電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)解耦控制

1、電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)解耦控制章琦1, 祝長(zhǎng)生2(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)摘要：電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有較強(qiáng)的陀螺效應(yīng)，在高速運(yùn)行時(shí)其過高的章動(dòng)模態(tài)頻率成為影響系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的一個(gè)主要不利因素。因此，需要使用先進(jìn)的控制方法來對(duì)轉(zhuǎn)子各模態(tài)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行調(diào)節(jié)。傳統(tǒng)分散PD控制策略中各模態(tài)之間嚴(yán)重耦合，難以滿足對(duì)轉(zhuǎn)子各模態(tài)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行獨(dú)立調(diào)節(jié)的要求。本文基于電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先提出了一種在高速下能夠使電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行的模態(tài)解耦控制方法，然后對(duì)這種方法的解耦效果以及控制的有效性進(jìn)行了仿真分析，并與傳統(tǒng)分散PD控制的性能進(jìn)行了比較。結(jié)果表明本

2、文提出的模態(tài)解耦控制方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁軸承飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)間的解耦，以達(dá)到對(duì)各個(gè)模態(tài)的剛度和阻尼進(jìn)行獨(dú)立調(diào)節(jié)，使電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)性能和更強(qiáng)的抗干擾能力的目的。關(guān)鍵詞：電磁懸浮飛輪；陀螺效應(yīng)；模態(tài)解耦控制；主動(dòng)電磁軸承中圖分類號(hào)：TH113 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)嗎：A 文章編號(hào)：1004-4523(2011)*-“*引 言基金項(xiàng)目：國(guó)家高技術(shù)發(fā)展計(jì)劃(“863”計(jì)劃)(2006AA05Z201)資助項(xiàng)目收稿日期: 修訂日期: 高速飛輪儲(chǔ)能具有高比能量、長(zhǎng)壽命、高效率、無污染等優(yōu)點(diǎn)，是一種具有廣泛發(fā)展前景的電能儲(chǔ)存方式。由于電磁軸承具有動(dòng)力特性可控、無機(jī)械接觸、壽命長(zhǎng)、損耗低

3、、無需潤(rùn)滑等優(yōu)點(diǎn)，是高速飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)中最常用的轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)13。高速飛輪儲(chǔ)能轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有兩個(gè)明顯的特點(diǎn)，一是相對(duì)于軸承的剛度來講，轉(zhuǎn)子的剛性較大；另一個(gè)是系統(tǒng)具有較強(qiáng)的陀螺效應(yīng)。所以飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般作為剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來處理，這樣會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)兩種剛性模態(tài)。飛輪轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于飛輪轉(zhuǎn)子強(qiáng)陀螺效應(yīng)的作用，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)又會(huì)分解為章動(dòng)模態(tài)和進(jìn)動(dòng)模態(tài)。章動(dòng)模態(tài)的頻率隨轉(zhuǎn)速同步上升，高速下與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)同步頻率之比接近于轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比。進(jìn)動(dòng)模態(tài)的頻率則隨轉(zhuǎn)速上升不斷下降，在高速下趨向于零。理論上章動(dòng)模態(tài)頻率和進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率的乘積在任何轉(zhuǎn)速下保持不變4,5。如果電磁軸承系統(tǒng)中各組成部分都是線性系統(tǒng)

4、且沒有時(shí)間延遲，則通過傳統(tǒng)分散PD控制策略完全可以滿足飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對(duì)剛度和阻尼的要求，使飛輪轉(zhuǎn)子高速時(shí)在強(qiáng)陀螺效應(yīng)作用下也能保持穩(wěn)定運(yùn)行6,7。但在實(shí)際的系統(tǒng)中，功放和傳感器等的帶寬受到限制，造成電磁力響應(yīng)的時(shí)間延遲。而電磁軸承所產(chǎn)生的力場(chǎng)是非保守力場(chǎng)，會(huì)向飛輪轉(zhuǎn)子輸入能量，章動(dòng)模態(tài)的能量就有可能進(jìn)入正反饋后不斷積累而導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。另外，對(duì)進(jìn)動(dòng)模態(tài)而言，隨著模態(tài)頻率的不斷下降，控制力對(duì)它的阻尼作用也會(huì)不斷下降，尤其當(dāng)控制器包含積分環(huán)節(jié)時(shí)，低頻段的相位超前難以保證，當(dāng)進(jìn)動(dòng)頻率最終進(jìn)入積分參數(shù)起作用的范圍時(shí)，進(jìn)動(dòng)模態(tài)會(huì)造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)8。為了抑制這些不穩(wěn)定因素，一方面要提高電磁軸承系統(tǒng)各模塊的帶寬

