函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中應(yīng)用

1、第 PAGE27 頁(yè) 共 NUMPAGES27 頁(yè)函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中應(yīng)用函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的應(yīng)用 一、教材分析p 1教材的內(nèi)容 選修 1-1 第三章，本節(jié)屬于專(zhuān)題復(fù)習(xí)課. 2.教材所處的地位和作用 微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在選修模塊中，學(xué)生將通過(guò)大量實(shí)例， 經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)，極值等性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，感受導(dǎo)數(shù)

2、在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類(lèi)文化發(fā)展的價(jià)值。3.學(xué)情分析p 通過(guò)數(shù)學(xué)必修中函數(shù)，幾何與代數(shù)，數(shù)學(xué)建模等內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及在數(shù)學(xué)選修 1-1中第二，三章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)的基本知識(shí)和運(yùn)算能力，這為本節(jié)我們討論極值點(diǎn)偏移問(wèn)題提供了很好的前提與基礎(chǔ)。學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)必修中函數(shù)單調(diào)性的尋找，證明和應(yīng)用及不等式的相關(guān)結(jié)論，具備了一定的探究能力?；诖耍瑢W(xué)生會(huì)產(chǎn)生思考，如何運(yùn)用函數(shù)和不等式來(lái)解決高考試題中極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類(lèi)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單的解題通法，這個(gè)常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題 21 題位置上的難點(diǎn)將不會(huì)再對(duì)我們?cè)斐商y

3、的阻礙，甚至?xí)蔀椴糠滞瑢W(xué)新的得分點(diǎn)。教學(xué)對(duì)象是高三年級(jí)理科生，由于學(xué)生年齡和能力及題目本身思維要求高，過(guò)程繁，計(jì)算難度大等原因，學(xué)生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數(shù)學(xué)思維和解難題的能力，因此所做的探索過(guò)于片面，結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn). 4.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理 難點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法的結(jié)題步驟，構(gòu)造函數(shù)的選取，對(duì)數(shù)平均不等式的放縮和極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用 二、教學(xué)目標(biāo)分析p 1知識(shí)與技能 1.能運(yùn)用函數(shù)和不等式解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題 2.掌握函數(shù)和不等式解決這類(lèi)題的一般步驟 3.極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用 2、過(guò)程與方法 1.通過(guò)利用

4、幾何畫(huà)板展現(xiàn)極值點(diǎn)偏移的過(guò)程，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)感受極值點(diǎn)偏移的本 質(zhì)原因，激發(fā)學(xué)生探究解決問(wèn)題的激情，和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物變化過(guò)程，總結(jié)變化規(guī)律的習(xí)慣。同時(shí)在此處先不給出極值點(diǎn)偏移的判定定理，而是先用函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式這兩種之前已經(jīng)介紹過(guò)的方法來(lái)求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復(fù)習(xí)歸納已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)方法。2.結(jié)合例一的解題過(guò)程，重點(diǎn)回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)的突破口，樹(shù)立學(xué)生解難題的信心規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程。然后把時(shí)間向前推移六年到例 2（2022 天津）讓學(xué)生自主模仿例一的解法嘗試來(lái)解例二，通過(guò)例一的復(fù)習(xí)學(xué)生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓

5、學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的成就感，同時(shí)也通過(guò)兩題的比對(duì)了解到高考題目的變遷歷史體會(huì)該知識(shí)點(diǎn)在高考中的地位清楚今后的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)方向。3.展示學(xué)生例二的解題過(guò)程并加以點(diǎn)評(píng)后提出更高的要求有沒(méi)有更好的方法， 結(jié)合一開(kāi)始的三張圖片讓學(xué)生再次重新審視極值點(diǎn)偏移的原因回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)上來(lái)，不用很精準(zhǔn)只需要說(shuō)出自己的直觀感受即可，通過(guò)這一過(guò)程讓學(xué)生鍛煉自己的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算分析p 等核心素養(yǎng)，同時(shí)也為后面介紹極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析p 函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到具體問(wèn)題具體分析p ，方法的選擇要靈活有針對(duì)性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過(guò)一題多解，和同法異題的求解加深解題方法

