斐波那契數(shù)列畢業(yè)論文斐波那契數(shù)列的應(yīng)用本科論文

1、WORD20/24X X X X2012屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）設(shè)計(jì)（論文）題目 斐波那契數(shù)列的研究子課題題目姓 名 XXX 學(xué) 號(hào) XXX 所 屬 系 XXX 專業(yè)年級(jí) XXX 指導(dǎo)教師 XXX 2012 年 05 月摘要斐波那契數(shù)列自問(wèn)世以來(lái),不斷顯示出它在數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用上的重要作用。而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、生物、交通、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用這個(gè)數(shù)列既是數(shù)學(xué)美的完美體現(xiàn)又與許多數(shù)學(xué)概念有著密切的聯(lián)系，很多看上去似乎彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念，通過(guò)斐波那契數(shù)列，人們發(fā)現(xiàn)了其中的數(shù)學(xué)聯(lián)系從而進(jìn)一步激發(fā)了人們探索數(shù)學(xué)的興趣對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知更加系統(tǒng)化。因此對(duì)斐波那契數(shù)列的研究是一項(xiàng)非常重要的研究，

2、它不僅能給各個(gè)學(xué)科帶來(lái)很好的用處，它也會(huì)對(duì)我們的生活產(chǎn)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的影響，斐波那契數(shù)列的前景是不可估量的。關(guān)鍵詞：斐波那契數(shù)列 黃金分割 斐波那契數(shù)列在生活中的應(yīng)用AbstractFibonacci sequence since its advent, continuously demonstrated its important role in mathematical theory and applications. And Fibonacci slope is satisfied that lease series in modern physical, and quasi crystal s

3、tructure, and bio, and traffic, and chemical, area are has directly of application. this series is mathematics us of perfect reflected. and and many mathematics concept has close of contact, many looks seems to each other independent of mathematics concept, by Fibonacci wave that lease series, peopl

4、e found has which of mathematics contact. to further fired has people exploration mathematics of interest. on mathematics of cognitive more systematic. On the study of the Fibonacci sequence is a very important study, it can bring to all disciplines very well not only useful, it will have a long-ter

5、m impact on our lives and prospects of the Fibonacci sequence are incalculable.Keywords: Fibonacci series The golden section Application of the Fibonacci sequence in the life目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc325016211第一章斐波那契數(shù)列1HYPERLINK l _Toc3250162121.1 斐波那契 PAGEREF _Toc325016212 h 1HYPERLINK l

6、_Toc3250162131.2斐波那契數(shù)列的引入兔子問(wèn)題 PAGEREF _Toc325016213 h 1HYPERLINK l _Toc3250162141.3斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的若干推導(dǎo) PAGEREF _Toc325016214 h 3HYPERLINK l _Toc3250162151.4斐波那契數(shù)列性質(zhì)與其簡(jiǎn)單證明 PAGEREF _Toc325016215 h 8HYPERLINK l _Toc3250162161.5人體中與斐波那契數(shù)列有關(guān)的知識(shí) PAGEREF _Toc325016216 h 9HYPERLINK l _Toc325016217第二章斐波那契數(shù)列與黃金分割

7、 PAGEREF _Toc325016217 h 11HYPERLINK l _Toc3250162182.1 何為黃金分割與黃金分割數(shù) PAGEREF _Toc325016218 h 11HYPERLINK l _Toc3250162192.2 二者之間的聯(lián)系 PAGEREF _Toc325016219 h 12HYPERLINK l _Toc3250162202.3 黃金分割律在股市中的運(yùn)用 PAGEREF _Toc325016220 h 12HYPERLINK l _Toc325016221第三章斐波那契數(shù)列在生活中應(yīng)用 PAGEREF _Toc325016221 h 14HYPERLI

8、NK l _Toc3250162223.1斐波那契數(shù)列在幾何上的應(yīng)用 PAGEREF _Toc325016222 h 14HYPERLINK l _Toc3250162233.2斐波那契數(shù)列在城市交通道路規(guī)劃上的應(yīng)用 PAGEREF _Toc325016223 h 14HYPERLINK l _Toc3250162243.3斐波那契數(shù)列在生物學(xué)上的應(yīng)用 PAGEREF _Toc325016224 h 15HYPERLINK l _Toc325016225第四章小結(jié) PAGEREF _Toc325016225 h 17HYPERLINK l _Toc325016226參考文獻(xiàn)： PAGEREF