5、，這容易使得控制信號(hào)被高頻噪聲嚴(yán)重干擾；另一方面要對(duì)陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的章動(dòng)模態(tài)和進(jìn)動(dòng)模態(tài)進(jìn)行抑制。對(duì)于后者，已經(jīng)提出了多種解決的方法。這些方法可分為兩類，一類是基于現(xiàn)代控制理論的控制方法，如滑模控制9、綜合10、Gain- Scheduled控制11、Cholesky分解降階12、LQR控制1314等，這些算法都比較復(fù)雜且運(yùn)算量大，受硬件條件影響，在工程上不易實(shí)現(xiàn)。另一類是基于傳統(tǒng)分散PD控制器的交叉反饋控制方法，其中交叉反饋又可分為位移交叉15、速度交叉1、速度位移交叉16和電磁力超前結(jié)合位移交叉17等形式。交叉反饋尤其是速度交叉反饋方法的優(yōu)點(diǎn)在于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只需在傳統(tǒng)分散PD控制基礎(chǔ)上加上交叉反

6、饋部分就可以實(shí)現(xiàn)，不足之處在于目前仍然缺乏有效的交叉反饋參數(shù)設(shè)計(jì)方法。另外，在采用傳統(tǒng)分散PD控制時(shí)，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)間強(qiáng)烈耦合難以對(duì)各模態(tài)的特性進(jìn)行獨(dú)立的調(diào)節(jié)，因此在此基礎(chǔ)上的控制方法都有一定的局限性。本文基于電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，提出了能夠?qū)﹄姶艖腋★w輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)進(jìn)行解耦的模態(tài)解耦控制方法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)各模態(tài)的剛度和阻尼進(jìn)行獨(dú)立控制，能有效地提高電磁懸浮飛輪在高速下的動(dòng)態(tài)特性。1 電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般為粗短結(jié)構(gòu)，其彎曲模態(tài)的頻率遠(yuǎn)高于轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速，忽略轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)的影響，將轉(zhuǎn)子視為一個(gè)剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。雖然飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸向軸承與

7、徑向軸承之間的耦合是存在的，但這種耦合屬于弱耦合，本文忽略了這種影響，重點(diǎn)研究四個(gè)徑向自由度上轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性。立式電磁懸浮剛性飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。理想情況下，轉(zhuǎn)子的軸線在兩徑向軸承的中心連線上。為了描述轉(zhuǎn)子、傳感器和電磁軸承間的相互位置，建立了oxyz主坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)原點(diǎn)在轉(zhuǎn)子理想位置的質(zhì)心c點(diǎn)，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x和y與z之間形成右手坐標(biāo)系。上下徑向電磁軸承A和B的中心到c點(diǎn)的距離分別為和，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)；上下傳感器A及B到c點(diǎn)的距離分別為和，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)。為了便于分析另外建立了三個(gè)徑向平面的坐標(biāo)系，分別是傳感器坐標(biāo)系、磁軸承坐標(biāo)系以及質(zhì)心坐標(biāo)系，其原點(diǎn)均在兩徑向

8、軸承的中心連線上。轉(zhuǎn)子在發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心的坐標(biāo)分別為、及；上下傳感器處的坐標(biāo)分別為、及；上下電磁軸承處的坐標(biāo)分別為、及。圖1. 電磁懸浮剛性飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型在不考慮外部阻尼以及重力因素影響的條件下，根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論，容易寫出軸向?qū)ΨQ的電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 (1)其中，m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，為轉(zhuǎn)子繞x及y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為轉(zhuǎn)子繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。、及分別為A及B端電磁軸承在x和y方向上的電磁力，為轉(zhuǎn)子的不平衡偏心距。把方程(1)寫為矩陣的形式為 (2)其中，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)矩陣，為力臂系數(shù)矩陣，為電磁軸承的電磁力向量，為剛性飛輪質(zhì)心的坐標(biāo)，為不平衡力向量。一般情

