一元二次不等式1 (2)

1、必修五第3章不等式 第二節(jié)3.2.1一元二次不等式的解法（后）一、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能目標(biāo) 1.1理解一元二次不等式的定義；1.2通過函數(shù)圖象弄清一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系；1.3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的流程圖；1.4通過對不等式、函數(shù)與方程關(guān)系的理解，注重數(shù)與形的聯(lián)系，自覺運用圖形求解不等式。2過程與方法目標(biāo) 2.1經(jīng)歷從實際情境中抽象出不等式模型的過程；充分利用與三個“一次”的類比，培養(yǎng)并啟發(fā)學(xué)生善于對所學(xué)的新知識從舊知識中尋找類比點，更好地理解新知；2.2通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等

2、式的解法；通過看圖象找解集，滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)；2.3教師創(chuàng)設(shè)疑問，學(xué)生設(shè)法解決疑問，通過教師的啟發(fā)與點撥，在積極的雙邊活動中，學(xué)生找到了解決疑問的方法，找準(zhǔn)解決問題的關(guān)鍵。3情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)3.1創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情、培養(yǎng)學(xué)生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生參與意識及主體作用。3.2在教學(xué)中給學(xué)生足夠的時間和空間思考交流，應(yīng)學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果，通過對自己觀點的闡述和對同學(xué)觀

3、點的聆聽、辨析，讓知識內(nèi)化，最終納入相應(yīng)的知識體系中。3.3在探究、討論、交流過程中培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊精神，使其養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和良好的思維習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生從應(yīng)試型向素質(zhì)型、向可持續(xù)發(fā)展型、向終身受益型轉(zhuǎn)軌。二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：掌握一元二次不等式的定義和解法。教學(xué)難點：二次不等式、二次方程和二次函數(shù)三者關(guān)系的有機(jī)聯(lián)系。三、教學(xué)方法與教學(xué)手段本節(jié)課在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和思考基礎(chǔ)上以啟發(fā)學(xué)生思考、引導(dǎo)學(xué)生探索、共同分析討論為主，采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的教學(xué)方法，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、類比、歸納的數(shù)學(xué)思想，從而激發(fā)學(xué)生對不等式解法學(xué)習(xí)的求知欲望，起到事半功倍的效果。為了更有效地

4、突出重點，分散難點，提高課堂效率，采用現(xiàn)代化教學(xué)手段，從而增強(qiáng)教學(xué)的感觀性。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景世博園內(nèi)有一塊長8百米、寬6百米的矩形地面需進(jìn)行綠化工程施工，設(shè)計四周種植花卉（花卉帶的寬度均為百米，），中間種植草坪（如圖矩形區(qū)域）。ABCD問題1 當(dāng)草坪區(qū)域的長度等于5百米時，求的值？ 解： 即，解之得。問題2當(dāng)草坪區(qū)域的長度大于5百米時，求的范圍？解： 即，解之得。師：我們通過列方程及一元一次方程的求解，解決了問題一中的等量關(guān)系；我們通過列不等式及一元一次不等式的求解，解決了問題二中的不等量關(guān)系。請同學(xué)們回憶一下在初中我們除了代數(shù)方法還可以怎么求解一元一次不等式？怎么做的？生：圖象法，

5、通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集。師：我們知道一次函數(shù)的圖象是一條直線。直線與軸交于點，這個點的縱坐標(biāo)所對應(yīng)的橫坐標(biāo)就是方程的根；直線在軸上方的點的縱坐標(biāo)所對應(yīng)的橫坐標(biāo)就是不等式的解；直線在軸下方的點的縱坐標(biāo)所對應(yīng)的橫坐標(biāo)就是不等式的解。一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。這樣，我們通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集。（板書）【設(shè)計意圖】通過一次函數(shù)的圖像揭示一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式三者關(guān)系，是突破本課難點的重要環(huán)節(jié)。一次函數(shù)的圖象一元一次方程的解集一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集師：在這張表格里函數(shù)的圖象充分溝通了相應(yīng)方程

6、的根，相應(yīng)不等式的解。我們稱圖象法解不等式。師：我們回到剛剛的情景中，問題三若要使草坪的面積多于總面積的一半，求花卉帶寬度 的范圍。生：列不等式即。師：大家注意，這樣只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的不等式我們稱之為一元二次不等式，標(biāo)準(zhǔn)式形如。如何求解一元二次不等式，就是我們今天這堂課所要研究的。課題:一元二次不等式的解法。（板書）【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情景，回顧三個“一次”的內(nèi)在聯(lián)系，復(fù)習(xí)圖象法解一元一次不等式；從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，給出一元二次不等式的定義，引出課題一元二次不等式的解法。二、研探新知 如何解一元二次不等式？師：請同學(xué)們類比解一元一次不等式的圖象法，能否求解