9、_Toc325016226 h 18HYPERLINK l _Toc325016227辭 PAGEREF _Toc325016227 h 19第一章 斐波那契數(shù)列這一章主要講的是斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，產(chǎn)生的背景，人們對(duì)他的一些認(rèn)識(shí)和研究，以與它的一些主要性質(zhì)。1.1 斐波那契數(shù)學(xué)家HYPERLINK :/baike.baidu /view/1108082.htm t _blank列昂納多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契HYPERLINK :/baike.baidu /view/39749.htm t _blank數(shù)列的發(fā)明者。籍貫

10、大概是HYPERLINK :/baike.baidu /view/69954.htm t _blank比薩，HYPERLINK :/baike.baidu /view/3784.htm t _blank因此，他被人稱作“比薩的列昂納多”。他于1202年，HYPERLINK :/baike.baidu /view/89726.htm t _blank撰寫了珠算原理（Liber Abacci）一書。據(jù)史料記載，他是第一個(gè)研究HYPERLINK :/baike.baidu /view/2174.htm t _blank印度和HYPERLINK :/baike.baidu /view/96268.ht

11、m t _blank阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的HYPERLINK :/baike.baidu /view/3622.htm t _blank歐洲人。他的父親在斐波那契小的時(shí)候被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐的地點(diǎn)相當(dāng)于今日的HYPERLINK :/baike.baidu /view/10991.htm t _blank阿爾與利亞地區(qū)，斐波那契因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在HYPERLINK :/baike.baidu /view/4387.htm t _blank埃與、HYPERLINK :/baike.baidu /view/7851.htm t _blank敘利亞、HYP

12、ERLINK :/baike.baidu /view/6744.htm t _blank希臘、HYPERLINK :/baike.baidu /view/58383.htm t _blank西西里和HYPERLINK :/baike.baidu /view/16831.htm t _blank普羅旺斯研究HYPERLINK :/baike.baidu /view/1284.htm t _blank數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列的引入兔子問(wèn)題問(wèn)題是這樣導(dǎo)入的：假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開(kāi)始，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢?(假設(shè)所有兔子都健康成長(zhǎng)，中

13、途不死掉) 兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來(lái)。如果所有兔子都不死，那么新出生的一對(duì)小兔子一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子?圖一表示兔子的繁殖規(guī)律，黑點(diǎn)表示一對(duì)小兔子，紅點(diǎn)表示一對(duì)大兔子，黑線表示一對(duì)小兔子長(zhǎng)大成為一對(duì)大兔子或者表示一對(duì)大兔子生出一對(duì)小兔子（如圖1）：則由第一個(gè)月到第十二個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，這個(gè)數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。所以斐波那契數(shù)列的定義為：數(shù)列滿足 ;則稱此數(shù)列為斐波那契（Fibonacci）數(shù)列很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式

14、居然是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。它的通項(xiàng)公式為：斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。又或者，斐波那契數(shù)列還可以由生活中一個(gè)很有意思的例子來(lái)引入：走樓梯問(wèn)題。問(wèn)題是這么提出的：?jiǎn)栴}：某人可以一步登一個(gè)臺(tái)階，也可以一步登二個(gè)臺(tái)階，問(wèn)他登上n個(gè)臺(tái)階的方式又有多少種？解答：假設(shè)此人登上n臺(tái)階的方式有種。若第一步登了一階，則登上n階臺(tái)階的方式有種；若第一步登了二階，則登上n階臺(tái)階的方式有種，于是此時(shí)容易得到于是這是一個(gè)刪除了首項(xiàng)的斐波那契數(shù)列，所以 1.3斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的若干推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法 1 先求滿足遞推關(guān)系的等比數(shù)列，其中。于是（1）變形為 整理為用求

15、根公式可解得可見(jiàn)，滿足條件（1）的等比數(shù)列有兩個(gè)公比和如果等比數(shù)列滿足條件則公比為1，即不等于，因此不可能滿足條件（1）。但是，如果將滿足條件（1）的兩個(gè)等比數(shù)列與逐項(xiàng)相加得到數(shù)列= （2）則數(shù)列（2）仍滿足條件（1），如果能適當(dāng)選擇a，b使即 （3）則就符合斐波那契數(shù)列所滿足的所有條件。容易看出，滿足條件的斐波那契數(shù)列是唯一的。因此滿足條件（3）的a，b決定的數(shù)列（2）就是所求的斐波那契數(shù)列。 由于,所以可以將條件（3）看成以a，b為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得a=，b=從而.又由于，因此.所以這里得到了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法1的關(guān)鍵是：滿足條件（1）的兩個(gè)等比數(shù)列仍滿足條件（1）

