整個(gè)物體而言的，它沒(méi)有分量式(不同于物體在某方向上不受外力，該方向上動(dòng)量守恒的分量式)上述計(jì)算結(jié)果的巧合是由于v2與v1互成90角的緣故【例2】一個(gè)物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，量得停止處對(duì)開始運(yùn)動(dòng)處的水平距離為s(見圖)，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，并認(rèn)

3、為斜面與水平面對(duì)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，求摩擦因數(shù)【分析】以物體為研究對(duì)象，它從靜止開始運(yùn)動(dòng)，最后又靜止在平面上，整個(gè)過(guò)程中物體的動(dòng)能沒(méi)有變化，即Ek2=Ek1=0可以根據(jù)全過(guò)程中功與物體動(dòng)能的變化上找出聯(lián)系【解】物體沿斜面下滑時(shí)，重力和摩擦力對(duì)物體做功(支持力不做功)，設(shè)斜面傾角為，斜坡長(zhǎng)L，則重力和摩擦力的功分別為WG= mgsinL，Wf1= -mgcosL在平面上滑行時(shí)僅有摩擦力做功(重力和支持力不做功)，設(shè)平面上滑行距離為s2，則Wf2= -mgs2整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有外力的功為W=WG+Wf1+Wf2，=mgsinL - umgcosL- mgs2根據(jù)動(dòng)能定理，W=Ek2-Ek1，式中

4、s1為斜面底端與物體初位置間水平距離，故【說(shuō)明】本題也可運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解物體沿斜面下滑時(shí)的加速度物體在平面上滑行時(shí)的加速度比較這兩種解法，可以看到，應(yīng)用動(dòng)能定理求解時(shí)，只需考慮始末運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，無(wú)需關(guān)注運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的細(xì)節(jié)變化(如從斜面到平面的運(yùn)動(dòng)情況的變化)，顯得更為簡(jiǎn)捷本題也為我們提供了一種測(cè)定動(dòng)摩擦因數(shù)的方法廂所受阻力不變，對(duì)車廂的牽引力應(yīng)增加 A1103N B2103NC4103N D條件不足，無(wú)法判斷【分析】礦砂落入車廂后，受到車廂板摩擦力f的作用，使它做加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t后礦砂的速度達(dá)到車廂的速度v=2m/s,這段時(shí)間內(nèi)礦砂的位移因此選t內(nèi)落下的礦砂m為研究對(duì)象，以將接角

5、車箱板和達(dá)到速度v=2m/s兩時(shí)刻為始末兩狀態(tài)時(shí)，動(dòng)能增量由功與動(dòng)能變化的關(guān)系得在這過(guò)程中，車廂板同時(shí)受到礦砂的反作用f，其大小也為4103N，方向與原運(yùn)動(dòng)方向相反，所以，為保持車廂的勻速運(yùn)動(dòng)需增加的牽引力為【答】C【說(shuō)明】常有人誤認(rèn)為礦砂落入車廂內(nèi)，礦砂的位移就是車廂的位移s =vt，于是得車廂應(yīng)增加的牽引力大小為這是不正確的，因?yàn)樵诘V砂將接觸車廂板到兩者以共同速度v=2m/s運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，車廂和礦砂做兩種不同的運(yùn)動(dòng)，礦砂的速度小于車廂的速度，它們之間才存在著因相對(duì)滑動(dòng)而出現(xiàn)的滑動(dòng)摩擦力也正是由于滑動(dòng)摩擦力的存在，車廂所增加的牽引力做的功并沒(méi)有完全轉(zhuǎn)化為礦砂的動(dòng)能，其中有一部分消耗在克服摩擦

6、做功而轉(zhuǎn)化為熱能!iedtxx(stylebkzd, 1107P02.htm)【例4】一輛車通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m為物體，如圖a所示繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上設(shè)繩的總長(zhǎng)不變、繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸，滑輪上的摩擦都忽略不計(jì)開始時(shí)，車在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩繩長(zhǎng)為H提升時(shí)，車加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C設(shè)A到B的距離也為H車過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB求在車由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功【分析】汽車從A到B把物體提升的過(guò)程中，物體只受到拉力和重力的作用，根據(jù)物體速度的變化和上升高度，由動(dòng)能定理即得【解】以物體為研究對(duì)象

