概率課件：1.5獨立性及習(xí)題

1、一、事件的相互獨立性二、幾個重要定理三、典型例題1.5 獨立性則有1.引例一、事件的相互獨立性 事件A 與事件 B 相互獨立,是指事件 A 的發(fā)生與事件B 發(fā)生的概率無關(guān).說明 2.定義例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 因此，事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2本問題也可以通過條件概率來解決: 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B獨立. 由于“甲命

2、中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率） 在實際應(yīng)用中, 往往 根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立. 一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第 i 件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨立. 因為第二次抽取的結(jié)果受到 第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.說明 與任意事件相互獨立的事件 必然事件，不可能事件， 概率為1 的事件，概率為0的事件 獨立的充要條件 獨立與互不相容

3、兩事件相互獨立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系由此可見兩事件可以互斥可以相容但不獨立.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習(xí).兩事件相互

4、獨立兩事件互斥但思考：兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系？一般二者之間沒有必然聯(lián)系A(chǔ), B相互獨立A, B不互斥A, B互斥A, B不相互獨立3.三事件兩兩相互獨立的概念注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立4.三事件相互獨立的概念例 一個均勻的正四面體， 其第一面染成紅色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A ， B，C 分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問 A，B，C是否相互獨立?解由于在四面體中紅、 白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此又由題意知故有因此 A，B，C 不相互獨立.則三事件 A, B, C 兩兩獨立.由于n 個事件相互獨立n個事

5、件兩兩相互獨立推廣二、幾個重要定理推廣 設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?射擊問題例1三、例題講解解事件 B 為“擊落飛機”, 例3解 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概率為 0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.解 A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機 , 例4i=1,2,3因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為伯努利概型Bernoulli（伯努利）試驗：只有兩個可能的結(jié)果 A和A的

6、試驗n重Bernoulli試驗：設(shè)E為伯努利試驗， 將E獨立地重復(fù)進行n次n重伯努利試驗有下面四個約定： （2）A在每次試驗中出現(xiàn)的概率p保持不變，（3）各次試驗相互獨立,（4）共進行了n次.（1）每次試驗的結(jié)果只能是兩個可能的結(jié)果A和A之一,定理 n重伯努利試驗,事件A在n次試驗中出現(xiàn)k次 的概率為 證明：由n重伯努里試驗定義，事件A在某指定的k次試驗中出現(xiàn)，而在其余n-k次試中不出現(xiàn)的概率為 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次試驗中事件A發(fā)生k次共有Cnk種不同情況，對應(yīng)的事件為互不相容的，由概率的有限可加性其中,X 表示n次伯努利試驗中,事件A出現(xiàn)的次數(shù).顯然，例 袋中有3

7、個白球,2個紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.解 每取一個球看作是做了一次Bernoulli試驗記取得白球為事件 A ，有放回地取4個球看作做了 4 重Bernoulli 試驗。設(shè)4次試驗中A 發(fā)生的次數(shù)為X,則A發(fā)生2次的概率為伯努利概型巴拿赫火柴問題 一位吸煙的數(shù)學(xué)家總帶著兩盒火柴，每盒有N根.一盒放在左邊的衣袋中，另一盒放在右邊的衣袋中.每當他需要用一根火柴時，就等可能的從其中任一個衣袋中取用.問他第一次發(fā)現(xiàn)其中一盒是空的，而另一盒正好還有k根（k0，1，2,N）火柴的概率是多少？ 本章總結(jié) -用集合工具解決概率的計算問題一個定義：概率的公理化定義一個公式：

8、貝葉斯公式兩個關(guān)系：獨立與互不相容三個概型：古典、幾何和伯努利 事件的運算法則 概率公理化定義1 非負性： 對于每一個事件A，有 P(A)0 ； 2 規(guī)范性: 對于必然事件S , 有P(S)=1；3 可列可加性 設(shè)A1，A2， 兩兩互不相容,則P(A1A2 )=P( A1)+P(A2 )+ 事件間的關(guān)系(1) P()=0 概率的性質(zhì)(2)(有限可加性) 若A1，A2， An 兩兩不相容， P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An)(3) 若A B，則有 P(B A)=P(B) P(A) ; (5) 對于任一事件A，有P(A )=1 P(A)，(4) 對于任一事件A，有P(A)1

9、， 一般有 P(B A)=P(B) P(AB)(6) (加法公式) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)滿足樣本空間有限，及等可能性的隨機試驗古典概型中事件A的概率的計算公式獨立性設(shè)A,B是兩事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 則稱事件A,B為相互獨立的隨機事件.幾個重要公式1.條件概率2.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)0)，3.全概率公式4.貝葉斯公式. 1.已知 0P(A)1,0P(B)1, P(A

10、|B)+P(A|B)=1,則( ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A與B對立 ; (C) 事件A和事件B 不獨立; (D) 事件A和B 相互獨立.例題2.設(shè)當事件A與B同時發(fā)生時,事件C必發(fā)生, 則下列 結(jié)果正確的是( ). (A) P(C)P(A)+P(B)-1; (B) P(C)P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(AB). 3. 某種產(chǎn)品的商標為“MAXAM”，其中有2個字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。 (與互逆) 解: 設(shè) 4. 信號收發(fā)問題 應(yīng)用背景 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概

11、率為，而輸出為其他一字母的概率都是(1)/2.今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的.） 信號輸入信道后，有可能由于硬件原因，使得輸出的信號與原始信號有差異.此時可以根據(jù)已知的條件，求得出現(xiàn)誤差的概率. 5.設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20個，各箱含0,1,2個次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機查看4個。若無次品，則買一箱玻璃杯，否則不買。 求：1）顧客買此箱玻璃杯的概率； 2）在顧客買的此箱玻璃杯中,確實沒有次品的