離散傅里葉變換DFTPPT通用課件

1、離散傅里葉變換DFT一. 引言3.1 離散傅里葉變換的定義 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換、連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換，他們都是信號(hào)處理領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開(kāi)辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行。DFT存在快速算法，使信號(hào)的實(shí)時(shí)處理得以實(shí)現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號(hào)處理中也起著核心作用。二. 四種信號(hào)傅里葉表示(1) 周期為T(mén)的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)FS時(shí)域周期頻域離散。頻譜特點(diǎn):離散非周期譜(2) 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)FT時(shí)域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜(3)離散非周期信號(hào)DTFT時(shí)域離散頻域周期。頻譜

2、特點(diǎn)：周期為2的連續(xù)譜(4) 周期為N 的離散周期信號(hào)時(shí)域離散周期頻域周期離散。頻譜特點(diǎn):周期為N的離散譜DFS四種傅立葉變換:時(shí)域頻域1. 連續(xù)非周期 連續(xù)非周期() FT2. 連續(xù)周期 離散非周期 () FS3. 離散非周期 連續(xù)周期（ ） DTFT4. 離散周期 離散周期 DFS ？切實(shí)理解四種FT之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系三. 離散付里葉級(jí)數(shù)(DFS) 為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT)。周期序列 因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M(mǎn)足條件： 。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)

3、數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示。(1)DFS定義正變換：反變換：一般記：(2)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)由可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：？將上式兩邊乘以 ， 并對(duì)n在一個(gè)周期N上求和得 根據(jù)正交定理令k=m令依同樣方法可推出： 所以，時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是一個(gè)周期序列周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)表明：可將周期為N的序列分解成N個(gè)離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為 ，幅度為 ，其中表示其頻譜分布規(guī)律(3)周期序列的傅里葉變換表示 因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M(mǎn)足條件： 。因此它的DTFT不存在。但是，通過(guò)引入奇異函數(shù)其DTFT可以用公式表示。四. 離散付里葉變換 周期序列實(shí)際上只有有限

4、個(gè)序列值才有意義 ，因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng)序列 , 這就得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)。(1)時(shí)域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓(2)頻域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定義式（時(shí)域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長(zhǎng)序列時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì)。（前面已證：時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是同周期序列）具體而言，即：(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列 對(duì)于周期序列 ，定義其第一個(gè)周期 n=0N-1，為 的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列 x(n)。x(n)與 的關(guān)系可描述為：數(shù)學(xué)表示：表示先對(duì)n進(jìn)行模N運(yùn)算，

5、然后對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算7.n0N-1定義從n=0 到(N-1)的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。N-1nx(n)0(2)從DFS到離散傅里葉變換 如果x(n)的長(zhǎng)度為N， 且 ， 則可寫(xiě)出 的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為： 從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。 因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。DFT(3)離散傅里葉變換的矩陣方程例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT 。設(shè)變換區(qū)間N=8， 則解：DFT定義式為：設(shè)變換區(qū)間N=16， 則比較上面二式可得關(guān)系式:(

6、4)DFT和Z變換的關(guān)系序列x(n)的N點(diǎn)DFT是 x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣序列x(n)的N點(diǎn)DFT是 x(n)的DTFT在0，2上的N點(diǎn)等間隔采樣圖 3.1.1 X(k)與X(z),X(e j)的關(guān)系 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一. 基本概念1. 序列的圓周移位序列x(n)，長(zhǎng)度為N，則x(n)的圓周移位定義為：周期延拓取主值序列左移m位 圓周移位的實(shí)質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。循環(huán)移位過(guò)程：circshift(a,0,-1)圖 3.2.1 循環(huán)移位過(guò)程示意圖 2. 序列的圓周卷積設(shè) 和 是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列(若不

7、等，對(duì)序列補(bǔ)零使其為N點(diǎn)， )，定義圓周卷積：圓周卷積過(guò)程：周期延拓 移位反轉(zhuǎn)相乘相加取主值序列循環(huán)矩陣圓周卷積的矩陣表示：循環(huán)右移圓周卷積與線性卷積比較： 有限長(zhǎng)序列x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1則線性卷積為：N(Nmax(N1,N2)點(diǎn)圓周卷積為：交換求和次序 序列的N點(diǎn)圓周卷積是序列線性卷積(以N為周期)周期延拓序列的主值序列。故，當(dāng)NN1+N2-1時(shí)，線性卷積與圓周卷積相同。圓周卷積線性卷積是針對(duì)DFT引出的一種表示方法信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)，輸出等于輸入與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積兩序列長(zhǎng)度必須等，不等時(shí)按要求補(bǔ)零兩序列長(zhǎng)度可相等，也可不等卷積結(jié)果長(zhǎng)度與兩信號(hào)長(zhǎng)度相等

8、，皆為N卷積結(jié)果長(zhǎng)度N=N1+N2-1圖 3.4.2 線性卷積與圓周卷積 3. 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列分別定義為 ：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的n換成N/2-n可得到：圖 3.2.3 共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)序列示意圖 任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量之和， 即：將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛得：(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：二. 線性性質(zhì) 設(shè)x1(n)，x2(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。它們的N點(diǎn)DFT分別為： 若，則y(n)的N點(diǎn)DFT為：三. 時(shí)域圓周移位定理證明：令n+m=n周期為N四.