7、，開始時(shí)其動(dòng)能Ek1=0隨著車的加速拖動(dòng)，重物上升，同時(shí)速度也不斷增加當(dāng)車子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重物獲得一定的上升速度vQ，這個(gè)速度也就是收繩的速度，它等于車速沿繩子方向的一個(gè)分量(圖b)，即于是重物的動(dòng)能增為在這個(gè)提升過(guò)程中，重物受到繩中拉力T、重力mg物體上升的高度和重力的功分別為于是由動(dòng)能定理得即所以繩子拉力對(duì)物體做的功【說(shuō)明】必須注意，速度分解跟力的分解一樣，兩個(gè)分速度的方向應(yīng)該根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果確定車子向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩端(P)除了有沿繩子方向的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)外(每一瞬間繩處于張緊的狀態(tài))，還參予了繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(繩與豎直方向間夾角不斷變化)，因此還應(yīng)該有一個(gè)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，這個(gè)速度垂直于繩長(zhǎng)方

8、向所以車子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度分解圖應(yīng)如圖6所示，由此得拉繩的速度Vb1(即提升重物的速度vQ)與車速vB的關(guān)系為【例5】在平直公路上，汽車由靜止開始作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到vm后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)直到停止，v-t圖像如圖所示設(shè)汽車的牽引力為F，摩擦力為f，全過(guò)程中牽引力做功W1，克服摩擦力做功W2，則 AF：f = 1：3 BF：f = 4：1CW1：W2= 1：1 DW1：W2 = 1：3【分析】在t = 01s內(nèi)，汽車在牽引力F和摩擦力f共同作用下作勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a1由牛頓第二定律F-f = ma1在t=l4s內(nèi)，汽車僅受摩擦力作用作勻減速滑行，設(shè)加速度為a2，則-f = ma2由于兩過(guò)

9、程中加速度大小之比為在前、后兩過(guò)程中，根據(jù)合力的動(dòng)能定理可知， WF=Wf1+Wf2=Wf。即全過(guò)程中牽引力做功（W1=WF）和汽車克服摩擦力做功（W2=Wf）相等【答】BC【說(shuō)明】為了比較兩個(gè)功的關(guān)系，還可以從全過(guò)程考慮：因?yàn)槠囋谑?、末兩狀態(tài)都處于靜止，則EK=0，所以整個(gè)過(guò)程中各個(gè)力做功之和W=0，于是立即可得W1=Wf（即W1=W2）這種從全過(guò)程上考慮的方法，是動(dòng)能定理的一個(gè)應(yīng)用特點(diǎn)，尤其在EK=0的情況，往往更為簡(jiǎn)捷，請(qǐng)加以體會(huì)【例6】質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg

10、，此后小球繼續(xù)作圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功為 【分析】設(shè)小球通過(guò)最低點(diǎn)A的速度為v1，繩子張力T1=7mg在最低點(diǎn)時(shí)，由繩子張力和小球重力的合力提供向心力，設(shè)小球恰通過(guò)最高點(diǎn)的速度為v2，此時(shí)繩子張力T2=0，正好由小球重力提供向心力，即小球由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B過(guò)程中，小球重力和空氣阻力都對(duì)小球做負(fù)功，根據(jù)力對(duì)小球做的動(dòng)能定理，由【答】C【例7】在光滑水平面上有一靜止的物體現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，作用一段時(shí)間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體當(dāng)恒力乙作用時(shí)間與恒力甲作用時(shí)間相同時(shí)，物體恰好回到原處，此時(shí)物體的動(dòng)能為32J則在整個(gè)過(guò)程中，恒

11、力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?【分析】物體先作勻加速運(yùn)動(dòng)，后作勻減速運(yùn)動(dòng)回到原處，整個(gè)過(guò)程中的位移為零根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可確定兩個(gè)力的大小關(guān)系，然后對(duì)全過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理即可得解或者根據(jù)兩個(gè)力作用時(shí)間相同、兩個(gè)過(guò)程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出兩者末速度的關(guān)系，即可得解【解】方法1 物體從靜止起受水平恒力F甲作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間t后的速度為間t后回到原處整個(gè)時(shí)間內(nèi)物體的位移為零設(shè)在F甲作用下物體的位移為s，對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得所以，恒力甲和乙做的功分別為方法2 設(shè)恒力F甲作用時(shí)間t，使物體通過(guò)位移s后的速度為v1，恒力F乙物體回到原點(diǎn)的速度為v2，作用時(shí)

