[整理]高中函數(shù)值域的求法

1、. .PAGE24 / NUMPAGES24高中函數(shù)值域的求法題型一求函數(shù)值：特別是分段函數(shù)求值例1已知f(x)eq f(1,1x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值.解(1)f(x)eq f(1,1x)，f(2)eq f(1,12)eq f(1,3).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11)eq f(1,111)eq f(1,12).反思與感悟求函數(shù)值時，首先要確定出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量代入解析式計算，對于fg(x)型的求值，按“由到外”的順序進行，要注意fg(x)與gf

2、(x)的區(qū)別.跟蹤訓練4已知函數(shù)f(x)eq f(x1,x2).(1)求f(2)；(2)求ff(1).解(1)f(x)eq f(x1,x2)，f(2)eq f(21,22)eq f(3,4).f(1)eq f(11,12)eq f(2,3)，ff(1)f(eq f(2,3)eq f(f(2,3)1,f(2,3)2)eq f(5,8).5.已知函數(shù)f(x)x2x1.(1)求f(2)，f(eq f(1,x)；(2)若f(x)5，求x的值.解(1)f(2)22215，f(eq f(1,x)eq f(1,x2)eq f(1,x)1eq f(1xx2,x2).(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，

3、或x3.4.函數(shù)f(x)對任意自然數(shù)x滿足f(x1)f(x)1，f(0)1，則f(5)_.答案6解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值圍。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）圖象法（數(shù)形結(jié)合） （3）函數(shù)單調(diào)性法 （4）配方法 （5）換元法 （包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法） （7）分離常數(shù)法 （8）判別式法 （9）復合函數(shù)法 （10）不等式法 （11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學的始終。 求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b

4、(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當a0時，值域為；當a0，=，當x0時，則當時，其最小值；當a0）時或最大值（a0）時， 再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；當頂點橫坐標是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.練習：1、求函數(shù)y=3+的值域 解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知0，故3+3。函數(shù)的值域為. 2、求函數(shù) 的值域 解：對稱軸 1 單調(diào)性法例3 求函數(shù)y=4x(x1/3)的值域

5、。設(shè)f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它們在定義域為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-在定義域為x1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為y|y4/3。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。練習：求函數(shù)y=3+的值域。(答案：y|y3)2 換元法例4 求函數(shù) 的值域 解：設(shè)，則 點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣

6、泛。練習：求函數(shù)y=的值域。（答案：y|y3/4 求的值域；例5 （三角換元法）求函數(shù)的值域解： 設(shè)小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè)（2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中 （5）若題目中含有，則可設(shè)其中3 平方法例5 （選）求函數(shù) 的值域解：函數(shù)定義域為：4 分離常數(shù)法 例6 求函數(shù) 的值域由 ，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求），值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復合函數(shù)法來求值域。練習求函數(shù) 的值域 求函數(shù) 的值域01 求函數(shù) y=的值域；（y(-1，1

7、)）-10134-4xy例7 求 的值域解法一：（圖象法）可化為 如圖， 觀察得值域解法二：（不等式法） 同樣可得值域練習：的值域例8 求函數(shù) 的值域解：（換元法）設(shè) ，則 原函數(shù)可化為例9求函數(shù) 的值域 解：（換元法）令，則10 xy 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為例10 求函數(shù) 的值域解：（圖象法）如圖，值域為 （換元法）設(shè) ，則例13 函數(shù) 的值域解法一：（逆求法）2解法二：（換元法）設(shè) ，則 解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 時 不成立時，綜合1）、2）值域解法四：（三角換元法）設(shè)，則原函數(shù)的值域為10例14 求函數(shù)的值域5解法一：（判別式法）化為1）時，不成立2）時，得綜合1）

8、、2）值域解法二：（復合函數(shù)法）令，則 所以，值域例15 函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）1）當時，時，綜合1）2）知，原函數(shù)值域為例16 (選) 求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 當且僅當時取等號，故值域為例17 （選） 求函數(shù)的值域解：（換元法）令 ，則原函數(shù)可化為。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。利

