線性代數(shù)重難點(diǎn)題型精講講義

1、線性代數(shù)唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快2014數(shù)學(xué)線性代數(shù)重難點(diǎn)題型班主講：朱長龍【題型 1】 數(shù)值型行列式的計(jì)算100aa1000a1000.【引例】計(jì)算行列式 D a1小結(jié)：i）二條線ii）數(shù)值型行列式方法與思路總結(jié)：i）定義法；ii）性質(zhì)；上（下）三角形法iii）按行（列）展開公式.化零展開.Ai1 ai2 Ai2 a1 j A1 j a2 j A2 j ain Ainanj AnjD1線性代數(shù) 01111 10111 11011 【例 1】設(shè)n 階矩陣 A ，則 A . 11101 11110 【例 2】設(shè) (1

2、, 0, 1)T ，矩陣 A T ，n 為正整數(shù)，則aE An .唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快【題型 2】抽象型行列式的計(jì)算【引例】設(shè) A 為 3 階矩陣，又 A (1,2,3) ，且 A 5 .令 B (1 22 ,31 43 ,52 ) ，求 B .2線性代數(shù)方法總結(jié)：i）性質(zhì)ii）方陣行列式的性質(zhì)1An1B ， kA knA1ATA*ABAA ，A ，A BA Biii）特征值法A 12n ，f (n )f (A)ABBf ( A)f (B)，【例 1】設(shè) A (aij ) 是 3 階非零矩陣，A 為 A 的行列

3、式， Aij 為aij 的代數(shù).若aij Aij 0(i, j 1, 2, 3) ，則A .1 1 1 1【例 2】若 4 階矩陣 A 與B 相似，矩陣 A 的特征值為 , ,，則行列式2 3 4 5B1 E.3AA線性代數(shù)【題型 3】初等變換與初等矩陣 a11 aa14 a14a11 a1222a3242a1323a3343a1323a3343a1222a3242 aaaaaaa【引例】設(shè) A 24 ， B 21 ，2124 a31a34 a34a31 a aaaaaaa 411 44 0100 4441 0 001000010 1 000100 0 0 P ， P ，其中 A 可逆，則 B

4、1 等于（） 0 10 0 0 00 1 12（A） A1PP（B） P A1P（C） PP A1（D） P A1P1 2121 221方法總結(jié)：i）初等變換與初等矩陣的關(guān)系ii）初等矩陣的性質(zhì)iii）做題方法 10100 【例 1】設(shè) A 為 3 階矩陣，P 為 3 階可逆矩陣，且 P1AP 00 ，若P (, , )，1 2 3 02 Q ( , , ) ，則Q1AQ （）1223 10 10 20 20 020010010020（A） 00 （B） 00 （C） 00 （D） 00 01 02 02 01 4線性代數(shù)0 2013 10 2014 13 0010258100【例 2】求 1

5、0 46 10 . 01 79 01 【題型 4】矩陣方程唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快【引例】設(shè) A 1a 0， B 1 ，當(dāng)a, b 為何值時(shí)，存在矩陣 C 使得10 1b AC CA B ，并求所有矩陣 C.方法總結(jié)：i） X (xij )，建立方程組，解出 xijii）如： AX BX A1B 1 0010300100 0 【例 1】設(shè)矩陣A 的伴隨矩陣 A* ，且 ABA1 BA1 3E ，其中 E 為 4 10 8 0階矩陣，求矩陣 B.5線性代數(shù)100 011 【例 2】已知矩陣 A 110 ， B 101

6、 ，且矩陣 X 滿足11 10 11AXA BXB AXB BXA E ，其中 E 是 3 階矩陣，求 X .【題型 5】秩的求解與證明 132【引例】已知Q 24t ，P 為 3 階非零矩陣，且滿足 PQ=0，則r(P) （） 39 6（A）t=6 時(shí)，P 的秩必為 1（B）t=6 時(shí)，P 的秩必為 2（C）t6 時(shí)，P 的秩必為 1（D）t6 時(shí)，P 的秩必為 2方法總結(jié)：秩的求解方法（）抽象型.秩的定義與性質(zhì)i）基本公式與結(jié)論r(A) r( AT ) ； r(kA) r( A), k 0 ； r(A) min(m, n)mn r( A) r A 存在一個(gè) r 階子式非零r( A) r A

