連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性PPT通用課件

1、第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與 初等函數(shù)的連續(xù)性 一、四則運(yùn)算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù). 反函數(shù)與直接函數(shù)的圖形是關(guān)于 y = x相互對(duì)稱的曲線，如果y = f (x)是一條連續(xù)的曲線，自然曲線 y = f -1(x)也是一條連續(xù)的曲線。例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如, 定理3證明將上兩步合起來(lái):注意定理4是定理3的特殊情況.例如,定理4. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)

2、的.證: 設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)且即意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解例2解： 1) 一般地, 對(duì)冪指函數(shù) ，如果存在, 則說(shuō)明: 2) 若則有3) 當(dāng)則有三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )冪函數(shù)定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意1.注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.只要為初等函數(shù)： 例3解例4解例5、求解：例6、求解：由于為 初等函數(shù)，且x=1為定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，所以：例7. 設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 .故此時(shí)連續(xù);而故x = 1為第一類間斷點(diǎn) .在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性.說(shuō)明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.求極限的方法通常有： (1)利用連續(xù)性 (2)利用等價(jià)無(wú)窮小代換 (3)利用重要二極限 (4)初等方法：a.有理化， b.因式分