9、況下，無論是C型還是E型磁極結(jié)構(gòu)的電磁軸承所產(chǎn)生的電磁力為線圈電流和定轉(zhuǎn)子間氣隙的二次函數(shù)1，如(3)式所示 (3)其中，為空氣磁導(dǎo)率，為鐵芯與氣隙的橫截面積，為線圈匝數(shù)，為線圈電流，為氣隙長(zhǎng)度。當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)一定，轉(zhuǎn)子在其靜平衡位置附近作小位移擾動(dòng)時(shí)，則可通過對(duì)(3)式在靜態(tài)平衡點(diǎn)作Taylor展開，從展開結(jié)果中略去高階小量后，這時(shí)電磁力就可以表示為電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)的線性函數(shù)，從而對(duì)電磁力進(jìn)行線性化控制1,2。由于轉(zhuǎn)子是垂直放置的，所有磁極上的偏置電流可以取得相同，在上下電磁軸承結(jié)構(gòu)相同的情況下，電磁力可以表示為 (4)其中，為電磁軸承相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移,為控制電流，為電磁軸承位移剛度

10、系數(shù)矩陣，為電磁軸承電流剛度系數(shù)矩陣。在電磁軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作點(diǎn)的電流和間隙確定后，電磁軸承的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)都是常數(shù)。將(4)式代入(2)式可得 (5)對(duì)于剛性轉(zhuǎn)子來講，軸承位置軸承坐標(biāo)系的坐標(biāo)、及與質(zhì)心坐標(biāo)系的坐標(biāo)、及之間的關(guān)系為 (6) 故有 (7)令可以得到電磁懸浮剛性飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)用質(zhì)心坐標(biāo)系坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程為 (8)其中, (9)2 模態(tài)解耦控制原理模態(tài)解耦控制器設(shè)計(jì)的目的是為了實(shí)現(xiàn)電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)控制通道之間的相互獨(dú)立。首先將輸入模態(tài)解耦控制器四個(gè)傳感器處的位移信號(hào)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子質(zhì)心處平動(dòng)的位移信號(hào)及轉(zhuǎn)動(dòng)的角度信號(hào)，即將傳感器坐標(biāo)系坐標(biāo)、及轉(zhuǎn)化為質(zhì)心

11、坐標(biāo)系坐標(biāo)、及，這樣就可以直接對(duì)轉(zhuǎn)子各模態(tài)進(jìn)行控制。為便于和傳統(tǒng)分散PD控制器進(jìn)行比較，模態(tài)解耦控制器中仍使用PD控制算法來產(chǎn)生控制信號(hào)。由于產(chǎn)生的控制信號(hào)的作用點(diǎn)是在轉(zhuǎn)子質(zhì)心處，而實(shí)際的電磁軸承是位于轉(zhuǎn)子的兩端。因此還需要將轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的控制信號(hào)轉(zhuǎn)化為上下電磁軸承處電磁力的控制信號(hào)，即將質(zhì)心坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為軸承坐標(biāo)系的坐標(biāo)。最后將得到的電磁力控制信號(hào)加上負(fù)剛度補(bǔ)償信號(hào)后輸入到功率放大器，再由功率放大器產(chǎn)生控制電流來使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定到給定位置。控制流程如圖2所示。圖2. 模態(tài)解耦控制流程圖下面討論模態(tài)解耦控制器的具體設(shè)計(jì)過程及其數(shù)學(xué)表達(dá)式。如式(9)所示，若，即A及B電磁軸承到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不同，則

