解三角形問題 平面向量-教師版

1、 第21練解三角形問題題型一活用正、余弦定理求解三角形問題例1(1)(2013遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(1,2)b，且ab，則B等于()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)在ABC中，acos Abcos B，則ABC的形狀為_破題切入點(1)先由正弦定理對已知三角關(guān)系式進行轉(zhuǎn)化，然后利用三角恒等變換公式進行化簡，可求得sin B的值，再結(jié)合ab的條件即可判斷得出結(jié)果(2)可以先利用余弦定理將條件化為邊的形式，再進行判斷；或者先利用正弦定理將條件化為

2、角的形式，再轉(zhuǎn)化判斷即可答案(1)A(2)等腰三角形或直角三角形解析(1)由條件得eq f(a,b)sin Bcos Ceq f(c,b)sin Bcos Aeq f(1,2)，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos Aeq f(1,2)，sin(AC)eq f(1,2)，從而sin Beq f(1,2)，又ab，且B(0，)，因此Beq f(,6).(2)方法一因為acos Abcos B，所以由余弦定理，得aeq f(b2c2a2,2bc)beq f(a2c2b2,2ac)，即a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以(a2b2c2)(a2b2)0.所以a2b2c2或ab.

3、所以ABC為等腰三角形或直角三角形題型二解三角形中相關(guān)交匯性問題例2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m(sin B,1cos B)與向量n(2,0)的夾角的余弦值為eq f(1,2).(1)求角B的大小；(2)若beq r(3)，求ac的范圍破題切入點(1)根據(jù)向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式進行恒等變形即可解決問題；(2)消元后，利用兩角和的正弦公式把sin Asin C化為sin(Aeq f(,3)，并求出sin(Aeq f(,3)的取值范圍，再根據(jù)正弦定理，求出ac的范圍，也可以利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出ac的范圍解(1)

4、因為m(sin B,1cos B)，n(2,0)，所以mn2sin B.又|m|eq r(sin2B1cos B2)eq r(sin2Bcos2B2cos B1)eq r(21cos B) eq r(4sin2f(B,2)2|sin eq f(B,2)|，因為0B，0eq f(B,2)0，因為|m|2sin eq f(B,2).而|n|2，所以cos eq f(mn,|m|n|)eq f(2sin B,4sin f(B,2)eq f(4sin f(B,2)cos f(B,2),4sin f(B,2)cos eq f(B,2)，即cos eq f(B,2)eq f(1,2).由0B，得eq f(

5、B,2)eq f(,3)，所以Beq f(2,3).(2)方法一由Beq f(2,3)，得ACeq f(,3).所以sin Asin Csin Asin(eq f(,3)A)sin A(sin eq f(,3)cos Acos eq f(,3)sin A)eq f(1,2)sin Aeq f(r(3),2)cos Asin(Aeq f(,3)又0Aeq f(,3)，所以eq f(,3)Aeq f(,3)eq f(2,3).所以eq f(r(3),2)beq r(3)，所以eq r(3)ac2，即ac(eq r(3)，2總結(jié)提高(1)在根據(jù)正、余弦定理解三角形問題中，要結(jié)合大邊對大角進行判斷一般

6、地，斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，有兩解，已知大角求小角有一解；在解三角形問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號防止增解等擴大范圍的現(xiàn)象(2)在求解三角形的實際問題時，首先要準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名詞、術(shù)語，如方位角、仰角、俯角等，其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用，再次將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識，建立數(shù)學(xué)模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計算要準(zhǔn)確，最后作答1(2013陜西)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

7、若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得Aeq f(,2)，所以ABC為直角三角形2(2014課標(biāo)全國)鈍角三角形ABC的面積是eq f(1,2)，AB1，BCeq r(2)，則AC等于()A5 B.eq r(5) C2 D1答案B解析Seq f(1,2)ABBCsin Beq f(1,2)1eq r(2)sin Beq f(1,2)，sin Beq f(r(2),2)

8、，Beq f(,4)或eq f(3,4).當(dāng)Beq f(3,4)時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，ACeq r(5)，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)Beq f(,4)時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故ACeq r(5).3(2014江西)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，Ceq f(,3)，則ABC的面積是()A3 B.eq f(9r(3),2)C.eq f(3r(3),2) D3eq r(3)答案C解析c2(ab)26，c