6、的理解和應(yīng)用能力的提高，由具體問(wèn)題的多角度的思維得出不同方法的求解過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)歸納的能力，數(shù)學(xué)抽象能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)經(jīng)歷對(duì)例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)， 感受數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。三、教學(xué)方法與手段分析p 1.教學(xué)方法 結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學(xué)方法，整個(gè)教學(xué)過(guò)程以學(xué)生為主體，學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的思想，同時(shí)運(yùn)用多媒體課件

7、教學(xué)等技術(shù)手段，同一題目不同方法的比對(duì)，相同方法不同題目的求解讓學(xué)生由淺入深，循序漸進(jìn)的參與這堂課的每個(gè)過(guò)程，自然而然的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。2.學(xué)法 觀察分析p 自主探究 合作交流 初步運(yùn)用 歸納小結(jié) 3.教學(xué)手段 利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性. 四、教學(xué)過(guò)程分析p 教學(xué)是一個(gè)教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過(guò)程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體. 教師的“導(dǎo)”也就是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，把學(xué)習(xí)的任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，學(xué)生就是接受任務(wù)，探究問(wèn)題、完成任務(wù).如果在教學(xué)過(guò)程中把“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問(wèn)題”為核心，通過(guò)對(duì)知識(shí)的發(fā)生、

8、發(fā)展和運(yùn)用過(guò)程的演繹、解釋和探究來(lái)組織和推動(dòng)教學(xué). .創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題 圖 1 _ = m = _1 + _2 極值點(diǎn)無(wú)偏移 圖 2 _ m = _1 + _2 2 目的：本例通過(guò)給出三張典型的凹函數(shù)圖像，讓學(xué)生從圖像特征上去直觀感受函數(shù)圖像極值點(diǎn)發(fā)生偏移的原因，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)上來(lái)通過(guò)圖像讓學(xué)生直觀感受而非繁瑣的計(jì)算來(lái)思考解決問(wèn)題，有助于開(kāi)拓學(xué)生視野回歸數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，降低了學(xué)生對(duì)于該問(wèn)題的為難情緒。通過(guò)學(xué)生觀察后教師自然而然的給出極值點(diǎn)偏移的定義，并順帶給出極值點(diǎn)偏移的數(shù)學(xué)解釋逐步讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理論認(rèn)知，當(dāng)然老師在此可以對(duì)學(xué)生提出進(jìn)一步要求，可不可以給出一般性的判定定

9、理？這里我們只先提出問(wèn)題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問(wèn)題過(guò)難而挫傷學(xué)生的積極性，同時(shí)也為本節(jié)課最后的問(wèn)題做好了鋪墊。.探究問(wèn)題 例一（20_ 全國(guó)卷一）已知函數(shù) f (_)= (_ - 2)e_ + a(_ -1)2 有兩個(gè)零點(diǎn)。（I）求 a 的取值范圍；（略）（II）設(shè) _1 , _2 是 f (_)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：_1 + _2 1 _ e2- _ - e_ 0 F (_) 0 F (_)在(- ，1)上 代入 _1 得 F (_1 ) 0) A L G 解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）f (_ ) = f (_ ) = 0 (_ - 2)e_1 + a(_ -1)2 = (_

10、 - 2)e_2 + a(_ -1)2 = 0 1 2 1 1 2 2 a(_ -1)2 = (2 - _ )e_1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 a(_ -1)2 = (2 - _ )e_2 ，兩式相減得a(_ + _ - 2)(_ - _ ) = (2 - _ )e_1 - (2 - _ )e_2 _1 + _2 - 2 0 （反證）假設(shè) _ + _ 2 _ - _ g(_); f (_) 的圖像關(guān)于直線 _ = 1 對(duì)稱(chēng)，證明：當(dāng) _ 1 （III）如果 _1 _2 ，且 f (_1 ) = f (_2 ) ，證明 _1 + _2 2 。解法一：對(duì)稱(chēng)構(gòu)造函數(shù)法（1）（2）略 由

11、（1）知 _1 0 _ - 2 2 - _1 即 _1 + _2 2 解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）f (_ ) = f (_ ) _ e-_1 = _ e-_2 （左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）1 2 1 2 ln _1 - _1 = ln _2 - _2 _1 - _2 = ln _1 - ln _2 _1 - _2 ln _1 - ln _2 = 1 （_）由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得 _1 + _2 2 _1 - _2 ln _1 - ln _2 = 1 0 ，則極小值點(diǎn)右偏 _1 + _2 _ 。2 0 對(duì)于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴(yán)格的證明，（后附有泰勒展開(kāi)的完整證明過(guò)程

