概率課件：1.5獨(dú)立性及習(xí)題

1、一、事件的相互獨(dú)立性二、幾個(gè)重要定理三、典型例題1.5 獨(dú)立性則有1.引例一、事件的相互獨(dú)立性 事件A 與事件 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件B 發(fā)生的概率無關(guān).說明 2.定義例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 因此，事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2本問題也可以通過條件概率來解決: 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B獨(dú)立. 由于“甲命

2、中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率） 在實(shí)際應(yīng)用中, 往往 根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第 i 件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨(dú)立. 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到 第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.說明 與任意事件相互獨(dú)立的事件 必然事件，不可能事件， 概率為1 的事件，概率為0的事件 獨(dú)立的充要條件 獨(dú)立與互不相容

3、兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系由此可見兩事件可以互斥可以相容但不獨(dú)立.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個(gè)小練習(xí).兩事件相互

4、獨(dú)立兩事件互斥但思考：兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系？一般二者之間沒有必然聯(lián)系A(chǔ), B相互獨(dú)立A, B不互斥A, B互斥A, B不相互獨(dú)立3.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立4.三事件相互獨(dú)立的概念例 一個(gè)均勻的正四面體， 其第一面染成紅色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A ， B，C 分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問 A，B，C是否相互獨(dú)立?解由于在四面體中紅、 白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此又由題意知故有因此 A，B，C 不相互獨(dú)立.則三事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立.由于n 個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事

5、件兩兩相互獨(dú)立推廣二、幾個(gè)重要定理推廣 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問題例1三、例題講解解事件 B 為“擊落飛機(jī)”, 例3解 甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概率為 0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解 A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī) , 例4i=1,2,3因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為伯努利概型Bernoulli（伯努利）試驗(yàn)：只有兩個(gè)可能的結(jié)果 A和A的

6、試驗(yàn)n重Bernoulli試驗(yàn)：設(shè)E為伯努利試驗(yàn)， 將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次n重伯努利試驗(yàn)有下面四個(gè)約定： （2）A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p保持不變，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立,（4）共進(jìn)行了n次.（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是兩個(gè)可能的結(jié)果A和A之一,定理 n重伯努利試驗(yàn),事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次 的概率為 證明：由n重伯努里試驗(yàn)定義，事件A在某指定的k次試驗(yàn)中出現(xiàn)，而在其余n-k次試中不出現(xiàn)的概率為 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次共有Cnk種不同情況，對應(yīng)的事件為互不相容的，由概率的有限可加性其中,X 表示n次伯努利試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的次數(shù).顯然，例 袋中有3

7、個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.解 每取一個(gè)球看作是做了一次Bernoulli試驗(yàn)記取得白球?yàn)槭录?A ，有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重Bernoulli 試驗(yàn)。設(shè)4次試驗(yàn)中A 發(fā)生的次數(shù)為X,則A發(fā)生2次的概率為伯努利概型巴拿赫火柴問題 一位吸煙的數(shù)學(xué)家總帶著兩盒火柴，每盒有N根.一盒放在左邊的衣袋中，另一盒放在右邊的衣袋中.每當(dāng)他需要用一根火柴時(shí)，就等可能的從其中任一個(gè)衣袋中取用.問他第一次發(fā)現(xiàn)其中一盒是空的，而另一盒正好還有k根（k0，1，2,N）火柴的概率是多少？ 本章總結(jié) -用集合工具解決概率的計(jì)算問題一個(gè)定義：概率的公理化定義一個(gè)公式：

8、貝葉斯公式兩個(gè)關(guān)系：獨(dú)立與互不相容三個(gè)概型：古典、幾何和伯努利 事件的運(yùn)算法則 概率公理化定義1 非負(fù)性： 對于每一個(gè)事件A，有 P(A)0 ； 2 規(guī)范性: 對于必然事件S , 有P(S)=1；3 可列可加性 設(shè)A1，A2， 兩兩互不相容,則P(A1A2 )=P( A1)+P(A2 )+ 事件間的關(guān)系(1) P()=0 概率的性質(zhì)(2)(有限可加性) 若A1，A2， An 兩兩不相容， P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An)(3) 若A B，則有 P(B A)=P(B) P(A) ; (5) 對于任一事件A，有P(A )=1 P(A)，(4) 對于任一事件A，有P(A)1

9、， 一般有 P(B A)=P(B) P(AB)(6) (加法公式) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)滿足樣本空間有限，及等可能性的隨機(jī)試驗(yàn)古典概型中事件A的概率的計(jì)算公式獨(dú)立性設(shè)A,B是兩事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 則稱事件A,B為相互獨(dú)立的隨機(jī)事件.幾個(gè)重要公式1.條件概率2.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)0)，3.全概率公式4.貝葉斯公式. 1.已知 0P(A)1,0P(B)1, P(A

10、|B)+P(A|B)=1,則( ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A與B對立 ; (C) 事件A和事件B 不獨(dú)立; (D) 事件A和B 相互獨(dú)立.例題2.設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生, 則下列 結(jié)果正確的是( ). (A) P(C)P(A)+P(B)-1; (B) P(C)P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(AB). 3. 某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAXAM”，其中有2個(gè)字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。 (與互逆) 解: 設(shè) 4. 信號收發(fā)問題 應(yīng)用背景 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概

11、率為，而輸出為其他一字母的概率都是(1)/2.今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的.） 信號輸入信道后，有可能由于硬件原因，使得輸出的信號與原始信號有差異.此時(shí)可以根據(jù)已知的條件，求得出現(xiàn)誤差的概率. 5.設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20個(gè)，各箱含0,1,2個(gè)次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看4個(gè)。若無次品，則買一箱玻璃杯，否則不買。 求：1）顧客買此箱玻璃杯的概率； 2）在顧客買的此箱玻璃杯中,確實(shí)沒有次品的