課時(shí)提升作業(yè)(二十八)51

1、圓學(xué)子夢(mèng)想 鑄金字品牌PAGE PAGE - 12 -溫馨提示： 此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊課時(shí)提升作業(yè)(二十八)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(45分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.已知正數(shù)數(shù)列an對(duì)任意p,qN*,都有ap+q=ap+aq,若a2=4,則a9=()A.6B.9C.18D.202.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=411-2n,則滿足an+1an的n的取值為()A.3B.4C.5D.63.(2014天津模擬)若數(shù)列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),則a2014的值為()A.1

2、B.2C.3D.44.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n2),且a1=1,通過計(jì)算a2,a3,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.12n-1D.12n-15.(2014鄭州模擬)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),則a1+a2+a3+a100=()A.-200B.-100C.200D.1006.(2014衡水模擬)下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2C.an=n(n+1)2D.an=n(n+2)27.數(shù)列an的通項(xiàng)an=nn2+90,則數(shù)列an中的最大值是()A.310B.19C.11

3、9D.10608.(2014濰坊模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),則a6=()A.344B.344+1C.45D.45+1二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2014衡陽模擬)已知數(shù)列an滿足an=n2+kn,且數(shù)列an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.10.(2014大連模擬)數(shù)列an滿足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.11.(2014太原模擬)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=2,(an-2)2=8Sn-1(n2),則an的通項(xiàng)公式an=.12.(能力挑戰(zhàn)題)在一個(gè)數(shù)列中,如果nN*,都有

4、anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積,已知數(shù)列an是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為8,則a1+a2+a3+a12=.三、解答題(13題12分,1415題各14分)13.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-12n2+kn,kN*,且Sn的最大值為8,試確定常數(shù)k,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.14.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn=an+1(nN*).(1)求a1a2.(2)設(shè)bn=log3|an|,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.15.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,nN*.(1)記bn=Sn-3n,求數(shù)列b

5、n的通項(xiàng)公式.(2)若an+1an,nN*,求a的取值范圍.答案解析1.【解析】選C.由已知得a2=a1+1=a1+a1=4,解得a1=2,所以a9=a8+1=a8+a1=2a4+a1=4a2+a1=44+2=18.2.【解析】選C.由an+1an得an+1-an0,即49-2n-411-2n=8(9-2n)(11-2n)0,解得92n0),an+1=-1an+1(nN*),則能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】選C.由已知得a1=b,a2=-1a1+1=-1b+1,a3=-1a2+1=-b+1b,a4=-1a3+1=b,a5=-1a4+1=-1b+1,a

6、6=-1a5+1=-b+1b,所以數(shù)列an的周期為3,再根據(jù)a1=a4=b,觀察選項(xiàng)可知a16=b,故選C.4.【解析】選B.a1=1=212,因?yàn)镾n=n2an(n2),所以S2=4a2,即a1+a2=4a2,所以a2=13a1=13=223.當(dāng)n=3時(shí),S3=9a3,即a1+a2+a3=9a3,解得a3=16=234,因此猜想an=2n(n+1).5.【解析】選D.由題意知,a1+a2+a3+a100=-1+3-5+7+(-1)100(2100-1)=(-1+3)+(-5+7)+(-197+199)=250=100.【加固訓(xùn)練】(2014廣州模擬)數(shù)列an滿足a1=43,an+1=an2-

7、an+1(nN*),則m=1a1+1a2+1a2 013的整數(shù)部分是()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.由條件得1an+1-1=1an(an-1)=1an-1-1an,即有1an=1an-1-1an+1-1,則m=1a1+1a2+1a2 013=1a1-1-1a2 014-1=3-1a2 014-1.又an+1-an=(an-1)20,則an+1ana11,從而有(an+1-an)-(an-an-1)=(an-1)2-(an-1-1)2=(an-an-1)(an+an-1-2)0,則an+1-anan-an-1a2-a1=19,則a2014=a1+(a2-a1)+(a2014-a2013

8、)43+2 0139=225,得a2014-1224,即有01a2 014-10對(duì)nN*恒成立,即k-2n-1對(duì)nN*恒成立,而-2n-1(nN*)的最大值為-3,故k-3.答案:(-3,+)【方法技巧】數(shù)列的性質(zhì)的理解(1)數(shù)列的單調(diào)性與實(shí)數(shù)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性是不同的,區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性必須對(duì)區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)滿足單調(diào)性的定義,而數(shù)列的單調(diào)性只要求對(duì)正整數(shù)滿足單調(diào)性的定義即可,如函數(shù)f(x)=2x2-5x的單調(diào)遞增區(qū)間是54,+,而通項(xiàng)公式是an=2n2-5n的數(shù)列an對(duì)任意的正整數(shù)都滿足單調(diào)遞增的定義.(2)數(shù)列的周期性是指存在正整數(shù)k(常數(shù)),對(duì)任意正整數(shù)n,an+k=an,在給出遞推關(guān)系的數(shù)

9、列中可以通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般結(jié)論的時(shí)候,一定要注意特殊中體現(xiàn)出來的一般規(guī)律,為了保證特殊化方法得出的結(jié)論具有一般意義,可以多計(jì)算數(shù)列中幾項(xiàng)的值,加以驗(yàn)證.【加固訓(xùn)練】在數(shù)列an中,an=n2-kn,且an單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【解析】an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又an單調(diào)遞增,故應(yīng)有an+1-an0,即2n+1-k0恒成立,分離變量得k2n+1,故只需k0,所以an+1-an=4,而a1=2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,所以an=2+(n-1)4=4n-2.答案:4n-212.【解析】

10、依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+a12=4(a1+a2+a3)=4(1+2+4)=28.答案:2813.【思路點(diǎn)撥】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),利用Sn的最大值為8可確定常數(shù)k;根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)镾n=-12n2+kn=-12(n-k)2+12k2,其中k是常數(shù),且kN*,所以當(dāng)n=k時(shí),Sn取最大值12k2,故12k2=8,k2=16,因此k=4,從而Sn=-12n2+4n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-12+4=72;當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-12n2+4n-12(n-1)2+4

11、(n-1)=92-n.當(dāng)n=1時(shí),92-1=72=a1.所以an=92-n.14.【解析】(1)由已知4S1=a1+1,即4a1=a1+1,所以a1=13.又4S2=a2+1,即4(a1+a2)=a2+1,所以a2=-19.所以a1a2=3(-1).(2)當(dāng)n1時(shí),an=Sn-Sn-1=14(an+1)-14(an-1+1),即3an=-an-1,易知數(shù)列各項(xiàng)不為零.所以anan-1=-13對(duì)n2恒成立,所以an是首項(xiàng)為13,公比為-13的等比數(shù)列,所以an=13-13n-1=(-1)n-13-n,所以bn=log3|an|=log33-n=-n,即bn=-n.15.【思路點(diǎn)撥】【解析】(1)依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn,所以數(shù)列bn是首項(xiàng)b1=a-3,公比為2的等比數(shù)列.因此,所求通項(xiàng)公式為bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,nN*.(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,nN*,于是,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2