16、（一般不再是等比數(shù)列），適當(dāng)選擇的前兩項(xiàng)都等于1。推導(dǎo)方法 2 初等代數(shù)法已知首先，構(gòu)建等比數(shù)列設(shè)化簡(jiǎn)得與式（1）比較系數(shù)可得：不妨設(shè)解得所以有，即為等比數(shù)列。求出等比數(shù)列由以上可得：變形得：。令求數(shù)列進(jìn)而得到設(shè)，解得。故數(shù)列為等比數(shù)列即 。而，故有又有和可得得出表達(dá)式至此，我們就推導(dǎo)出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。推導(dǎo)方法 3 大家都知道斐波那契數(shù)列的性質(zhì)是從第三項(xiàng)開(kāi)始，后面每一項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的和，即數(shù)列要滿足式（1）的條件，而式（1）屬于線性遞歸數(shù)列，此數(shù)列有其一般的表達(dá)式為：式（4）變形為：由于 因此：1.4斐波那契數(shù)列性質(zhì)與其簡(jiǎn)單證明性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5 性質(zhì)6 其中，n都

17、從0開(kāi)始取。性質(zhì)1的證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=,所以左邊=右邊。即n=1時(shí)，等式成立。假設(shè)n=k時(shí)，等式成立。即有 則當(dāng)n=k+1時(shí)，= = = = 即n=k+1，等式也成立 綜合（1）（2），對(duì)于所有正整數(shù)，均成立。 證必。其他的性質(zhì)，都可以利用數(shù)學(xué)歸納法，類似證明，此處不再贅述。除此之外，標(biāo)準(zhǔn)的斐波那契數(shù)列還有如下的一些著名性質(zhì)，他們大多數(shù)都難以證明。與之差為1；隨著數(shù)列繼續(xù)下去，此差交替地為正或負(fù)。兩個(gè)相鄰數(shù)的平方和。對(duì)于任何四個(gè)相鄰的數(shù)：下列公式成立：。斐波那契數(shù)列中每個(gè)數(shù)的最右一位數(shù)字鎖構(gòu)成的數(shù)列，每60個(gè)循環(huán)一次。最右兩位數(shù)字，每300個(gè)循環(huán)一次。最右三位數(shù)

18、字，每1500個(gè)循環(huán)一次。最右五位數(shù)字，每150 000個(gè)循環(huán)一次。并且，對(duì)于所有更多的位數(shù)，也有相應(yīng)的循環(huán)。每第三個(gè)數(shù)能用2整除，每第四個(gè)數(shù)能用3整除，每第五個(gè)數(shù)能用5整除，每第六個(gè)數(shù)能用8整除，等等。這些除數(shù)又構(gòu)成斐波那契數(shù)列。相鄰的斐波那契數(shù)列除1外無(wú)公因數(shù)。除了3以外，沒(méi)一個(gè)素?cái)?shù)的數(shù)有素?cái)?shù)為其腳碼（例如，233是素?cái)?shù)，它的腳碼13也是素?cái)?shù)）。另一方面，如果一個(gè)數(shù)的腳碼是合數(shù)，則該數(shù)也是合數(shù)。遺憾的是，反過(guò)來(lái)不全真：有素?cái)?shù)為其腳碼，未必意味著該數(shù)是素?cái)?shù)。第一個(gè)反例是，腳碼是素?cái)?shù)，但4181=37113非素?cái)?shù)。1.5人體中與斐波那契數(shù)列有關(guān)的知識(shí)人的身體的各種比例也暗合斐波那契數(shù)列，這從另

19、一個(gè)方面說(shuō)明了斐波那契數(shù)列的奇妙經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。人體各個(gè)地方的比例好多都符合黃金分割比或其倒數(shù)：腰以下長(zhǎng)度 / 身高 = 0.618腰以上長(zhǎng)度 / 腰以下長(zhǎng)度 = 0.618頸至腰長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 0.618頸以上長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 0.618身高 / 腰以下長(zhǎng)度 = 1.618腰以下長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 1.618腰以上長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 1.618頸至要腰長(zhǎng)度 / 頸以上長(zhǎng)度 = 1.618身高 / 腰以上長(zhǎng)度 = 2.618腰以下長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 2.618并且你對(duì)于自己的手臂了解多少頸以上長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 0.618