12、負(fù)剛度矩陣不是對(duì)角矩陣，這樣會(huì)削弱模態(tài)解耦的效果。從物理意義上來看，轉(zhuǎn)子質(zhì)心產(chǎn)生一個(gè)平移后，會(huì)在該平面上兩端軸承位置處產(chǎn)生同樣大小的電磁力，若為不對(duì)稱軸承，相對(duì)于質(zhì)心c會(huì)產(chǎn)生非零力矩，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)也為了使PD控制器的比例和微分參數(shù)能更直接的作用于各模態(tài)剛度，需要對(duì)負(fù)剛度進(jìn)行補(bǔ)償。 如果將輸入功放的電流信號(hào)分為模態(tài)解耦控制器輸出的電流信號(hào)和負(fù)剛度補(bǔ)償電流信號(hào)兩部分，則控制器輸入給功率放大器的電流信號(hào)i為 (10)將式(10)式代入式(8)式可得 (11)由式(11)可知，要對(duì)負(fù)剛度進(jìn)行補(bǔ)償，必須要滿足。由于傳感器相對(duì)質(zhì)心的位置已知，故可寫出變換矩陣為 (12)由此可得到，因此的表達(dá)式為

13、 (13)下面來討論模態(tài)解耦控制器輸出的電流信號(hào)的表達(dá)式。對(duì)控制器的輸入端來講，傳統(tǒng)分散PD控制器輸出的電流信號(hào)為 (14)其中，為比例系數(shù)矩陣，為微分系數(shù)矩陣。傳統(tǒng)分散PD控制器的輸入端是傳感器坐標(biāo)系信號(hào)、及，其與質(zhì)心坐標(biāo)系坐標(biāo)、及之間的關(guān)系為 (15)其中為上下傳感器之間的距離。由式(15)可知，控制器中任意一個(gè)控制通道輸入的改變都會(huì)造成轉(zhuǎn)子質(zhì)心處轉(zhuǎn)動(dòng)角度和平動(dòng)位移的改變，這使得轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)在輸入端就相互耦合。故應(yīng)將傳感器坐標(biāo)系的坐標(biāo)、及轉(zhuǎn)化為質(zhì)心坐標(biāo)系的坐標(biāo)、及，即將矩陣轉(zhuǎn)化為矩陣。由前面推導(dǎo)可知，即在傳感器和PD控制器之前再加上一個(gè)關(guān)系矩陣為的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。從物理意義來說，就是實(shí)

14、現(xiàn)了PD控制算法對(duì)各模態(tài)偏移信號(hào)的直接調(diào)節(jié)。對(duì)輸出端來講，矩陣和的乘積的表達(dá)式為 (16)可見，由于不是對(duì)角矩陣，所以中存在著轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)之間的耦合。為了使轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)在輸出端解耦，同樣需要在輸出路徑上設(shè)置一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣使得變?yōu)橐粋€(gè)對(duì)角矩陣。這種對(duì)角矩陣的選擇有多種形式，本文令，由此可得 (17)從物理意義上來看，經(jīng)過輸入端解耦后，控制算法可直接對(duì)轉(zhuǎn)子各模態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié)，但此時(shí)輸出的控制信號(hào)作用對(duì)象是轉(zhuǎn)子的質(zhì)心處，即轉(zhuǎn)子穩(wěn)定所需的信號(hào)，并不是二個(gè)徑向軸承所需產(chǎn)生的電磁力信號(hào)。所以必須設(shè)置一個(gè)轉(zhuǎn)換模塊，將力矩信號(hào)轉(zhuǎn)化為電磁軸承的電磁力信號(hào)。由此便實(shí)現(xiàn)了控制器輸入端和輸出端的解耦，最后得到P

15、D控制器的電流指令信號(hào)為 (18)結(jié)合式(10)、式(13)及式(18)可得 (19)將式(19)代入式(8)可得 (20) (21) (22)其中,及分別為轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道中的比例和微分系數(shù)，及分別為平動(dòng)模態(tài)控制通道中的比例和微分系數(shù)。由式(20)-(22)可知，平動(dòng)模態(tài)和轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道已經(jīng)相互獨(dú)立，這樣就可以分別通過改變、及來調(diào)整各模態(tài)的剛度和阻尼。另外還可以看出，此時(shí)陀螺矩陣G只對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道產(chǎn)生耦合影響，對(duì)平動(dòng)模態(tài)控制通道沒有任何影響，陀螺耦合效應(yīng)明顯降低。這樣在控制器帶寬設(shè)計(jì)方面也可以有不同的考慮，如平動(dòng)模態(tài)控制通道可以設(shè)計(jì)較低帶寬的控制器以降低噪聲干擾，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道則由于