7、 所有 r 階子式全為零r(1,2,S ) sii）重要公式與結(jié)論r( A) r( A列) r( A行) ； r( A B) r( A) r(B) ； r( AB) minr( A), r(B) ； 0 r(A) r(B) n ； AB r( A) r(B)Amn Bns（）數(shù)值型6線性代數(shù) 001 【例 1】設(shè)矩陣 B 010 .已知矩陣A 相似于 B，則秩r( A 2E) 與秩r( A E) 之和 10 0等于（ ）（A）2（B）3（C）4（D）5【例 2】設(shè)有向量組1 (1, 1, 2, 4) ，2 (0, 3,1, 2) ，3 (3, 0, 7,14) ，TTT4 (1, 2, 2,

8、0) ， (2,1, 5,10) ，則該向量組的極大線性無關(guān)組是（ ）TT5（A）1,2 ,3（B）1,2 ,4（C）1,2 ,5（D）1,2 ,3 ,5【例 3】已知向量組（）： 1,2,3 ；（）：1,2,3,4 ；（）：1,2,3,5 .如果r()=r()=3，r()=4.證明：向量組1,2,3,5 4 的秩為 4.7線性代數(shù)【題型 6】向量組的線性相關(guān)性【引例】設(shè))T (i 1,2, r; r n) 是n向量，且, , 線性12r,保證淘寶更新最快唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢無關(guān)。已知 (b , b , b )T 是線性方程組1

9、2na11x1 a12 x2 a1n xn 0ax a x a x 021 122 22n n的非零解向量。試判斷向量組1,2 ,r ,的線性相關(guān)性.ar1 x1 ar 2 x2 arn xn 0小結(jié)：i）線性代數(shù)各種語言的相互轉(zhuǎn)化。向量組 線性方程組 矩陣如： AB Cii）線性相關(guān)性方法數(shù)值型抽象型【例 1】設(shè)向量1,2 ,t 是方程組 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組Ax 0 的解，即 A 0 。證明：向量組,1,2 ,t 線性無關(guān)。8線性代數(shù)【例 2】已知b1, b2 , bs 為量量相互正交的非零向量組，證明： b1, b2 , bs 線性無關(guān)1 0 0 1【例 3】設(shè)1 0

10、 ,2 1 ,3 1,4 1 ，其中c1, c2 , c3 , c4 為任意常數(shù)，則下 c c c c 1 2 3 4 列向量組線性相關(guān)的為（ ）（A）1,2 ,3（B）1,2 ,4（C）1,3 ,4（D）2 ,3 ,4【題型 7】線性方程組解的判定、性質(zhì)與求解【引例】問a, b 為何值時(shí)，線性方程組3 x4 0 14 x (a 3)x 2x b32344 1有唯一解、無解、有無窮多解，并求出相應(yīng)解或通解（含參數(shù)a, b ）9線性代數(shù)小結(jié)：i)解判定的充要條件 參數(shù)的確定；初等行變換 最簡單同解方程組ii）求解求過，1 a 1 【例 1】設(shè) A 010 , b 1 ，已知線性方程組 Ax b

11、存在2 個(gè)不同的解。 1 1 1 （I）求, a（II）求方程組 Ax b 的通解【例 2】設(shè) A 為4 3 矩陣，1,2 ,3 是非線性方程組 Ax 的 3 個(gè)線性無關(guān)的解，k1, k2 為任意常數(shù)，則 Ax 的通解為（） 3 k ( )3 k ( )22（A）（B）12112122 k ( ) k( ) k ( ) k ( )2323（C）（D）1212311212312210線性代數(shù) 1 1 0 1 2 , , 0 , A , B ，其中 是的轉(zhuǎn)置，求解方TTT 【例 3】設(shè)20 1 8 程 2B2 A2 x A4 x B4 x r .【題型 8】特征值、特征向量求解相關(guān)問題 211 1

