2022屆安徽省合肥高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是( )ABCD2中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方

2、體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是ABCD3已知，滿足條件（為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，則（ ）ABCD4已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）ABCD5已知集合Myy2x，x0，Nxylg（2xx2），則MN為（ ）A（1，）B（1，2）C2，）D1，）6 “”是“，”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件7已知曲線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為（ ）AB2C4D8已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD9已知，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊，的面積為，則（ ）AB4C5D10若

3、，則的值為（ ）ABCD11已知，滿足約束條件，則的最大值為ABCD12“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi).14給出下列等式：，請(qǐng)從中歸納出第個(gè)等式：_.15已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)，是上一點(diǎn)(不與重合)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是_.16已知數(shù)列的前項(xiàng)和且，設(shè)，則的值等于_ .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（）若，求曲線在處的切線方程；（）

4、當(dāng)時(shí)，要使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍19（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S是否為整數(shù)？若是，請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，21（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)

5、為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.22（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以 的周期為， 則， 所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可

6、知正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.2A【解析】詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。3B【解析】由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，我們可以畫(huà)出滿足條件 件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值【詳解】畫(huà)出，滿足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標(biāo)函數(shù)的最

7、大值為9，可得直線與直線的交點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，將，代入得：故選：【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn)，然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值4D【解析】先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓，因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，故.又，因?yàn)椋?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則有，我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

8、5B【解析】M=y|y=2x,x0=y|y1，N=x|y=lg(2x-x2)=x|2x-x20=x|x2-2x0=x|0 x2，MN=(1,2)故選B6B【解析】先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷7C【解析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，抽象出直線方程，且過(guò)定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè)，則的斜率分別為，所以的方程為，即，即，由于都過(guò)點(diǎn)，所以，即都

9、在直線上，所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，即直線過(guò)圓心，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8B【解析】利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.9D【解析】由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出，結(jié)合余弦定理即可求出 的值.【詳解】解：，即，即. ，則.，解得.， 故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知

10、條件，得到角 的正弦值余弦值.10A【解析】取，得到，取，則，計(jì)算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.11D【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價(jià)于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法12C【解析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念

11、，以及函數(shù)圖像的畫(huà)法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13-1【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖， 化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，由得即，則有最大值，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐

12、標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14【解析】通過(guò)已知的三個(gè)等式，找出規(guī)律，歸納出第個(gè)等式即可【詳解】解：因?yàn)椋?，等式的右邊系?shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個(gè)等式中的角，所以；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題15【解析】根據(jù)拋物線，不妨設(shè)，取 ，通過(guò)求導(dǎo)得， ，再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，則 ，得到，兩式聯(lián)立，求得點(diǎn)N的軌跡，再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，不妨設(shè)，取 ，所以，即，所以 ，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，所以 ，所以，所以，由 ，解得，所以點(diǎn)在直線 上，所以當(dāng)時(shí)， 最小，最小值為.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋

13、物線的位置關(guān)系直線的交軌問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.167【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可得，進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計(jì)算可得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，又，解得，當(dāng)時(shí)，由，所以，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，又，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（）（）【解析】（）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（）

14、當(dāng)時(shí)，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（）依題意，得，即恒成立.令，則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不合題意.當(dāng)時(shí)，令，得，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，所以，只需，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，屬綜合中檔題.18（1）；（2）【解析】（1）,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;（2）對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故

15、符合題意;當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.19（1）（2）當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)【解析】（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；（2）先求解弦長(zhǎng)，再分別求解點(diǎn)到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮汕芯€

16、均過(guò)點(diǎn)G，所以，所以A，B兩點(diǎn)均在直線上，所以直線AB的方程為，又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(0，p)，所以，即G點(diǎn)軌跡方程為；（2）設(shè)點(diǎn)G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，整理得，所以，解得，因?yàn)橹本€AB的斜率，所以，且，線段AB的中點(diǎn)為M，所以直線EM的方程為：，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)， 直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離， 所以，設(shè)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即是無(wú)理數(shù)，所以不符題意，當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，不符題意，綜上，當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)

17、系，拋物線中的切線問(wèn)題通常借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，四邊形的面積問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問(wèn)題，表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20 (1) (2)見(jiàn)證明【解析】(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，所以【點(diǎn)睛】給出 與 的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，

18、再求an.21（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓的離心率求出、的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由題意得出，可得出，【詳解】（1）由題意得，.又因?yàn)?，所以橢圓的方程為；（2）由，得.設(shè)、，所以，依題意，易知，四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)?，所?即，將其整理為.因?yàn)?，所以?所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及