16、轉(zhuǎn)速高時(shí)章動(dòng)模態(tài)頻率很高，需要設(shè)計(jì)較高帶寬的控制器以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。模態(tài)解耦控制還為其它先進(jìn)控制算法提供了一個(gè)很好的平臺(tái)。為了進(jìn)一步改善系統(tǒng)性能，可以在模態(tài)解耦控制的基礎(chǔ)上用先進(jìn)控制算法代替PD控制器。這里我們簡(jiǎn)要分析交叉解耦的方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道進(jìn)行解耦，此時(shí)控制器的平動(dòng)模態(tài)控制通道保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道的輸出有所改變。由于在實(shí)際系統(tǒng)中并不能百分之百補(bǔ)償，故用一個(gè)系數(shù)來進(jìn)行調(diào)節(jié)，則轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道的表達(dá)式為 (23) (24)3 電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性下面我們通過具體的算例來對(duì)電磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子模態(tài)特性進(jìn)行分析。首先對(duì)傳統(tǒng)分散PD控制器下的飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)進(jìn)行分析，設(shè)其

17、控制算法為 (25)其中，為各通道的比例增益系數(shù)矩陣，為各通道的微分增益系數(shù)矩陣，為傳感器坐標(biāo)系的坐標(biāo)。將式(25)及式(12)代入式(8)可得 (26)移項(xiàng)得 (27)令，可得 (28)由式(28)可以看出，和分別為分散PD控制器所提供的剛度和阻尼。為了產(chǎn)生位于虛軸的閉環(huán)特征值，剛度矩陣必須足夠大以補(bǔ)償負(fù)軸承剛度矩陣，并使系統(tǒng)擁有足夠的剛度以保持穩(wěn)定。阻尼矩陣可以使系統(tǒng)成為漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng)，即讓閉環(huán)特征值全部位于復(fù)平面的左半邊。令狀態(tài)變量，輸入u為不平衡力向量，輸出，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 (29)其中，為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，為輸入矩陣，為輸出矩陣。由矩陣A的階數(shù)可知，該狀態(tài)方程中有八個(gè)特征值及八個(gè)特征

18、模態(tài)。但是，由于轉(zhuǎn)子關(guān)于軸向?qū)ΨQ，兩個(gè)方向上的模態(tài)重合，只有四對(duì)特征值及四個(gè)特征模態(tài)。另外，在矩陣A中的陀螺力矩G是隨轉(zhuǎn)速變化的，這也意味著系統(tǒng)某些特征值也可能會(huì)隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。對(duì)稱剛性陀螺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征轉(zhuǎn)速的變化如圖3所示，其中粗實(shí)線為同步振動(dòng)頻率。結(jié)果表明，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在著轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)兩種模態(tài)。平動(dòng)模態(tài)描述轉(zhuǎn)子的質(zhì)心在x或y方向的移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸不存在任何的傾斜，如圖3上細(xì)實(shí)線所示，該模態(tài)頻率不隨轉(zhuǎn)速變化，即它不受陀螺效應(yīng)的影響。轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)描述轉(zhuǎn)子圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心不存在任何的位移，如圖3上兩條虛線所示，該模態(tài)受陀螺效應(yīng)影響而分解為兩個(gè)隨轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)完全不同的模態(tài)，稱為章動(dòng)模態(tài)和進(jìn)動(dòng)模態(tài)。章