12、 【引例】設(shè)矩陣 A 121 可逆，向量 b 是矩陣 A* 的一個(gè)特征向量，是對 1a 11 唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快應(yīng)的特征值，其中 A* 是矩陣 A 的伴隨矩陣.試求a, b,的值.小結(jié)：i)特征值、特征向量的求解ii）特征值、特征向量的性質(zhì)（1）運(yùn)算性質(zhì)；（2）不同的特征值的特征向量無關(guān)（實(shí)對稱矩陣正交）A 12 n ；(n )f ( A)（3）nntr( A) i ; E A (i )i1i111線性代數(shù) 2122 32 的實(shí)特征值及對應(yīng)的特征向量.【例 1】求矩陣 A 3 26【例 2】已知1 6,2 3

13、 3 是實(shí)對稱矩陣 A 的三個(gè)特征值，且對應(yīng)于2 3 3 的特征向量為 (1,0,1)T , (1,2,1)T ，求 A 對應(yīng)于 6 的特征向量及矩陣 A .231【題型 9】矩陣的相似，相似對角化及應(yīng)用 312【引例】設(shè)矩陣 A 14 3 的特征方程有一個(gè)二重根，求a 的值，并A 是否可1a5相似對角化.12線性代數(shù)【例 】若矩陣 A a 相似于對角矩陣 ，試確定常數(shù)a 的值；并求可逆矩陣 P 使P1AP .【例 2】設(shè)3 階實(shí)對稱矩陣 A 的各行元和均為3 ，向量 (1,2 1)T , (0,1,1)T 是12線性方程組 Ax 0 的兩個(gè)解。（I）求 A 的特征值與特征向量；（II）求正交

14、矩陣Q 和對角矩陣 ，使得 .線性代數(shù)【題型】二次型相關(guān)問題【引例】已知二次型) 5x2 5x2 Cx 2f (的秩為2 .3123（I）求參數(shù)C（II）求正交變換 x Qy ，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（III） A2 2 A kE 正定，求k 的范圍小結(jié)：（i）二次型矩陣表示及相關(guān)概念（ii）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（iii）正定性判定線性代數(shù)唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快2014數(shù)學(xué)線性代數(shù)重難點(diǎn)題型班講義【題型 1】數(shù)值型行列式的計(jì)算【引例】 D 1 a4 .【例 1】()1n1(n )12n )【例 2】【題型 2】抽象型行列式

15、的計(jì)算 100B【引例】 1A【例 1】B1 E 24【例 2】【題型 3】初等變換與初等矩陣【引例】（C）【例 1】（B）125 2 201383【例 2】 4 20136 3 2013 79【題型 4】矩陣方程1 k1kk【引例】C 2 10 0611 B【 60 05【例 2】 X 0【題型 5】秩的求解與證明【引例】（C）【例 1】（C）15線性代數(shù)唯一所有，其它均為倒賣者。2014年正在火熱招生中，公共課40，專業(yè)課60哦，歡迎咨詢,保證淘寶更新最快【例 2】（B）【例 3】證明略【題型 6】向量組的線性相關(guān)性【引例】線性無關(guān)【例 1】證明略【例 2】證明略【例 3】（C）【題型 7

16、】線性方程組解的判定、性質(zhì)與求解b a 2a 2b 3b 1【引例】a 1時(shí)，有唯一解， x1 a 1, b 1 時(shí)無解；, x2 , x3 a 1 , x4 0 ；a 1a 1a 1, b 1 有無窮多解， x k (1,2,1,0)T k (1,2,0,1)T (1,1,0,0)T ；12【例 1】（I） 1, a 2 ；（II） x k (1,0,1)T ( 3 , 1 ,0)T22【例 2】 （C）1【例 3】 x k (1,2,1) ( ,1,0)2【題型 8】特征值、特征向量求解相關(guān)問題【引例】a 2, b 1, 1或 a 2, b 2, 4【例 1】1 2 3 1; k (1,1,1)k 0 411 k (1,1,1) k 0 ， A 1T41 【例 2】1 141【題型 9】矩陣的相似，相似對角化及應(yīng)用【引例】a 2 時(shí)， A 可相似對角化； a 2 時(shí)， A 不可相似對角化3