復變函數(shù)課件：第二章 解析函數(shù)

1、第二章 解析函數(shù)2.1 解析函數(shù)的概念1 復變函數(shù)的導數(shù) 定義：存在, 則就說 f (z)在 z0可導, 此極限值就稱為 f (z)在 z0的導數(shù)，記作應(yīng)該注意：上述定義中 的方式是任意的。容易證明：可導 可微 ；可導 連續(xù)。如果 f (z) 在區(qū)域D內(nèi)處處可導, 就說 f (z) 在內(nèi)可導.例1 求 f (z) = z2 的導數(shù)。解 因為所以f (z) = 2z .復變函數(shù)的導數(shù)具有與實函數(shù)同樣的求導法則 。（即f (z) = z2 在復平面處處可導。）例2 問 f (z) = x +2yi 是否可導?解 這里所以 f (z) = x + 2yi 的導數(shù)不存在.（即 f (z) = x +

2、2yi 在整個復平面處處不可導.）例3 討論的可導性。解：所以在復平面上除原點外處處不可導。2. 解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點解析在該點可導。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：例如 f (z) = z2 在整個復平面上解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個復平面上不解析。定義否則稱為奇點 。Z0稱為解析點，例4 討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析；z = 0 是它的一個奇點。解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)一個解析函數(shù)不可能僅在一

3、個點或一條曲線上解析； 所有解析點的集合必為開集。問題：對函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析（可導）性？與u、v的偏導有關(guān)設(shè)函數(shù)于是（可微）u(x,y) 與 v(x,y) 在該點可微, 并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。設(shè) u(x,y) 與 v(x,y) 在點 (x,y) 可微, 于是（x,y0時,ek0, (k=1,2,3,4)）并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函數(shù) f (z)在點 z = x + iy 處可導.由 z 的任意性可知：定理1 函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域D內(nèi)

4、解析的充要條件是 u(x,y) 與 v(x,y) 在D內(nèi)可微, 并滿足Cauchy-Riemann方程.定理2 函數(shù)f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)一點z =x+iy 可導的充分必要條件是: u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微, 在該點滿足Cauchy-Riemann方程 。推論 ：例題1 解：例題2 判斷下列函數(shù)在何處可導, 在何處解析:解： 得 u=x, v=-y, 所以在復平面內(nèi)處處不可導, 處處不解析；2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以當且僅當 x = y = 0時,因而函數(shù)僅在z = 0可

5、導, 但在復平面內(nèi)任何地方都不解析.是區(qū)域內(nèi)的正交 曲線族。 (正交：兩曲線在交點處的切線垂直 )例題3 證：得證。例如兩族分別以直線y=x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10 解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個充分條件：(a)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導數(shù)恒為零；(b)解析函數(shù)的實部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€恒為常數(shù)；(c)解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。2.2 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1 (稱為調(diào)和方程或Laplace方程) 定理1： 證明： 且u, v

6、有任意階連續(xù)偏導數(shù) 同樣可得 注：逆定理顯然不成立，即 對區(qū)域D內(nèi)的任意兩個調(diào)和函數(shù) u, v, 不一定是解析函數(shù) .定義2 若u與v是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足C-R方程， 則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù) .定理2： 在區(qū)域D內(nèi)解析 v為u的共軛調(diào)和函數(shù) .解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和數(shù)例如：是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)（自證），已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個，可利用 C-R 方程求得另一個，從而構(gòu)成一個解析函數(shù)。例題1已知一調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：由 C-R 方程于是（法一）從而即為所求解析函數(shù)。（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三） 2.3 初等函數(shù)3.1 指數(shù)函數(shù) 定義： 性質(zhì)： 3.2 三角函數(shù)定義： 性質(zhì)：(1)Euler 公式仍然成立： (2)全平面解析函數(shù)，(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z為奇函數(shù)，cos z為偶函數(shù)例如(7)定義其他的三角函數(shù)：3.3 雙曲函數(shù)定義： （1）全平面解析函數(shù)： （2）以2pi為基本周期的周期函數(shù)：（3）chz為偶函數(shù), shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：例題1解方程解：3.4 對數(shù)函數(shù)定義： 記： 多值性-主值支例如：性質(zhì)：(2) Ln z為無窮多值函數(shù)，每兩個值相差2 i的整數(shù)倍