7、一元二次不等式？試一試，動動手。生：畫二次函數(shù)的圖象，由圖可知師：二次函數(shù)的圖象特征：開口向上，與軸交于點和。與軸交點的橫坐標(biāo)就是求解相應(yīng)的一元二次方程的根，也就是不等式解集的臨界值。因此，求解一元二次不等式可以先解相應(yīng)的一元二次方程，確定拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象寫出不等式的解集。【設(shè)計意圖】通過解一元二次不等式的示例，教師點撥方法學(xué)生解集探究，梳理圖象法解一元二次不等式的基本步驟。歸納整理一元二次不等式的解法。第一步：解方程，得；第二步：畫出拋物線的草圖；第三步：根據(jù)拋物線的圖象，可知的解集為。變式：你會解嗎？（板書）方法一：直接做函數(shù)的圖象，由圖可知方法二：原不等式兩邊同乘以1，

8、得。根據(jù)拋物線的圖象，可知的解集為為【設(shè)計意圖】變式二次項系數(shù)小于零，建議將二次項系數(shù)化成大于零的情形，轉(zhuǎn)化為熟知類型再求解。歸納解一元二次不等式的步驟：（1）二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）解對應(yīng)的一元二次方程；（3）根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；（4）寫出不等式的解集（板書）三、鞏固深化例 用圖象法解下列一元二次不等式：（1）； （2）解 （1）原不等式整理為方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是（2）不等式兩邊同乘以，原不等式可化為方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是【設(shè)計意圖】設(shè)計例題的目的讓學(xué)生掌握圖象法解一元二次不等式的基本原理（數(shù)形結(jié)合）和基本步驟（化正解方程畫

9、圖象寫解集）。練習(xí) 用圖象法解下列一元二次不等式：（1）；（2）； （3）；（4）。（四組各出一個學(xué)生上黑板板演）解 （1）方程的解是根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是（2）原不等式整理為方程的解是根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是(3)方程有兩個相同的解根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為師：觀察圖像，不等式的解集為；不等式的解集為(4)因為，所以方程無實數(shù)解，根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為師：觀察圖像，不等式的解集為；不等式的解集為【設(shè)計意圖】通過變式設(shè)計該組練習(xí)，讓學(xué)生上黑板板演，進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生解題方法和習(xí)慣。的正負(fù)性影響到一元二次方程的根的個數(shù)，相應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合圖象得

10、相應(yīng)一元二次不等式的解集。四、歸納整理 師：概況梳理形如一元二次不等式的解法。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、相應(yīng)的方程之間的關(guān)系：判別式二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩個相異實根有兩個相等實根沒有實數(shù)根五、承上啟下 思考1 已知不等式的解集為，求實數(shù)的值。解 方程的解為，由不等式的解集為，可知方程的解為，所以思考2 解下列不等式： （1）；（2）；（3）。解 （1）不等式等價于，解得 所以，原不等式的解集是（2）不等式等價于，解得 所以，原不等式的解集是（3）即，得 所以，原不等式的解集是【設(shè)計意圖】讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間，進(jìn)一步鞏固一元二次不等式的解集和相應(yīng)一元二次方程的根的聯(lián)系；這組

11、分式不等式和高次不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，體現(xiàn)一元二次不等式的基礎(chǔ)性和工具性。師生協(xié)作探究，體驗轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想。六、整體認(rèn)識 一元二次不等式的圖解法實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的精彩體現(xiàn)。七、板書設(shè)計3.2.1一元二次不等式的解法一圖象法函數(shù) 圖象方程 不等式 二步驟 化正解方程 畫圖象畫圖象 寫解集寫解集 3.2.1一元二次不等式的解法（前）一、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能目標(biāo) 1.1理解一元二次不等式的定義；1.2通過函數(shù)圖象弄清一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系；2過程與方法目標(biāo) 2.1經(jīng)歷從實際情境中抽象出不等式模型的過程；充分利用與三個“一次”的類比，培養(yǎng)并啟發(fā)學(xué)生善于對所學(xué)的

12、新知識從舊知識中尋找類比點，更好地理解新知；2.2通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法； 2.3教師創(chuàng)設(shè)疑問，學(xué)生設(shè)法解決疑問，通過教師的啟發(fā)與點撥，在積極的雙邊活動中。3情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)3.1創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情、培養(yǎng)學(xué)生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生參與意識及主體作用。3.2在教學(xué)中給學(xué)生足夠的時間和空間思考交流，應(yīng)學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果，通過對自己觀點的闡述和對同學(xué)觀點的聆聽、辨析，讓知識內(nèi)化，最終納入相應(yīng)的知識體系中。二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：掌握一元二次不