9、2a2b22ab6.Ceq f(,3)，c2a2b22abcos eq f(,3)a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)6eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).4在ABC中，ABCeq f(,4)，ABeq r(2)，BC3，則sinBAC等于()A.eq f(r(10),10) B.eq f(r(10),5)C.eq f(3r(10),10) D.eq f(r(5),5)答案C解析設(shè)CD為AB邊上的高，則由題設(shè)知BDCDeq f(3r(2),2)，ADeq f(3r(2),2)eq r(2)eq f(r(2),2)，AC

10、 eq r(f(9,2)f(1,2)eq r(5)，sinBACsin(BAC)eq f(f(3r(2),2),r(5)eq f(3r(10),10).5若ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(ab)2c24，且C60，則ab的值為()A.eq f(4,3) B84eq r(3)C1 D.eq f(2,3)答案A解析a2b22abc24，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，eq f(42ab,2ab)eq f(1,2)，abeq f(4,3).6在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C2A，cos Aeq f(3,4)，b5，則ABC的面積為(

11、)A.eq f(15r(7),4) B.eq f(15r(7),2)C.eq f(5r(7),4) D.eq f(5r(7),2)答案A解析cos Aeq f(3,4)，cos C2cos2A1eq f(1,8)，sin Ceq f(3r(7),8)，tan C3eq r(7)，如圖，設(shè)AD3x，AB4x，CD53x，BDeq r(7)x.在RtDBC中，tan Ceq f(BD,CD)eq f(r(7)x,53x)3eq r(7)，解之得：BDeq r(7)xeq f(3r(7),2)，SABCeq f(1,2)BDACeq f(15r(7),4).7在ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別是a

12、，b，c，Ceq f(,3)，ceq r(3)，則eq f(a2r(3)cos A,sin B)的值為_答案4解析由正弦定理，得eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)a2sin A.所以eq f(a2r(3)cos A,sin B)eq f(2sin A2r(3)cos A,sin B)eq f(4sinAf(,3),sin B)4.8在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2，Beq f(,3)且sin 2Asin(AC)sin B，則ABC的面積為_答案eq r(3)解析sin 2Asin Bsin(AC)，2sin Acos Asin(AC)sin(AC)

13、，2sin Acos A2cos Asin C.ABC是銳角三角形，cos A0，sin Asin C，即ACBeq f(,3)，SABCeq f(1,2)22eq f(r(3),2)eq r(3).9設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若Aeq f(,3)，aeq r(3)，則b2c2的取值范圍為_答案(3,6解析由正弦定理，得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(eq f(2,3)B)4eq r(3)

14、sin 2Bcos 2B42sin(2Beq f(,6)又0Beq f(2,3)，所以eq f(,6)2Beq f(,6)eq f(7,6).所以12sin(2Beq f(,6)2.所以3b2c26.10(2014課標(biāo)全國)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_答案eq r(3)解析eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.eq

15、f(b2c2a2,2bc)eq f(bc,2bc)eq f(1,2)cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(當(dāng)且僅當(dāng)bc時取“”)，SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)4eq f(r(3),2)eq r(3).12在ABC中，角A為銳角，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量m(cos A，sin A)，n(cos A，sin A)，且m與n的夾角為eq f(,3).(1)求mn的值及角A的大小；(2)若aeq r(7)，ceq r(3)，求ABC的面積S.解(1)因為|m|eq r(cos2Asin2A)1，|n

16、|eq r(cos2Asin A2)1，所以mn|m|n|cos eq f(,3)eq f(1,2).因為mncos2Asin2Acos 2A，所以cos 2Aeq f(1,2).因為0Aeq f(,2)，02A0)，則eq f(1,m)eq f(4,n)的最小值為()A2 B4C.eq f(9,2) D9答案C解析eq o(MO,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(AM,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),2)eq f(1,m)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o(AB,sup6(

17、)eq f(1,2)eq o(AC,sup6().同理eq o(NO,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，M，O，N三點共線，故eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)o(AC,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f

18、(1,m)f(,2)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(,2)f(,n)eq o(AC,sup6()0，由于eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()不共線，根據(jù)平面向量基本定理得eq f(1,2)eq f(1,m)eq f(,2)0且eq f(1,2)eq f(,2)eq f(,n)0，消掉即得mn2，故eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,2)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(n,m)f(4m,n)eq f(

19、1,2)(54)eq f(9,2).7(2013江蘇)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案eq f(1,2)解析如圖，eq o(DE,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6

20、()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，則1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，12eq f(1,2).8(2013四川)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AO,sup6()，則_.答案2解析由于ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AO,sup6()，2.9(2014北京)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，則|_.答案e