19、動(dòng)模態(tài)進(jìn)動(dòng)的方向方向是與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，為正進(jìn)動(dòng)模態(tài)；而進(jìn)動(dòng)模態(tài)進(jìn)動(dòng)的方向是與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，為反進(jìn)動(dòng)模態(tài)。章動(dòng)模態(tài)的頻率隨著轉(zhuǎn)速的升高不斷增大，在高速下與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)同步頻率之比接近于轉(zhuǎn)子與的之比。進(jìn)動(dòng)模態(tài)的頻率隨著轉(zhuǎn)速的升高不斷下降，在高速下趨向于0。理論上，章動(dòng)頻率和進(jìn)動(dòng)頻率的乘積不隨轉(zhuǎn)速變化。因此，我們可以在零轉(zhuǎn)速下測(cè)得章動(dòng)頻率和進(jìn)動(dòng)頻率的乘積，然后利用章動(dòng)頻率和進(jìn)動(dòng)頻率的乘積在其他轉(zhuǎn)速下保持不變的特性，來對(duì)各轉(zhuǎn)速下的模態(tài)頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)。圖3. 對(duì)稱剛性轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線為了進(jìn)一步分析飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性，圖4給出了系統(tǒng)特征值隨轉(zhuǎn)速變化的曲線。其中橫軸為特征值實(shí)部，虛軸為特

20、征值虛部。特征值的實(shí)部表示模態(tài)的幅值按指數(shù)形式衰減或增大的快慢，特征值的虛部則表示模態(tài)的振動(dòng)頻率。圖中四個(gè)圓圈表示飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜止時(shí)的特征模態(tài)?？梢?，隨著轉(zhuǎn)速的增加，章動(dòng)模態(tài)(實(shí)線)呈上升趨勢(shì)，進(jìn)動(dòng)模態(tài)(虛線)呈下降趨勢(shì)，另外兩個(gè)保持不變的是平動(dòng)模態(tài)。在高速下章動(dòng)模態(tài)的頻率很高，受到系統(tǒng)時(shí)間延遲的影響后可能會(huì)使系統(tǒng)失穩(wěn)。另外，由于高速下進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率和阻尼都趨于0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性減弱，這樣當(dāng)控制器包含積分環(huán)節(jié)時(shí)，如果低頻段的相位超前難以保證，當(dāng)進(jìn)動(dòng)頻率最終進(jìn)入積分參數(shù)起作用的范圍后，進(jìn)動(dòng)會(huì)造成系統(tǒng)失穩(wěn)。圖4. 對(duì)稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值隨轉(zhuǎn)速的變化曲線由前面分析可知，對(duì)轉(zhuǎn)子章動(dòng)模態(tài)的剛度(即頻率)以

21、及進(jìn)動(dòng)模態(tài)的阻尼進(jìn)行調(diào)節(jié)是非常必要的。由于模態(tài)剛度和阻尼的調(diào)節(jié)方法類似，下面僅以對(duì)模態(tài)剛度的調(diào)節(jié)為例進(jìn)行說明。由模態(tài)頻率的分析可知，我們可以通過確定零轉(zhuǎn)速下飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)的頻率來大致確定飛輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各模態(tài)頻率的變化曲線。首先，分析傳統(tǒng)PD控制器和模態(tài)解耦控制器在零轉(zhuǎn)速下各模態(tài)頻率隨比例增益的變化情況。圖5為在零轉(zhuǎn)速下傳統(tǒng)分散PD控制的比例增益參數(shù)P從5000變到30000，微分增益保持不變時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)(實(shí)線)及平動(dòng)模態(tài)(虛線)頻率的變化情況?？梢钥闯觯D(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)頻率都隨著比例增益P的增大而增大。尤其是在轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率還是0的時(shí)候，平動(dòng)模態(tài)頻率就已經(jīng)達(dá)到150 Hz左右，這樣

22、就很難使其調(diào)節(jié)到理想的模態(tài)頻率值。從上面的模態(tài)分析可以看出，傳統(tǒng)分散PD控制不能直接對(duì)各模態(tài)的剛度和阻尼進(jìn)行單獨(dú)調(diào)節(jié)，故基于傳統(tǒng)分散PD控制的先進(jìn)控制算法都有其局限性。圖5. 零轉(zhuǎn)速下傳統(tǒng)PD控制比例參數(shù)P對(duì)各模態(tài)頻率的影響其次，分析在模態(tài)解耦控制下，對(duì)零轉(zhuǎn)速下飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各模態(tài)頻率的調(diào)節(jié)能力。圖6及圖7分別為在其它控制參數(shù)保持不變情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)(實(shí)線)及平動(dòng)模態(tài)(虛線)頻率隨轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道比例增益參數(shù)及平動(dòng)模態(tài)控制通道比例增益參數(shù)的變化情況。可見，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道比例增益參數(shù)的增大，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率持續(xù)增大，而平動(dòng)模態(tài)頻率始終保持不變。隨著平動(dòng)模態(tài)控制通道比例增益參數(shù)的增大，只有平動(dòng)模態(tài)頻