9、頻域圓周移位定理設(shè) 和 是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列，五.時(shí)域圓周卷積定理證明：交換求和次序令n-m=n周期為N六.頻域循環(huán)卷積定理七.復(fù)共軛序列的DFT若x(n)是實(shí)序列,則X(k)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然時(shí)域x(n)取共軛,對(duì)應(yīng)于頻域X(k)取有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)頻域X(k)取共軛,對(duì)應(yīng)于時(shí)域x(n)取有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)若X(k)是實(shí)序列,則x(n)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然兩種情況為對(duì)偶關(guān)系八.DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性則： 如果x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實(shí)部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量；而x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量的DFT分

10、別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j設(shè)x(n)為實(shí)序列， X(k)=DFTx(n)。則有:(2)若x(n)= x(N-n)，則 X(k)= X(N-k)(3)若x(n)= -x(N-n)，則 X(k)= -X(N-k) 對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT時(shí)，利用以上性質(zhì)可減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。九、Parseval定理證明：交換求和次序(1) X(k)= X*(N-k)則： 表明：一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)3.3 頻率域采樣一. 引言時(shí)域：滿(mǎn)足“時(shí)域采樣定

11、理”的采樣頻域：？(1)能否由頻域離散采樣X(jué)(k)恢復(fù)序列x(n)？(2)能否由頻域抽樣X(jué)(k)恢復(fù)原頻率函數(shù)或X(z)？(3)若能恢復(fù)其條件是什么？與時(shí)域采樣相類(lèi)比，我們提出以下幾個(gè)問(wèn)題？(4)如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式? 若要回答這些問(wèn)題，首先讓我們回想下時(shí)域樣定理確定采樣頻率的方法？(1)計(jì)算時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜 (2)分析時(shí)域采樣信號(hào)頻譜與原信號(hào)頻譜關(guān)系（以采樣頻率周期延拓）(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號(hào)頻譜這間關(guān)系，得到時(shí)域采樣定理 時(shí)域采樣從頻域分析，頻域采樣是不是可以從時(shí)域分析呢 時(shí)域采樣對(duì)應(yīng)頻域周期延拓，頻域采樣是不是對(duì)應(yīng)時(shí)域周期延拓呢？二. 頻域采樣后能不失真恢復(fù)原序列的條件？設(shè)

12、 的長(zhǎng)度為 （沒(méi)有限制）頻域采樣欲恢復(fù)原信號(hào)，即頻域采樣序列的離散付立葉逆變換: 由該式可知： 是原序列 的周期延拓，然后取主值結(jié)論：若序列長(zhǎng)度為M，頻域采樣點(diǎn)數(shù)（或DFT 的長(zhǎng)度）為N，且MN，會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊頻域采樣后不能不失真地恢復(fù)原序列利用頻域采樣X(jué)(k)表示X(z)設(shè)序列長(zhǎng)度為N，由傅里葉變換對(duì)得三. 內(nèi)插公式為X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)3.4 DFT的應(yīng)用舉例一. 引言 DFT的應(yīng)用使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行，由于DFT的快速算法F

13、FT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語(yǔ)言信號(hào)處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運(yùn)算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)FT的近似為基礎(chǔ)。二、用DFT計(jì)算線性卷積(1)DFT計(jì)算循環(huán)卷積可用上式計(jì)算循環(huán)卷積。從另一方面看：所以，可按下面的計(jì)算框圖從頻域計(jì)算循環(huán)卷積圖 3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 很多情況下 需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， 為了提高運(yùn)算速度， 希望用DFT(FFT)計(jì)算。 而DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積， 什么時(shí)候循環(huán)卷積與線性卷積相等呢？ 循環(huán)卷積與線

14、性卷積相等條件：L M+N-1。所以，如果取L = M+N-1，則可用DFT（FFT）計(jì)算線性卷積。計(jì)算框圖如下：圖 3.4.3 用DFT計(jì)算線性卷積框圖 (2)DFT計(jì)算線性卷積(2)長(zhǎng)序列的分段卷積 沒(méi)有全部進(jìn)入，如何實(shí)現(xiàn)卷積，全部進(jìn)入再卷積，又如何保證實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)？ 數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)勢(shì)是“實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)”，即信號(hào)進(jìn)來(lái)后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：？ 較短（FIR：長(zhǎng)度在2050之間）， 可能很長(zhǎng)，也不適宜直接卷積。另外：解決方法：分段卷積 設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為N， x(n)為無(wú)限長(zhǎng)。 將x(n)均勻分段， 每段長(zhǎng)度取M， 則:重疊相加法是兩個(gè)長(zhǎng)度接近且分別為和 的序列的線性卷積，可很有效地求其L

