07wjj-0401多自由度體系1new

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教師：助教：同濟(jì)大學(xué)土木2014橋梁工程系1/70結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第四章多度結(jié)構(gòu)振動(dòng)體系的2/70本次課的主要內(nèi)容：無(wú)阻尼無(wú)阻尼振動(dòng)振動(dòng)頻率和振型、正交性、振型質(zhì)量和振型剛度、坐標(biāo)的耦聯(lián)和非耦聯(lián)，正則坐標(biāo)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)頻率與振型、正交性、正則坐標(biāo)土木工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)阻尼阻尼的來(lái)源、比例阻尼模型、非比例阻尼模型3/704.1無(wú)阻尼振動(dòng)4/704.1.1 無(wú)阻尼振動(dòng)頻率和振型5/70多度體系無(wú)阻尼振動(dòng)的方程為：根據(jù)單度體系振動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)多度體系在振動(dòng)時(shí)也是在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，多度體系的振動(dòng)形式可寫為：位移形狀向量，僅與坐標(biāo)位置有關(guān)， 不隨時(shí)間變化。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率， 相位角。稱為運(yùn)動(dòng)方程的特征方程6

2、/70K 2M = 0u sin(t )u 2 sin(t )Mu + Ku = 0特征方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零 ：是一關(guān)于 的多項(xiàng)式，稱為頻率方程：對(duì)于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體系，其質(zhì)量陣與剛度陣具有實(shí)對(duì)稱性和正定性，所以相應(yīng)的頻率方程的根都是正實(shí)根。由此可以解得N個(gè)根： 2 2 2 2 。123N7/70a (2 )N a(2 )N 1 a 2 a 0NN 110k 2 mk 2 mk 2 m111112121N1Nk 2 mk 2 mk 2 m212122222 N2 N 0k 2 mk 2 mk 2 mN1N1N 2N 2NNNNK 2M = 0頻率方程的N個(gè)正實(shí)根：n( n=1,

3、 2, , N )即為多度體系的自振頻率。其中量值最小的頻率1稱為基本頻率(相應(yīng)的周期T1=2/1叫基本周期)。從以上分析可知，多度體系在做振動(dòng)時(shí)只能按一些特定的頻率，即按自振頻率進(jìn)行振動(dòng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)按某一自振頻率振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)將保持一固定的形狀，稱為自振振型，或簡(jiǎn)稱振型。8/701 2 3 N把相應(yīng)的自振頻率j代入運(yùn)動(dòng)方程的特征方程得到振型j體系的n階振型性(線性方程組是線性相關(guān)的)，振由于特征方程的型向量是不定的，只有人為給定向量中的某一值，例如令1j=1，才能確定其余的值。所謂振型就是結(jié)構(gòu)不同點(diǎn)(度)變化時(shí)的比例關(guān)系。振型的正交性9/70T M 0,i jijT K 0,i jijK 2M =

4、 0jj振型正交性的證明對(duì)于兩個(gè)頻率 j 和 i，及其振型 j 和 i 分別滿足： ) M 022T(ijijM 和 K 均為對(duì)稱矩陣T M 0ijT K 0ij10/70i K j ii M jTT2TT等式兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置T K 2T MijiijT K 2T MjiijiT K 2T MijjijK 2 MiiiK 2Mjjj例題：振型正交性的檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：M 3m0 m 303K 6EI 8 0m0132 7L3而振型為： 112.097121.431關(guān)于質(zhì)量陣的正交性：T M 12.097 30 m 32.097 (3 3.000807)m 0111 0121.431

5、1.431 關(guān)于剛度陣的正交性：3 1T K 12.097 8(6EI ) 1.7091.1941(6EI ) (1.7090 1.7086) 6EI 032 127L37L37L311/701.4311.431 振型質(zhì)量和振型剛度如果把振型和自振頻率滿足的方程可以得到表達(dá)式：這與單度體系自振頻率的計(jì)算公式一樣。mj 和 kj 稱為振型質(zhì)量和振型剛度。振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交歸一化方法12/70T K= 2jjjT M 1jj j jmjk j jmjT K = 2T MjjjjjK = 2Mjjj以上分析方法即為代數(shù)方程中的特征值分析，自振頻率相應(yīng)于特征值，而振型即是特征向量。定理：若K、M是

6、對(duì)稱矩陣，而K又是正定的，則特征值和特征向量全為實(shí)數(shù)；若M也是正定的，則特征值全為正。對(duì)于穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)體系， K、M一般是對(duì)稱正定矩陣。采用簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí)，質(zhì)量陣可以是半正定的，例如采用集中質(zhì)量法有限元模型，此時(shí)可以采用靜力凝聚法，將質(zhì)量陣化為正定矩陣。13/70振型矩陣和譜矩陣得到體系的N個(gè)自振頻率和振型后，可以把振型和自振頻率分別寫成矩陣的形式， 111222N 200N1N2 NNN21 12NN 1102000 和 也分別稱為振型矩陣和譜矩陣。14/70例1如圖(a)所示三層框架結(jié)構(gòu)，各樓層的質(zhì)量和層間剛度示于圖中，確定結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型。結(jié)構(gòu)模型各剛度元素15/702.000 M 01.