12、間也是t前、后兩段相同時(shí)間t內(nèi)的位移大小相等，由得 v2=2v1，已知Ek2=32J，故Ek1=8J根據(jù)動(dòng)能定理可知，恒力F甲和F乙做的功分別為W甲=Ek1=8J，W乙=Ek1=32J8J=24J【說(shuō)明】本題可以利用v-t圖，更直觀地得到啟發(fā)，設(shè)F甲作用時(shí)間t后物體的速度為v1，這就是勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度接著在F乙作用下物體作勻減速運(yùn)動(dòng)，物體先按原方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t0后速度減小為零，然后反向運(yùn)動(dòng)因此，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的v-t圖如圖所示物體回到原點(diǎn)，意味著圖線上下方與t軸間的面積相等設(shè)甲、乙兩力作用時(shí)的加速度大小分別為a1、a2則v1=a1t，v2=a2（t2-t0），聯(lián)立（1）、（2）兩式得所以兩

13、力做功之比【例8】如圖所示，輕質(zhì)長(zhǎng)繩水平地跨在相距2L的兩個(gè)小定滑輪A、B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上O點(diǎn)，O與A、B兩滑輪的距離相等在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg，先托住物塊、使繩處于水平拉直狀態(tài)，然后靜止釋放物塊，在物塊下落過(guò)程中，保持C、D兩端的拉力F不變（1）當(dāng)物塊下落距離h為多大時(shí)，物塊的加速度為零？（2）在物塊下落上述距離的過(guò)程中，克服C端恒力F做功W為多少？（3）求物塊下落過(guò)程中的最大速度vm和最大距離H【分析】下落至加速度為零時(shí)，AO、BO兩繩的合力應(yīng)等于重力mg，此時(shí)AOB=120，于是即可算出下落距離和C、D兩端上升距離，克服C端恒力的功即可求出在物塊的下落

14、過(guò)程中，AO、BO兩繩中拉力不斷變化開始時(shí)，其重力大于兩繩拉力的合力，物塊加速下落，速度增大；當(dāng)重力等于兩繩拉力的合力時(shí)，下落加速度為零，速度達(dá)最大值vm；以后，重力小于兩繩拉力的合力，物塊減速下落，直至v=0時(shí)，達(dá)下落的最大距離H由于物塊作的是變加速運(yùn)動(dòng)，所以必須根據(jù)動(dòng)能定理才可求出最大距離【解】（1）物塊下落時(shí)受到三個(gè)力的作用：重力mg、繩AO、BO的拉力F當(dāng)繩拉力的向上合力R等于重力mg時(shí)，物塊下落的加速度為零由于F恒為mg、所以a=0時(shí)，三力互成120夾角如圖所示，于是，由圖可知，下落距離（2）物塊下落h時(shí)，C、D兩端上升距離所以物塊克服C端恒力F做功（3）由上面的分析可知，物塊下落h

15、時(shí)的速度就是最大速度根據(jù)動(dòng)能定理得最大速度當(dāng)物塊下落最大距離H時(shí)，C、D兩端上升的距離為同理，由mgH-2Fh=0,【例9】質(zhì)量為m的物體A以速度v0在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)，滑到與平臺(tái)等高、質(zhì)量為M的靜止小車B上小車B在光滑水平地面上，物體A與B之間動(dòng)摩擦因數(shù)為不計(jì)A的體積，為使A在小車B上不致滑出，試問(wèn)小車B的長(zhǎng)度L至少為多少（見圖）？【分析】A滑上B后，A受到B的摩擦力作勻減速運(yùn)動(dòng)，速度逐漸減小；B受到A的摩擦力而作勻加速運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大如A滑到B的最右端時(shí)，兩者剛好速度相同，處于相對(duì)靜止，A就不致從B上滑出把物體A、B作為一個(gè)系統(tǒng)，它們之間的相互作用力就是內(nèi)力，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動(dòng)量守恒根

16、據(jù)動(dòng)量守恒算出兩者相對(duì)靜止時(shí)的速度后，便可隔離兩物體，分別從牛頓第二定律、動(dòng)量定理或動(dòng)能定理這幾條線索去考慮【解】設(shè)物體A、B相對(duì)靜止時(shí)的共同速度為v，由于A、B在相互作用的過(guò)程水平方向不受外力，動(dòng)量守恒則有設(shè)在這段過(guò)程中小車的位移為s，則物體A的位移為s+L（見圖），可以由多種方法求解：（1）用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解：對(duì)物體Amg=maA， aA=g對(duì)小車Bmg=MaB， aB=mgM兩者相對(duì)靜止時(shí)因此，（2）用動(dòng)能定理解：兩式相加并代入解得的v，得（3）用動(dòng)量定理解：設(shè)從A滑上小車B，到兩者相對(duì)靜止的時(shí)間為t，則因此，（4）運(yùn)用v-t圖線解：作出物體A與小車B的v-t圖（見圖）小車長(zhǎng)

