中考復(fù)習(xí)之——_定值問題

1、 無錫市華莊中學(xué)九年級第二輪專題訓(xùn)練講學(xué)稿 主備：李維明PAGE PAGE 8定值問題引例：如圖，在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線yx于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N.（1）當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線yx上時，求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）；（2）設(shè)MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論.專題精講：幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系

2、不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明求定值是幾何題中頗有難度的一類問題，由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法 典型例題剖析:形成圖形尋“定”等腰ABC中，ABAC5，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，過P作PEAC交AB于E，過P作PFAB交AC于F，則PEPF是一個定值嗎？若點(diǎn)P在BC的延長線上又如何？解題方法尋“定”等腰三角形ABC中， ABAC5，底邊BC6，P為BC上一動點(diǎn)，過P作PEAB于E，PFAC于F，則PE

3、PF還是定值嗎？若是，那么是多少？若點(diǎn)P在BC的延長線上又如何？變式1已知矩形ABCD，AB4，BC3，對角線AC、BD交于O，過AB上任意的一點(diǎn)E作EMAO，ENBO，垂足分別是M和N，求EMEN的值變式2已知P為邊長為a的等邊ABC內(nèi)任意一動點(diǎn)， P到三邊的距離分別為h1，h2，h3，則P到三邊的距離之和是否為定值？若點(diǎn)P為ABC形外一點(diǎn)又如何？已知條件尋“定”如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊AOB，點(diǎn)C在x的正半軸上，且OC1，連接BC，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊CBD當(dāng)點(diǎn)C沿x軸向右移動時，直線DA交y軸于點(diǎn)P， 求點(diǎn)P坐標(biāo)變式1如圖，

4、點(diǎn)C是線段AB上的一個動點(diǎn)，ACD和BCE是在AB同側(cè)的兩個等邊三角形，DM，EN分別是ACD和BCE的高，點(diǎn)C在線段AB上沿著從點(diǎn)A向點(diǎn)B的方向移動（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，得到四邊形DMNE這個四邊形的面積變化情況為 基本圖形尋“定”1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是反比例函數(shù)y eq f(k,x)（x0）圖象上一點(diǎn)，作ABx軸于B點(diǎn)，ACy軸于C點(diǎn)，得正方形OBAC的面積為16（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P（m， eq f(16,3)）是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，請問：是否存在一條過P點(diǎn)的直線l與y軸正半軸交于D點(diǎn)，使得BDPC？若存在，請求出直線l的解析式；若不存

5、在，請說明理由；（3）連BC，將直線BC沿x軸平移，交y軸正半軸于D，交x軸正半軸于E點(diǎn)（如圖所示），DQy軸交雙曲線于Q點(diǎn)，QFx軸于F點(diǎn)，交DE于H，M是EH的中點(diǎn)，連接QM、OM下列結(jié)論：QM+OM的值不變； eq f(QM,OM)的值不變可以證明，其中有且只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值2如圖，已知動點(diǎn)P在函數(shù)y eq f(1,2x)（x0）的圖象上運(yùn)動，PMx軸于點(diǎn)M，PNy軸于點(diǎn)N，線段PM、PN分別與直線AB：yx1交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則AFBE的值為 變式：點(diǎn)P是反比例函數(shù)y eq f(1,2x)在第一象限內(nèi)的圖像上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)x0滿足0 x01過點(diǎn)P作兩個坐標(biāo)軸的垂線P

6、M、PN，PM、PN分別交一次函數(shù)y1x的圖像于點(diǎn)E、F試求EOF(O為原點(diǎn))3如圖，一次函數(shù)yaxb與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y eq f(k,x)相交于C，D兩點(diǎn)，分別過C，D兩點(diǎn)作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE，EF有下列四個結(jié)論：CEF與DEF的面積相等；AOBFOE；DCECDF；AC=BD其中正確的結(jié)論 旋轉(zhuǎn)變化尋“定”1如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值2把兩個邊長都等于4的等邊三角形拼成

7、菱形ABCD（如下圖）有一個含60角的三角尺，使三角尺的60角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合（1）將三角尺繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時（如圖1），通過觀察或測量AE，AF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AECF的周長是否發(fā)生變化？如果沒有變化，請說明理由；如果有變化，請求出周長的最小值；（3）若將（1）中三角尺的60角的頂點(diǎn)P在AC上移動且與點(diǎn)A、C都不重合，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時（如圖3），那么PE、PF之間又有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論變式1：如圖1，將菱形紙

8、片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD與ECF疊放在一起（1）操作：如圖2，將ECF的頂點(diǎn)F固定在ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）求證：BHGD=BF2（2）操作：如圖3，ECF的頂點(diǎn)F在ABD的BD邊上滑動（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AGCE，交FE于點(diǎn)G，連接DG探究：FD+DG 請予證明變式2：ABC和DBE是繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的兩個相似三角形，其中ABC與DBE、A與D為對應(yīng)角（1）如圖1，若ABC和DBE分

9、別是以ABC與DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉(zhuǎn)到使點(diǎn)B、C、D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關(guān)系；（2）若ABC和DBE為含有30角的直角三角形，且兩個三角形旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，試確定線段AD與線段EC的關(guān)系，并說明理由；（3）若ABC和DBE為如圖3的兩個三角形，且ACB，BDE，在繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AD與EC夾角的度數(shù)是否改變？若不改變，直接用含、的式子表示夾角的度數(shù)；若改變，請說明理由變式3：如圖1、2是兩個相似比為1：2的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合（1）在圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角

10、形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖4求證：AE2+BF2=EF2；圖1 圖2 圖3圖4 圖5 圖6（2）若在圖3中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點(diǎn)E、F，如圖5，此時結(jié)論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由（3）如圖6，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，滿足CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，AE、AF分別與對角線BD交于M、N，試問線段BM、MN、DN能否構(gòu)成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請說明理由對稱圖形尋“定”設(shè)AB為O的直徑，動弦CD與AB成45角，與AB交于點(diǎn)P點(diǎn)則PC2+PD2的值變式：如圖，在直角坐標(biāo)系中，O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑AB8，點(diǎn)P是直徑AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P的直線PQ的解析式為yxm，當(dāng)直線PQ交y軸于Q，交O于C、D兩點(diǎn)時，過點(diǎn)C作CE垂直于x軸交O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG垂直于y軸，垂足為G，過點(diǎn)C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE（1）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，CPB= ；（2）當(dāng)m3時，試求矩形CEGF的面積；（3）當(dāng)P在運(yùn)動過程中，探索PD2PC2的值是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請你說明理由；如果不發(fā)生變化，請