2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：零點(diǎn)問題（Word版無答案）

1、2023屆一輪復(fù)習(xí) 零點(diǎn)問題零點(diǎn)存在的判定與證明一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)的零點(diǎn)：一般的，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得 注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在3、函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響：如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖像，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零

2、點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖像影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)：是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論： 若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù) 若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù) 若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律

3、可簡(jiǎn)記為“同增異減”）（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖像7、證明零點(diǎn)存在的步驟：（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù) （3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在例1：函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 例2：函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 例3：已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）A. B. C. D. 例4：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，則_例5：定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若的“新駐點(diǎn)”分別為

4、，則（ ）A. B. C. D. 例6：若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過， 則可以是（ ）A B C D例7：設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 例8：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于 例9：已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使得 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題一、知識(shí)點(diǎn)講解與分析：1、零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提（2）零點(diǎn)存在性定理中

5、的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)連續(xù)） 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè) 若，那么在不一定有零點(diǎn) 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到。例1：直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則的取值范圍為 ()A B C D例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.例4：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)

6、不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B. C D例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A 4 B6 C8 D10例6：對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D0或2例8：定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，其中，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

7、（ ）A. B. C. D. 例10：已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)零點(diǎn)，方程，圖像交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化：有關(guān)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)的問題會(huì)用到這三者的轉(zhuǎn)化，且這三者各具特點(diǎn)：（1）函數(shù)的零點(diǎn)：有“零點(diǎn)存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點(diǎn)（2）方程：方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈活的變形，從而可將等號(hào)兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為兩個(gè)可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊（3）圖像的交點(diǎn)：通過作圖可直觀的觀察到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并能初步判斷交點(diǎn)所在區(qū)間。三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的交

8、點(diǎn)2、此類問題的處理步驟：（1）作圖：可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問題，并作出函數(shù)圖像（2）確定變量范圍：通過圖像與交點(diǎn)位置確定參數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍（3）觀察交點(diǎn)的特點(diǎn)（比如對(duì)稱性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值，3、常見處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為，從而用可表示出，將關(guān)于的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達(dá)式，進(jìn)而可求出范圍或最值（2）利用對(duì)稱性解決對(duì)稱點(diǎn)求和：如果關(guān)于軸對(duì)稱，則；同理，若關(guān)于中心對(duì)稱，則也有。將對(duì)稱的點(diǎn)歸為一組，在求和時(shí)可與對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）找到聯(lián)系例1：已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例2：已知函

9、數(shù) ，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得 ，則的取值范圍是_例3：定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ） A. B. C. D. 例4：已知，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 例5：已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 例6：已知函數(shù)，存在，則的最大值為 例7：已知定義在上的函數(shù)滿足： ，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）A. B. C. D. 例8：函數(shù)，直線與函數(shù)的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從小到大，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為，有以下四個(gè)結(jié)論 若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)根，則的取值唯一則其中正確的結(jié)論是（ ）A. B.

10、C. D. 例9：已知函數(shù)，若，且，則的值（ ）A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 與相關(guān)例10：定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為（ ） A B C D 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)，且函數(shù)的值域?yàn)槎x域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復(fù)合函數(shù)，記為 2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計(jì)算解： 3、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，若，求解：令，則解得當(dāng)，則當(dāng)，則綜上所述：由上例可得，要想求出的根

11、，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對(duì)應(yīng)的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，先回顧零點(diǎn)的定義：4、函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè)的定義域?yàn)?，若存在，使得，則稱為的一個(gè)零點(diǎn)5、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的特點(diǎn)：考慮關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，在解此類問題時(shí)，要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個(gè)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個(gè)被幾個(gè)對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù) 6、求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng)，從而確定的取

12、值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：例1：設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù) ，若關(guān)于的方程由3個(gè)不同的解，則_例2：關(guān)于的方程的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8例3：已知函數(shù)，關(guān)于的方程（）恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是 例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 例5：若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）A3 B4 C5 D6例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例7：已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例8：已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是（ ）A. 當(dāng)時(shí)，有4個(gè)