9、用判別式求值域時應(yīng)注意的問題用判別式法求值域是求函數(shù)值域的常用方法，但在教學過程中，很多學生對用判別式求值域掌握不好。一是不理解為什么可以這樣做，二是學生對哪些函數(shù)求值域可以用判別式法，哪些函數(shù)不能也比較模糊。本人結(jié)合自己的教學實踐談?wù)剬Ρ救莸囊稽c體會。一、判別式法求值域的理論依據(jù)求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中顯然y1,故式是關(guān)于x的一元二次方程用判別式法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要的方法，但在用判別式法求值域時經(jīng)常出錯，因此在用判別式求值域時應(yīng)注意以下幾個問題：一、要注意判別式存在的前提條

10、件，同時對區(qū)間端點是否符合要求要進行檢驗例：求函數(shù)的值域。錯解：原式變形為 （），解得。故所求函數(shù)的值域是錯因：把代入方程（）顯然無解，因此不在函數(shù)的值域。事實上，時，方程（）的二次項系數(shù)為0，顯然不能用“”來判定其根的存在情況。正解：原式變形為 （）（1）當時，方程（）無解；（2）當時，解得。綜合（1）、（2）知此函數(shù)的值域為二、注意函數(shù)式變形中自變量的取值圍的變化例2：求函數(shù)的值域。錯解：將函數(shù)式化為（1）當時，代入上式得，故屬于值域；（2）當時，綜合（1）、（2）可得函數(shù)的值域為。錯因：解中函數(shù)式化為方程時產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時方程中相應(yīng)的值。所

11、以正確答案為，且。三、注意變形后函數(shù)值域的變化例3：求函數(shù)的值域。錯解：由已知得，兩邊平方得整理得，由，解得。故函數(shù)得值域為。錯因：從式變形為式是不可逆的，擴大了的取值圍。由函數(shù)得定義域為易知，因此函數(shù)得最小值不可能為。時，故函數(shù)的值域應(yīng)為。四、注意變量代換中新、舊變量取值圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。錯解：令，則，由與得值域為。錯因：解法中忽視了新變元滿足條件。設(shè)，。故函數(shù)得值域為。綜上所述，在用判別式法求函數(shù)得值域時，由于變形過程中易出現(xiàn)不可逆得步驟，從而改變了函數(shù)得定義域或值域。因此，用判別式求函數(shù)值域時，變形過程必須等價，必須考慮原函數(shù)得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗區(qū)間端點是否

12、符合要求。練習：1 、；解：x0，y11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷：(或利用對勾函數(shù)圖像法)2 、0y5.3 、求函數(shù)的值域； 解：令0,則,原式可化為,u0，y，函數(shù)的值域是（-，.解：令 t=4x0 得 0 x4 在此區(qū)間 (4x)=4 ，(4x) =0函數(shù)的值域是 y| 0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖5、求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1代

13、入得 t0 y46、（選）求函數(shù)的值域方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 當 y1時xR =(y+5)+4(y1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗 （有一個根時需驗證）時 （代入求根）2 定義域 x| x2且 x3 再檢驗 y=1 代入求得 x=2 y1綜上所述，函數(shù)的值域為 y| y1且 y方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)(x2)由此可得 y1， x=2時即函數(shù)的值域為 y| y1且 y函數(shù)值域求法十一種1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是：2. 配方法配方法是

14、求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當x=1時，當時，故函數(shù)的值域是：4，83. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當時，解得：（2）當y=1時，而故函數(shù)的值域為 例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的圍可能比y的實際圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為。可以采取如下方法進一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法

15、來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為：5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域為 例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域為6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)

16、當x=2時，當x=10時，故所求函數(shù)的值域為： 例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當時，當時，故函數(shù)的值域為 例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域為 例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當時，當時，而此時有意

17、義。故所求函數(shù)的值域為 例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數(shù)的值域為。 例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數(shù)的值域為：8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為： 例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定

18、點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸的同側(cè)。9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例20. 求函數(shù)的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的