20、小臂長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 0.618小臂長(zhǎng)度 / 頸以上長(zhǎng)度 = 1.618腰以上長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 1.618腰以下長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 2.618第二章 斐波那契數(shù)列與黃金分割2.1 何為黃金分割與黃金分割數(shù)早在古希臘時(shí)代，那時(shí)的人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到0.618的神奇，并將其稱為黃金分割率。出于對(duì)這一數(shù)字的神奇與偏愛(ài)，它被廣泛應(yīng)用到建筑和繪畫等各個(gè)領(lǐng)域，從巴臺(tái)農(nóng)神廟到美國(guó)紐約的眾議院大樓，甚至于基督十字架的分割比例也由它來(lái)定義，黃金分割率已經(jīng)成為西方人追求外在美的在規(guī)則。與此同時(shí)，人們也逐漸認(rèn)識(shí)到黃金分割率廣泛存在于自然界中，幾乎無(wú)處不在。從花朵的圖案、棕櫚樹的葉子到肚臍對(duì)人體的分割。

21、下面我們來(lái)看看黃金分割是怎么定義的：一般地，設(shè)已知線段AB，若AB上的點(diǎn)C將AB分成兩段，使大段為全段和小段的比例中項(xiàng)。（如下圖2）即A=ABBC，則稱點(diǎn)C分線段AB成中外比。下面對(duì)分線段AB成中外比的分點(diǎn)進(jìn)行分析。圖2設(shè)有，解得 ，舍去負(fù)根，得則,這就是黃金分割比。而斐波那契數(shù)列前一項(xiàng)與后一項(xiàng)比的極限：這個(gè)就是黃金分割數(shù)。2.2 二者之間的聯(lián)系斐波那契數(shù)列在黃金分割被應(yīng)用了很久以后，1202年斐波那契出版了一本名為關(guān)于算盤的書。書中，他用了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題提出了斐波那契數(shù)列的概念。問(wèn)題就是咱們之前談到的兔子問(wèn)題。問(wèn)題的分析并不復(fù)雜，而且我們還可以得到一個(gè)規(guī)律，即每月底的家兔數(shù)量將做如下變化：

22、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、 233、，數(shù)列中的前兩項(xiàng)相加得到數(shù)列的下一項(xiàng)，這就是斐波那契數(shù)列。將數(shù)列中每相鄰兩數(shù)的前者除以后者，其極限結(jié)果就是黃金分割率 0.618。即2.3 黃金分割律在股市中的運(yùn)用黃金分割是世界上一種古老的方法，其中的魅力讓人沉醉，其作用也是不勝枚舉，好多性質(zhì)人們現(xiàn)在都還沒(méi)給出明確的解釋。只是在偶爾的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)他起著至關(guān)重要的作用。 在這里，我們將說(shuō)明如何得到黃金分割線，并根據(jù)它們指導(dǎo)下一步的買賣股票的操作。 第一步，要得到黃金分割線，你要記住以下的數(shù)字0.191 0.382 0.618 0.809 1.191 1.382 1.618 1.8

23、09 2.191 2.382 2.618 2.809 其中0.382,0.618,1.382,1.618最為重要，股票的價(jià)格極容易在由這4個(gè)數(shù)產(chǎn)生的黃金分割線處產(chǎn)生支撐和壓力。 第二步是找到一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)是上升行情結(jié)束，調(diào)頭向下的最高點(diǎn)，或者是下降行情結(jié)束，調(diào)頭向上的最低點(diǎn)。當(dāng)然，我們知道這里的高點(diǎn)和低點(diǎn)都是指一定的圍，是局部的。只要我們能確認(rèn)這個(gè)趨勢(shì)(無(wú)論是上升還是下降)已經(jīng)結(jié)束或暫時(shí)結(jié)束，則這個(gè)趨勢(shì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就可以作為進(jìn)行黃金分割的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)一經(jīng)選定，我們就可以畫出黃金分割線了。在上升行情開(kāi)始調(diào)頭向下時(shí)，我們極為關(guān)心這次下落將在什么位置獲得支撐。黃金分割提供的是如下幾個(gè)價(jià)位。它們是由這次上漲

24、的頂點(diǎn)價(jià)位分別乘上上面所列的幾個(gè)特殊數(shù)字中的幾個(gè)。假設(shè)，這次上漲的頂點(diǎn)是10元，則8.09=100.809 6.18=100.618 3.82=100.382 1.91=100.191 這幾個(gè)價(jià)位極有可能成為支撐，其中6.18和3.82的可能性最大。 同理，在下降行情開(kāi)始調(diào)頭向上時(shí)，我們關(guān)心上漲到什么位置將遇到壓力。黃金分割線提供的位置是這次下跌的底點(diǎn)價(jià)位乘上上面的特殊數(shù)字。假設(shè)，這次下落的谷底價(jià)位為10元，則11.91=101.191 21.91=102.191 13.82=101.382 23.82=102.382 16.18=101.618 26.18=102.618 18.09=101