23、率隨之增大，而轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)頻率始終保持不變。這樣，轉(zhuǎn)動(dòng)及平動(dòng)兩種模態(tài)的控制通道是完全相互獨(dú)立，可以通過調(diào)節(jié)各自控制器的比例增益的大小來對(duì)其模態(tài)頻率進(jìn)行調(diào)節(jié)。圖6. 零轉(zhuǎn)速下模態(tài)解耦控制器轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道比例參數(shù)對(duì)各模態(tài)頻率的影響圖7. 零轉(zhuǎn)速下模態(tài)解耦控制平動(dòng)模態(tài)控制通道比例參數(shù)對(duì)各模態(tài)頻率的影響4 模態(tài)解耦控制系統(tǒng)性能分析下面對(duì)模態(tài)解耦控制的有效性利用進(jìn)行仿真。仿真中飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù)來源于實(shí)際電磁懸浮飛輪實(shí)驗(yàn)裝置，具體參數(shù)為，m=25.8 kg，Jz=0.1151 kgm2，J=0.2388 kgm2，m，m， N/m，ki=37.7 N/A，m。不同控制方式下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動(dòng)模態(tài)的控制性能相

24、差不大，而模態(tài)解耦控制憑借對(duì)模態(tài)剛度和阻尼良好的調(diào)節(jié)能力，對(duì)高速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)有更好的控制性能，這里著重討論對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)的控制問題。首先，按照實(shí)際應(yīng)用中剛度和阻尼的數(shù)量級(jí)對(duì)傳統(tǒng)PD控制器的比例增益和微分增益進(jìn)行調(diào)節(jié)。然后，按照所需的各模態(tài)剛度和阻尼對(duì)模態(tài)解耦控制器各參數(shù)分別進(jìn)行調(diào)節(jié)。這里主要考慮降低高速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的章動(dòng)模態(tài)頻率和提高高速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼。調(diào)節(jié)完畢后，在轉(zhuǎn)速為60000 rpm下，分別對(duì)傳統(tǒng)分散PD控制和模態(tài)解耦控制策略給定同樣的初始狀態(tài)偏差，觀察模態(tài)量能否快速收斂并保持穩(wěn)定。設(shè)定質(zhì)心坐標(biāo)和初始值為0.001，即軸承坐標(biāo)。圖8及圖9表示傳統(tǒng)分散PD控制方法在高速下可以

25、使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，但十分緩慢，在實(shí)際系統(tǒng)中由于時(shí)間延遲作用容易使系統(tǒng)失穩(wěn)。圖10及11表示模態(tài)解耦控制高速下可以使系統(tǒng)快速收斂并保持穩(wěn)定?？芍B(tài)解耦控制可以有效的改善系統(tǒng)高速下的動(dòng)態(tài)特性。 (a) 轉(zhuǎn)子A端的運(yùn)動(dòng)軌跡 (b) 轉(zhuǎn)子B端的運(yùn)動(dòng)軌跡圖8. 傳統(tǒng)分散PD控制時(shí)轉(zhuǎn)子兩端的運(yùn)動(dòng)軌跡圖9. 傳統(tǒng)分散PD控制時(shí)轉(zhuǎn)子在傳感器位置處的位移圖(a) 轉(zhuǎn)子在A端的運(yùn)動(dòng)軌跡 (b) 轉(zhuǎn)子在B端的運(yùn)動(dòng)軌跡圖10. 模態(tài)解耦控制時(shí)在傳感器位置處的運(yùn)動(dòng)軌跡圖11. 模態(tài)解耦控制時(shí)轉(zhuǎn)子在傳感器位置處的位移圖接下來對(duì)兩種控制方式下磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)抗干擾能力進(jìn)行仿真分析，轉(zhuǎn)速依舊設(shè)為60000 rpm。將轉(zhuǎn)子

