2022屆甘肅省甘谷縣高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1集合中含有的元素個(gè)數(shù)為（ ）A4B6C8D122 “完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子

2、（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（ ）ABCD3已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4如果，那么下列不等式成立的是（ ）ABCD5在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是26.7，天狼

3、星的星等是1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.16曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為（ ）A3B2CD17關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A函數(shù)的定義域?yàn)锽函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像8已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）ABC0D9在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（ ）AB6C4D510已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn)，若， 則雙曲線的離心率為()ABC4D211已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則ABCD12已知點(diǎn)，是函數(shù)的函

4、數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則( )A，b為任意非零實(shí)數(shù)B，a為任意非零實(shí)數(shù)Ca、b均為任意實(shí)數(shù)D不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和.若，且與的等差中項(xiàng)為，則_.14已知復(fù)數(shù)z112i，z2a+2i（其中i是虛數(shù)單位，aR），若z1z2是純虛數(shù)，則a的值為_15已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_.16某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1 000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1 000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)?50，400)內(nèi)的學(xué)

5、生共有_人三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四棱錐中，平面，.（）證明：；（）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).18（12分）已知在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosBb+cosCc=23sinA3sinC. （1）求b的值；（2）若cosB+3sinB=2,求a+c的取值范圍.19（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積20（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為

6、正數(shù)，為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的滿足關(guān)系式.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的正數(shù)n，總有.21（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點(diǎn)（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值22（10分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元（），運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）

7、.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請(qǐng)分別寫出、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】解：因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B2C【解析】先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組

8、，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.3C【解析】先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域?yàn)榛?，（且?令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4D【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】，.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要

9、考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.6A【解析】根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.7B【解析】化簡(jiǎn)到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得

10、到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8C【解析】先畫出函數(shù)圖像和圓，可知，若設(shè)，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設(shè)圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設(shè)，則，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為，設(shè)，則，設(shè)，記，則，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故選：C

11、【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.9D【解析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】由題意故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵10D【解析】設(shè)，根據(jù)可得，再根據(jù)又，由可得，化簡(jiǎn)可得，即可求出離心率【詳解】解：設(shè)，即，又，由可得，即，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查了斜率的計(jì)算，離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題11B【解析】因?yàn)?，所以，故選B12A【解析】求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的

12、切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出和的值，進(jìn)而可求得和的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由于與的等差中項(xiàng)為，則，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14-1【解析】由題意，令即可得解.【詳解】z112i，z2a+2i，又z1z2是純虛數(shù)，解得：a1故答案為：1【點(diǎn)

13、睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】由，為正實(shí)數(shù)，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解：，為正實(shí)數(shù)，且，可知，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16750【解析】因?yàn)?.001+0.001+0.004+a+0.005+0.00350=1，得a=0.006，所以10000.004+0.006+0.00550=750。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17（）見解析；（）【解析】（）取的中點(diǎn)，連接，由，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定

14、定理證明.（）設(shè)，則，在底面中，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（）取的中點(diǎn)，連接，由，得三點(diǎn)共線，且，又，所以平面，所以.（）設(shè)，在底面中，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以 ，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18（1）b=32（2）a+c(32,3【解

15、析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉(zhuǎn)化為ac，于是可以求出b的值；（2）首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值，根據(jù)第（1）問得到的b值，可以運(yùn)用正弦定理求出ABC外接圓半徑R，于是可以將a+c轉(zhuǎn)化為2RsinA+2RsinC，又因?yàn)榻荁的值已經(jīng)得到，所以將2RsinA+2RsinC轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外本問也可以在求出角B的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式a2+c22ac，求出a+c的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注意到三角形兩邊

16、之和大于第三邊這一條件. 試題解析：（1）由cosBb+cosCc=23sinA3sinC，應(yīng)用余弦定理，可得a2+c2-b22abc+a2+b2-c22abc=23a3c 化簡(jiǎn)得2b=3則b=32 （2） cosB+3sinB=212cosB+32sinB=1即sin(6+B)=1 B(0,) B+6=2 所以B=3 法一. 2R=bsinB=1,則a+c=sinA+sinC =sinA+sin(23-A) =32sinA+32cosA =3sin(A+6) 又0A23, 32b=32綜上a+c(32,3考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.19（1）（2）【解

17、析】（1）先消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯(lián)立，得，求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，再求的面積.【詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線的極坐標(biāo)方程為（2）由，得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極分別為，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離所以【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)公式得到，計(jì)算得到答案.（2），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到，得到證明.【詳解】（1）由已知得時(shí)，故.故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比.又當(dāng)時(shí)，.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和

18、證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.21 (1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用 即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即， 直線的普通方程為. (2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)、整理，得. 因?yàn)橹本€與曲線交于，兩點(diǎn)所以，解得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得，. 因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，在直線上.所以， 解得，此時(shí)滿足.且，故.【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極