25、.809 28.09=102.809 20=102 將可能成為未來(lái)的壓力位。其中13.82和16.18以與20元成為壓力線的可能性最大,超過(guò)20的那幾條很少用到。 此外，還有另一種使用黃金分割線的方法。選擇最高點(diǎn)和最低點(diǎn)(局部的)，以這個(gè)區(qū)間作為全長(zhǎng)，然后在此基礎(chǔ)上作黃金分割線，進(jìn)行計(jì)算出反彈高度和回蕩高度。第三章 斐波那契數(shù)列在生活中應(yīng)用3.1斐波那契數(shù)列在幾何上的應(yīng)用斐波那契數(shù)列在幾何上的應(yīng)用我們通過(guò)2001年第十六屆省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B卷中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：例：現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n段(n2)，且每段的長(zhǎng)度不小于lcm。如果其中任意3小段都不能拼成三角形則n的最大值為多少?分析：

26、根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，要構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是兩邊之和大于第三邊所以不能拼成3角形的充要條件是任意兩邊之和應(yīng)大于或者小于第3邊。由于題目要求每段的長(zhǎng)度不能小于lcm因此根據(jù)題目要求可以先截取2個(gè)lcm的鐵絲。為了不拼成三角形，所以第三段截取2cm(為了使最大，所以要使剩下的鐵絲盡可能長(zhǎng)，后面截取的每一段總是前面相鄰兩段之和)。以此類推，依次截取的長(zhǎng)度為l，l，2，3，5，8，13，21，34，55，這些數(shù)字為斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)，和為143，與144相差l，因此最后一段可以截取56cm，這時(shí)達(dá)到最大為10。我們看到題目中的一個(gè)條件“每段的長(zhǎng)度不小于lcm”起到了關(guān)鍵的作用，正是這個(gè)條件

27、產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，也正是這個(gè)條件使得三角形三邊關(guān)系定理與斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了聯(lián)系。3.2斐波那契數(shù)列在城市交通道路規(guī)劃上的應(yīng)用對(duì)中國(guó)主要城市道路的研究，可以得出中國(guó)道路在設(shè)計(jì)上的一個(gè)規(guī)律：中國(guó)道路路與外路的比值接近于=0618033988或接近于其倒數(shù)= 1618033988。根據(jù)間距比值可將中國(guó)環(huán)路分為A、B、C三種類型(如下圖中的a,b,c)：A 型標(biāo)準(zhǔn)比值為；B型標(biāo)準(zhǔn)比值為C型在縱(橫)向上標(biāo)準(zhǔn)比值為，在橫(縱)向上標(biāo)準(zhǔn)比值為。通過(guò)大量的實(shí)例證明，中國(guó)的道路規(guī)劃基本上符合這一規(guī)律。該原理適用于各種規(guī)模、各種性質(zhì)和各種形態(tài)的城市環(huán)路運(yùn)用該原理可對(duì)中國(guó)城市環(huán)路進(jìn)行規(guī)劃建議和合理性評(píng)價(jià)。圖 3

28、城市交通道路模擬圖3.3斐波那契數(shù)列在生物學(xué)上的應(yīng)用斐波那契數(shù)列也可以應(yīng)用在生物學(xué)上例如，樹木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，基本上都需要一段“休息”時(shí)間，補(bǔ)充自己由于新生枝條的消耗，而后當(dāng)補(bǔ)滿消耗之后才能萌發(fā)新枝因此，樹苗在一段間隔，比如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝繼續(xù)萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列(見(jiàn)圖4)這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。圖 4魯?shù)戮S格定律大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花

29、瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣另外，向日葵花盤、松果的種子排列都是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎?應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣對(duì)于許多植物來(lái)說(shuō)，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來(lái)，為了在生長(zhǎng)的過(guò)程中一直都能最佳地利用空間(要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來(lái)，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的)，每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該有合適的角度種子的生長(zhǎng)方式也是如此，這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉第四章 小結(jié) 斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生于13世紀(jì)開(kāi)始，它的歷史悠久，魅力十足，以至于人們對(duì)它的研究一直持續(xù)到現(xiàn)在本論文介紹了斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生，論證了該數(shù)列比較重要的幾個(gè)性質(zhì)以與它與黃金分割率之間的種種關(guān)系，并說(shuō)明了斐波那契數(shù)列于各個(gè)領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用縱觀斐波那契的活動(dòng)，他在西方的數(shù)學(xué)復(fù)興史中占有不可替代的地位。如法國(guó)大革命時(shí)期政治活動(dòng)家，軍事家G卡爾諾(Cardano)在講述斐波那契