13、等式的定義和解法。教學(xué)難點：二次不等式、二次方程和二次函數(shù)三者關(guān)系的有機(jī)聯(lián)系。三、教學(xué)方法與教學(xué)手段本節(jié)課在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和思考基礎(chǔ)上以啟發(fā)學(xué)生思考、引導(dǎo)學(xué)生探索、共同分析討論為主，采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的教學(xué)方法，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、類比、歸納的數(shù)學(xué)思想，從而激發(fā)學(xué)生對不等式解法學(xué)習(xí)的求知欲望，起到事半功倍的效果。為了更有效地突出重點，分散難點，提高課堂效率，采用現(xiàn)代化教學(xué)手段，從而增強(qiáng)教學(xué)的感觀性。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景世博園內(nèi)有一塊長8百米、寬6百米的矩形地面需進(jìn)行綠化工程施工，設(shè)計四周種植花卉（花卉帶的寬度均為百米，），中間種植草坪（如圖矩形區(qū)域）。ABCD問題1 當(dāng)

14、草坪區(qū)域的長度等于5百米時，求的值？ 解： 即，解之得。問題2當(dāng)草坪區(qū)域的長度大于5百米時，求的范圍？解： 即，解之得。師：我們通過列方程及一元一次方程的求解，解決了問題一中的等量關(guān)系；我們通過列不等式及一元一次不等式的求解，解決了問題二中的不等量關(guān)系。請同學(xué)們回憶一下在初中我們除了代數(shù)方法還可以怎么求解一元一次不等式？怎么做的？二、研探新知 如何解一元二次不等式？師：請同學(xué)們類比解一元一次不等式的圖象法，能否求解一元二次不等式？試一試，動動手。生：畫二次函數(shù)的圖象，由圖可知師：二次函數(shù)的圖象特征：開口向上，與軸交于點和。與軸交點的橫坐標(biāo)就是求解相應(yīng)的一元二次方程的根，也就是不等式解集的臨界值

15、。因此，求解一元二次不等式可以先解相應(yīng)的一元二次方程，確定拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象寫出不等式的解集?！驹O(shè)計意圖】通過解一元二次不等式的示例，教師點撥方法學(xué)生解集探究，梳理圖象法解一元二次不等式的基本步驟。歸納整理一元二次不等式的解法。第一步：解方程，得；第二步：畫出拋物線的草圖；第三步：根據(jù)拋物線的圖象，可知的解集為。變式：你會解嗎？（板書）方法一：直接做函數(shù)的圖象，由圖可知方法二：原不等式兩邊同乘以1，得。根據(jù)拋物線的圖象，可知的解集為為【設(shè)計意圖】變式二次項系數(shù)小于零，建議將二次項系數(shù)化成大于零的情形，轉(zhuǎn)化為熟知類型再求解。歸納解一元二次不等式的步驟：（1）二次項系數(shù)化為正數(shù)；（

16、2）解對應(yīng)的一元二次方程；（3）根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；（4）寫出不等式的解集（板書）三、鞏固深化例 用圖象法解下列一元二次不等式：（1）； （2）解 （1）原不等式整理為方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是（2）不等式兩邊同乘以，原不等式可化為方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是【設(shè)計意圖】設(shè)計例題的目的讓學(xué)生掌握圖象法解一元二次不等式的基本原理（數(shù)形結(jié)合）和基本步驟（化正解方程畫圖象寫解集）。練習(xí) 用圖象法解下列一元二次不等式：（1）；（2）； （3）；（4）。（四組各出一個學(xué)生上黑板板演）解 （1）方程的解是根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是（2）原不等式整

17、理為方程的解是根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是(3)方程有兩個相同的解根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為師：觀察圖像，不等式的解集為；不等式的解集為(4)因為，所以方程無實數(shù)解，根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為師：觀察圖像，不等式的解集為；不等式的解集為【設(shè)計意圖】通過變式設(shè)計該組練習(xí)，讓學(xué)生上黑板板演，進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生解題方法和習(xí)慣。的正負(fù)性影響到一元二次方程的根的個數(shù)，相應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合圖象得相應(yīng)一元二次不等式的解集。四、歸納整理 師：概況梳理形如一元二次不等式的解法。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、相應(yīng)的方程之間的關(guān)系：判別式二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩個相異實根有兩個相等實根沒有實數(shù)根五、承上啟下 思考1 已知不等式的解集為，求實數(shù)的值。解 方程的解為，由不等式的解集為，可知方程的解為，所以思考2 解下列不等式： （1）；（2）；（3）