15、點(diǎn)的DFT.分段卷積重疊分段卷積相加圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 三、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析1. 用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無(wú)限寬。若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)。按采樣定理采樣時(shí)，以上兩種情況的采樣序列均應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)，不滿(mǎn)足DFT條件。 所以，對(duì)頻譜很寬的信號(hào)一般用預(yù)濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對(duì)持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)只好截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。 所以，用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析必然是近似的，近似程序與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)。 實(shí)際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號(hào)是允許的。 假設(shè)xa(t)是經(jīng)過(guò)預(yù)濾波和截取

16、處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。以下分析連續(xù)信號(hào)頻譜特性的DFT近似。設(shè)xa(t)持續(xù)時(shí)間為T(mén)p， 最高頻率為fc。其傅立葉變換為：共采樣N點(diǎn)，則Tp=NT。并對(duì)表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT, dt=T)得：對(duì)X(jf)在區(qū)間0, fs上等間隔采樣N點(diǎn),采樣間隔為F。令 則 f=kF帶入式：得：同理，由可推出連續(xù)信號(hào)的頻譜特性可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行DFT再乘以T來(lái)近似。柵欄效應(yīng)：DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)。只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性。 由以上分析可以看出利用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，最主要的兩個(gè)問(wèn)題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。(1)譜分

17、析范圍指信號(hào)的最高頻率fc，受采樣定理限制。 fc fs/2(2)頻率分辨率（物理分辨率，計(jì)算分辨率）指將信號(hào)中兩個(gè)靠的很近的譜峰區(qū)分開(kāi)的能力，用頻率采樣間隔F描述。 F = fs/N（矩形窗情況）(3)譜分析參數(shù)確定N不變，要提高頻率分辨率，必須降低fs，會(huì)導(dǎo)致譜分析范圍減小。同時(shí)T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不變，要提高頻率分辨率，必須增加N。因NT=Tp，T=1/ fs，故Tp必須增加。因此，若要增加頻率分辨率必須增加信號(hào)記錄時(shí)間Tp更深入的理解可參閱胡廣書(shū)編著教材數(shù)字信號(hào)處理理論、算法和實(shí)踐第二版相應(yīng)章節(jié)。頻率分辨率：通過(guò)頻域窗觀察到的頻率寬度；也可定義為將信號(hào)中兩個(gè)靠的很近的

18、譜峰區(qū)分開(kāi)的能力時(shí)間分辨率：通過(guò)時(shí)域窗觀察到的時(shí)間寬度；希望：窗函數(shù)的“寬度”越小越好窗口在時(shí)域無(wú)窮大，在頻域無(wú)窮小時(shí)域加窗后，窗口由時(shí)域窗長(zhǎng)決定。在頻域，窗口由主瓣寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距離小于主瓣寬度的兩個(gè)頻率無(wú)法區(qū)分開(kāi)。例：試確定將三個(gè)譜峰分開(kāi)所需要的數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。在本例中，最小的即要想分辨出這三個(gè)譜峰，數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度至少要大于500，從DFT的角度看，若令N=512，則：下圖，N分別等于256和512，可見(jiàn)，N=256 時(shí)無(wú)法分辨三個(gè)譜峰。例 3.4.1 對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)間TPmin

19、， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點(diǎn)N和最小的記錄時(shí)間是多少? 解：譜分辨率增加一倍，F(xiàn)=5Hz2. 用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析 序列x(n)的N點(diǎn)DFT是 x(n)的DTFT在0,2上的N點(diǎn)等間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用DFT來(lái)計(jì)算。 DFT是由周期序列DFS取主值區(qū)間得到的一種變換。因此，DFT可用于周期序列的譜結(jié)構(gòu)分析。DFT進(jìn)行譜分析的步驟：DFT和線性卷積是信號(hào)處理中兩個(gè)最重要的基本運(yùn)算，有快速算法，且二者是“相通”的。周期延拓周期延拓采樣t=nT卷積截短采樣取一個(gè)周期周期延拓取一個(gè)周期FTDTFTDFTD

20、FSDTFTDFT實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)譜分析的過(guò)程3. 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題(1) 混疊現(xiàn)象(2) 柵欄效應(yīng)(3) 截?cái)嘈?yīng)周期延拓(1) 混疊現(xiàn)象實(shí)際應(yīng)用中，通常取fs=(35) fh種。對(duì)fs確定情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率fs /2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。如果采樣頻率fs小于連續(xù)信號(hào)最高頻率fh，會(huì)在=處發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對(duì)于模擬頻率，即在fs /2附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，首先要按采樣定理對(duì)其采樣。(2) 柵欄效應(yīng)N點(diǎn) DFT是在頻率區(qū)間0，2上對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間頻譜函數(shù)值是不知道的。用DFT計(jì)算頻譜, 就如通過(guò)一個(gè)柵欄觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到柵欄縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉（擋?。┐蟮念l譜分量?？梢圆捎迷谠蛄形膊垦a(bǔ)零的方法改變DF