7、50 001.0運(yùn)動(dòng)方程的特征方程：3000 22 120001 (K 2M) 1800 1.52600600 120002600 2 3 1 05 2B23 1.5B101 0 600 20 2 01 B 3 頻率方程： 5.5B2 7.5B 2 0B316/70 2210.88 14.522112963.962 31.048(rad / s)2 2 2125.20 46.10033B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420B 2 600根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程的特征方程求振型：K 2 M 0nn設(shè)3j =1，則振型方程為： 1n 5 2Bn23 1.5B001 1 Bn 0600

8、20 n2 n 011方程中有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以用任意兩個(gè)方程求得1n和2n。由第一個(gè)方程： 1n 22n(5 2Bn )由第三個(gè)方程：2n 1 Bn一階振型：將1=14.522rad/s (B1=0.3515) 代入上式得：0.3018 2 0.6485 / (5 2 0.3515) 0.3018 0.648511 1 0.3515 0.6485121117/700.30180.67902.4395 0.6486 0.60663 2.54201211118/704.1.2 無(wú)阻尼振動(dòng)分解19/701位移的振型展開(kāi)和振型坐標(biāo)對(duì)于任意N個(gè)度的問(wèn)題，任意N個(gè)獨(dú)立的向量都任何其它的N階向量。上一節(jié)已

9、證明N個(gè)自可以由度結(jié)構(gòu)體系的N個(gè)振型是正交的，因而N個(gè)振型是相互獨(dú)立的，結(jié)構(gòu)在任一時(shí)刻的位移向量就可以用結(jié)構(gòu)的N個(gè)振型來(lái)表示，即位移可以用振型來(lái)展開(kāi)：u j qj (t) qNj 1其中，1 j q1 (t) u (t) 1 2 j q2 (t) u (t)q u 2j Nj qN (t)uN (t)量交換)，N個(gè)獨(dú)立的振可以證明對(duì)于保守系統(tǒng)(型是完備的，即任何結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的形態(tài)都可以用其N個(gè)振型線性表示。20/70廣義坐標(biāo)qj(t)，j=1,2,N,標(biāo)，常稱為振型坐標(biāo)。也稱為正規(guī)坐標(biāo)，正則坐根據(jù)振型的正交性，上式右端N項(xiàng)公式中，只有第j項(xiàng)不等于零，則：例1續(xù)利用振型展開(kāi)公式將位移向量u=11

10、1T (向量)用振型展開(kāi)。2.0 101.500 1 0.30180.6485000 11.0 12.5764 q 1.421112.00 0.301801.501.81300 0.64851 0.30180.648500 1.0 1 21/70 T Mu T M qjjjj T Mu T Muqjjj T Mmjjj jMu M M qTTTj2jNN2.00 101.500 1 0.67900.606600 11.0 11.2679 q 0.512520 0.67902.001.502.47400 0.60661 0.67900.606600 1.0 1 2.00 101.500 1 2.

11、43952.542000 11.0 12.0660 q 0.091432.00 2.4395 01.5022.59500 2.54201 2.43952.542000 1.0 1 0.67900.3018 2.4395 0.9998 q 0.64851.4211 0.6066(0.5125) 2.5420 0.0914 3j 11.0001jj1.000011122/70從以上分析看到，結(jié)構(gòu)任一位移反應(yīng)(狀態(tài))都可以用振型展開(kāi)。這樣，求解多體系的位移反應(yīng)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求振型坐標(biāo)問(wèn)題。利用振型的正交性可以將耦聯(lián)的N個(gè)度問(wèn)題化為N個(gè)獨(dú)立的單度問(wèn)題。23/702 無(wú)阻尼體系的振型疊加法體系的運(yùn)動(dòng)方

12、程：Mu Ku p(t)其中位移向量和外荷載向量分別為：diag m T p(t)mj jM jk j jK jTTp (t) T p(t)jj廣義(振型)質(zhì)量廣義(振型)剛度廣義(振型)荷載24/70q (t) q (t) 1p (t),j 1, 2, Njjjmjjmj qj (t) k j q j (t) p j (t),j 1, 2, N這是單度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)方程，可以用單度受任意荷載時(shí)的分析方法求解。例如用Duhamel積分、Fourier變換等。若用Duhamel積分，：1tp ( ) sin(t )dq (t) m jnn0jj用振型坐標(biāo)表示初始條件：u qu (t 0) q (t 0)以上分析方法叫振型疊加法，有時(shí)也稱為振型分解法。25/70q (0) 1T Mujmj0j 1q (0) T Mujj0mj得到以振型坐標(biāo)表示的初始條件后，可直接根據(jù)單度體系振動(dòng)的解式，得到由初始條件引起的各 0振動(dòng)qn (t)為