12、，可以開(kāi)拓一部分自學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生的視野）那么我們?cè)趺磥?lái)理解該判定定理呢？我們又如何運(yùn)用它來(lái)解決高中相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？對(duì)此我們分兩部分來(lái)討論。第一部分：我們主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與 n 階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算來(lái)了解該定理的由來(lái)。首先 通過(guò)讓學(xué)生再次觀察一開(kāi)始我們已展示的圖一，二，三不，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn) y = f (_) 的圖 像偏移的原因，即 y = f (_) 的圖像在u(_0 , ) 內(nèi)增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進(jìn)一步 引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)生的不同我們?nèi)绾稳ビ脭?shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述刻畫(huà)它，提醒學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾 何意義來(lái)思考，以圖 2 為例和學(xué)生一起做探討：y = f (_) 的圖像的斜率一直在增加，但 增加的速

13、度在變慢，（數(shù)學(xué)直觀想象），如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述這一變化？（數(shù)學(xué)抽象） f (_) 0, f (_) 增加 f (_) 0（速度變慢） f (_)的絕對(duì)值變小 y = f (_) 0, f (_) 增加 f (_) 0 （速度變快） f (_)的絕對(duì)值變大 y = f (_) 0 。以上結(jié)論可簡(jiǎn)單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時(shí)若 _0 是極大值點(diǎn)的話，結(jié)論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）IV.給出定理，嘗試新解 第二部分：運(yùn)用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解 極值點(diǎn)偏移判定定理 解法三：f (_)= (_ - 2)e_ + a(_ -1)2 f (_) = (_ -1)(

14、e_ + 2a) f (_) = (_ -1)e_ + e_ + 2a f (_) = e_ (_ +1) 分兩段區(qū)間討論 若 _ (-,1， f (2) = a 0 結(jié)合圖像可知 _1 -1 0 ， _ = 1 是極小值，符合“小大小” _ + _2 ma_1, _2 3 2 ，則 _1 + _2 2 1 若 _ (- , 3)， f (_) 0 ， _ = 1 是極大值，符合“大大大” _ + _2 2 綜上知 _1 + _2 2 至此我們回頭再看例一和例二的三個(gè)解法，不知不覺(jué)中對(duì)于一開(kāi)始極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題有 了更新的認(rèn)知。VI.課堂練習(xí) 鞏固雙基 練習(xí) 1（2022 遼寧卷）已知函數(shù) f

15、(_) = ln _ - a_2 + (2 - a)_ 。（I）討論函數(shù) f (_) 的單調(diào)性；（II）設(shè)a 0 ，證明：當(dāng)0 f ( 1 - _); a a a （III）若函數(shù) y = f (_0 ) 2 1 2 練習(xí) 4 已知函數(shù) f (_) = e_ - a_ 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) _ , _ ，其極值點(diǎn)為 _ 0 （I）求 a 的取值范圍 （II）求證：_1 + _2 2 （IV）求證：_1 _2 1 目的：通過(guò)學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的再次深化.練習(xí)分層，有利于不同層次的學(xué)生培養(yǎng)。VII.課堂小結(jié) 學(xué)生點(diǎn)評(píng)，老師引導(dǎo): 由圖像直觀到方法

16、求解,由繁瑣到簡(jiǎn)潔，由為結(jié)題而解題到回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，一再的追問(wèn)和嘗試思考有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高；用三種方法解題的運(yùn)用：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理。對(duì)三種解法的對(duì)比的再認(rèn)識(shí)特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己；在理解方法的基礎(chǔ)上,及時(shí)進(jìn)行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過(guò)總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化解法的靈活性，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識(shí)模塊，優(yōu)化知識(shí)體系.體現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)。五、教學(xué)評(píng)價(jià) 結(jié)果因過(guò)程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動(dòng).無(wú)論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計(jì),都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線,設(shè)法從龐雜的知識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書(shū)本背后的數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識(shí)體系,教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動(dòng)。因此，本課例在具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)工具的選擇上舍得花大量時(shí)間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽(yáng)光，不一定能喚醒萬(wàn)物，