17、L，數(shù)值上等于圖中劃有斜線的三角形面積【說(shuō)明】本題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，找出A不致從B上滑出的條件題中綜合了力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的三條線索以及運(yùn)動(dòng)圖像，因此，本題知識(shí)容量較大，應(yīng)很好體會(huì)【例10】在光滑水平面上，有一質(zhì)量m1=20kg的小車，通過(guò)一根幾乎不可伸長(zhǎng)的輕繩與另一個(gè)質(zhì)量為m2=25kg的拖車相連接一質(zhì)量m3=15kg的物體放在拖車的平板上物體與平板間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.20開始時(shí)，拖車靜止，繩未拉緊，如圖所示，小車以v0=3ms的速度向前運(yùn)動(dòng)求：（1）當(dāng)m1、m2、m3以同一速度前進(jìn)時(shí)，速度的大?。?）物體在拖車平板上移動(dòng)的距離（g取10ms2）【分析】1把小車、拖車和物體作為一個(gè)

18、系統(tǒng)，由水平方向動(dòng)量守恒可得共同前進(jìn)的速度2物體獲得共同前進(jìn)的速度，可認(rèn)為經(jīng)歷了兩個(gè)過(guò)程：先是小車與拖車相互作用；然后是（小車+拖車）與物體的作用解（1）由小車、拖車和物體三者水平方向動(dòng)量守恒，m1v0=（m1+m2+m3）u，得三者一起運(yùn)動(dòng)的速度大小為（2）小車向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕繩將逐漸伸直因?yàn)檩p繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短，在這極短時(shí)間內(nèi)繩中產(chǎn)生的張力遠(yuǎn)大于物體對(duì)拖車的摩擦力，可以認(rèn)為僅是小車與拖車間發(fā)生了相互作用對(duì)小車與拖車由水平方向動(dòng)量守恒m1v0=（m1+m2）v12，得繩剛拉緊時(shí)兩者的共同速度此后，由于物體和拖車間形成了相對(duì)速度，拖車對(duì)物體產(chǎn)生摩擦力f（f=m3g），使物體向前（與v12同

19、向）作加速運(yùn)動(dòng)，物體對(duì)拖車的摩擦力f（f=f）使拖車（包括小車）作減速運(yùn)動(dòng)，直至物體和拖車（包括小車）以共同速度u運(yùn)動(dòng)在這個(gè)過(guò)程中，設(shè)拖車（包括小車）對(duì)地面的位移為s2、物體對(duì)地面的位移為s3對(duì)拖車位移為d，如圖所示根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)拖車和小車由此解得拖車和物體的位移分別為所以，物體在拖車平板上移動(dòng)的距離【說(shuō)明】根據(jù)物體間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，因摩擦損失的機(jī)械能是相互間的一對(duì)摩擦力做功的結(jié)果，數(shù)值上等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積由能的轉(zhuǎn)化和實(shí)恒立即可求出物體在平板上的滑移距離!iedtxx(stylebkzd, 1107P03.htm)【例11】如圖所示，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形木板B放在光滑的水平地面上

20、，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，mM現(xiàn)以地面為參考系，給A和B以大小相等、方向相反的初速度（如圖），使A開始向左運(yùn)動(dòng)、B開始向右運(yùn)動(dòng)，但最后A剛好沒(méi)有滑離B板以地面為參考系，（1）若已知A和B的初速度大小為v0，求它們最后的速度的大小和方向（2）若初速度的大小未知，求小木塊A向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處（從地面上看）離出發(fā)點(diǎn)的距離【分析】（1）把A、B兩物體作為一個(gè)系統(tǒng)，它們之間相互作用的摩擦力為內(nèi)力，系統(tǒng)在水平方向不受外力，相互作用的任一時(shí)刻都遵守動(dòng)量守恒定律A恰好有滑離B板，表示A到達(dá)B板左端時(shí)，兩者具有共同的速度（2）小木塊A的對(duì)地速度從最初向左的v0變到最后向右的共同速度，必是先向左減速至零，后向右從零加速在這個(gè)過(guò)程中，水平方向僅受