26、A端x方向傳感器輸出的位移信號(hào)加上一個(gè)階躍干擾信號(hào)后再輸入控制器。階躍干擾信號(hào)跳變時(shí)間設(shè)為0.4 s，終值為0.00025。由于兩種控制方式控制器中都沒有積分環(huán)節(jié)，故轉(zhuǎn)子A端x方向最后應(yīng)該穩(wěn)定在位移為-0.00025 mm處，其它方向還是穩(wěn)定在位移為0 mm處。圖12及圖13為使用傳統(tǒng)分散PD控制方法時(shí)系統(tǒng)對(duì)階躍干擾信號(hào)的響應(yīng)。可知傳統(tǒng)分散PD控制方法可以使高速下受到干擾的系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定，但所需時(shí)間較長(zhǎng)，且轉(zhuǎn)子振動(dòng)較大，在實(shí)際系統(tǒng)中由于時(shí)間延遲作用容易使系統(tǒng)失穩(wěn)。圖14及圖15為使用模態(tài)解耦控制方法時(shí)系統(tǒng)對(duì)階躍干擾信號(hào)的響應(yīng)。可知，模態(tài)解耦控制方法可使在高速下受到干擾的系統(tǒng)快速地穩(wěn)定在給定位

27、置，且振動(dòng)很小?？芍B(tài)解耦控制方法比傳統(tǒng)分散PD控制方法有更強(qiáng)的抗干擾能力。(a) 轉(zhuǎn)子A端的運(yùn)動(dòng)軌跡 (b) 轉(zhuǎn)子B端的運(yùn)動(dòng)軌跡圖12. 傳統(tǒng)分散PD控制時(shí)轉(zhuǎn)子在傳感器位置處的運(yùn)動(dòng)軌跡圖13. 傳統(tǒng)分散PD控制時(shí)轉(zhuǎn)子在傳感器位置處的位移圖(a) 轉(zhuǎn)子A端的運(yùn)動(dòng)軌跡 (b) 轉(zhuǎn)子B端的運(yùn)動(dòng)軌跡圖14. 模態(tài)解耦控制時(shí)轉(zhuǎn)子在傳感器位置處的運(yùn)動(dòng)軌跡圖15. 模態(tài)解耦控制時(shí)轉(zhuǎn)子在在傳感器位置處的位移圖5 結(jié)論本文從磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，提出了模態(tài)解耦控制方法，并和傳統(tǒng)分散PD控制方法進(jìn)行了比較。通過對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性分析可知，高速下過高的章動(dòng)模態(tài)頻率和過低的進(jìn)度模態(tài)頻率和阻尼都成為

28、影響系統(tǒng)穩(wěn)定的不利因素，需要對(duì)模態(tài)剛度和阻尼進(jìn)行有效的調(diào)節(jié)。但是，傳統(tǒng)PD控制策略存在轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)和平動(dòng)模態(tài)之間嚴(yán)重耦合，不能對(duì)它們的剛度和阻尼單獨(dú)進(jìn)行調(diào)節(jié)的不足，導(dǎo)致了高速下傳統(tǒng)分散PD控制策略動(dòng)態(tài)性能較差。而在模態(tài)解耦控制策略下，轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)控制通道和平動(dòng)模態(tài)控制通道是相互獨(dú)立的，這樣就可以分別調(diào)節(jié)兩個(gè)通道的參數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)各模態(tài)的剛度和阻尼的獨(dú)立調(diào)節(jié)。仿真結(jié)果表明，模態(tài)解耦控制相比傳統(tǒng)分散PD控制有更好的動(dòng)態(tài)性能和更強(qiáng)的抗干擾能力，在高速下可以更快的收斂并保持穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)：1施韋策G, 布魯勒H, 特拉克斯勒A. 主動(dòng)磁軸承基礎(chǔ)、性能及應(yīng)用M. 北京: 新時(shí)代出版社, 1997.2Ahrens M

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