21、q r(5)解析ab0，ab，|a|b|b|eq r(2212)eq r(5)，|a|eq r(5).又|a|1，|eq r(5).10在平面內(nèi)，已知|eq o(OA,sup6()|1，|eq o(OB,sup6()|eq r(3)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，AOC30，設(shè)eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()(m，nR)，則eq f(m,n)_.答案3解析因為AOC30，所以eq o(OA,sup6()，eq o(OC,sup6()30.因為eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o

22、(OB,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，所以|eq o(OC,sup6()|2(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()2m2|eq o(OA,sup6()|2n2|eq o(OB,sup6()|2m23n2，即|eq o(OC,sup6()|eq r(m23n2).又eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()meq o(OA,sup6()2m，則eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OA,sup6(

23、)|eq o(OC,sup6()|cos 30m，即1eq r(m23n2)eq f(r(3),2)m，平方得m29n2，即eq f(m2,n2)9，所以eq f(m,n)3.11已知非零向量e1，e2不共線(1)如果eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BC,sup6()2e18e2，eq o(CD,sup6()3(e1e2)，求證：A、B、D三點共線；(2)欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實數(shù)k的值(1)證明eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2e18e23e13e25(e1e2)5eq

24、o(AB,sup6()，eq o(AB,sup6()與eq o(BD,sup6()共線，且有公共點B，A、B、D三點共線(2)解ke1e2與e1ke2共線，存在，使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2.由于e1與e2不共線，只能有eq blcrc (avs4alco1(k0，,k10，)k1.第23練關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的經(jīng)典題型題型一利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例1若兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|2|a|，則向量b與ab的夾角為()A.eq f(,6) B.eq f(5,6) C.eq f(,3) D.eq f(2,3)破題切入點先把向量模之間的關(guān)系平方之后轉(zhuǎn)化為向量

25、數(shù)量積之間的關(guān)系，然后分別求出所求向量的數(shù)量積與模，代入公式求解即可；也可利用向量的幾何意義轉(zhuǎn)化為三角形中的問題求解答案A解析方法一由已知，得|ab|ab|，將等式兩邊分別平方，整理可得ab0.由已知，得|ab|2|a|，將等式兩邊分別平方，可得a2b22ab4a2.將代入，得b23a2，即|b|eq r(3)|a|.而b(ab)abb2b2，故cosb，abeq f(bab,|b|ab|)eq f(b2,r(3)|a|2|a|)eq f(3a2,r(3)|a|2|a|)eq f(r(3),2).又b，ab0，所以b，abeq f(,6).故選A.方法二如圖，作eq o(OA,sup6()a，

26、eq o(OB,sup6()b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則eq o(OC,sup6()ab，eq o(BA,sup6()ab.由|ab|ab|2|a|，可得|eq o(OC,sup6()|eq o(BA,sup6()|2|eq o(OA,sup6()|，所以平行四邊形OACB是矩形，eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()a.從而|eq o(OC,sup6()|2|eq o(BC,sup6()|.在RtBOC中，|eq o(OB,sup6()| eq r(|o(OC,sup6()|2|o(BC,sup6()|2)eq r(3)|eq o(BC,sup6()|，故

27、cosBOCeq f(|o(OB,sup6()|,|o(OC,sup6()|)eq f(r(3),2)，所以BOCeq f(,6).從而b，abBOCeq f(,6)，故選A.題型二利用數(shù)量積求向量的模例2已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|的最小值為_破題切入點建立平面直角坐標(biāo)系，利用點坐標(biāo)表示出各向量，或用向量的關(guān)系一一代換得出最簡式，從而求出最小值答案5解析方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0

28、)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，eq o(PA,sup6()(2，x)，eq o(PB,sup6()(1，ax)，eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()(5,3a4x)，|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|225(3a4x)225，|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|的最小值為5.總結(jié)提高(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標(biāo)運算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇，注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”(2)求向量的夾角時要注意：向

29、量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角1(2014課標(biāo)全國)設(shè)向量a，b滿足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，則ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4ab4，ab1.2(2014四川)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于()A2 B1C1 D2答案D解析因為a(1,2)，b(4,2)，所以cma

30、b(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根據(jù)題意可得eq f(ca,|c|a|)eq f(cb,|c|b|)，所以eq f(5m8,r(5)eq f(8m20,r(20)，解得m2.7(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，eq o(CP,sup6()3eq o(PD,sup6()，eq o(AP,sup6()eq o(BP,sup6()2，則eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()的值是_答案22解析由eq o(CP,sup6()3eq o(PD,sup6()，得eq o(DP,sup6()eq f(1,4)eq o(DC,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DP,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6().因為eq o(AP,sup6()eq o(BP,sup6()2，所以(