模型17 角平分線和高線的夾角

1、專題17 角平分線和高線的夾角 1如圖，中，一內(nèi)角和一外角的平分線交于點連結(jié)，_.【解析】66 【分析】過D作，DFBE于F，DGAC于G，DHBA，交BA延長線于H，由BD平分ABC，可得ABD=CBD，DH=DF，同理CD平分ACE，ACD=DCF=，DG=DF，由ACE是ABC的外角，可得2DCE=BAC+2DBC，由DCE是DBC的外角，可得DCE=CDB+DBC，兩者結(jié)合，得BAC=2CDB，則HAC=180-BAC，在證AD平分HAC，即可求出CAD【詳解】過D作，DFBE于F，DGAC于G，DHBA，交BA延長線于H，BD平分ABC，ABD=CBD=ABC，DH=DF，CD平分A

2、CE，ACD=DCF=ACE，DG=DF，ACE是ABC的外角，ACE=BAC+ABC，2DCE=BAC+2DBC，DCE是DBC的外角，DCE=CDB+DBC，由得，BAC=2CDB=224=48，HAC=180-BAC=180-48=132，DH=DF，DG=DF，DH=DG，DGAC，DHBA，AD平分HAC，CAD=HAD=HAC=132=66故答案為：66【點睛】本題考查角的求法，關(guān)鍵是掌握點D為兩角平分線交點，可知AD為角平分線，利用好外角與內(nèi)角的關(guān)系，找到BAC=2CDB是解題關(guān)鍵2如圖，在中，、分別是的高和角平分線，則_度【解析】5【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到BAC的度

3、數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)可求出EAC=BAC，而DAC=90-C，然后利用DAE=EAC-DAC進行計算即可【詳解】解：在ABC中，B=50，C=60，BAC=180-B-C=180-50-60=70，AE是的角平分線，EAC=BAC=70=35，AD是ABC的高，ADC=90在ADC中，DAC=180-ADC-C=180-90-60=30，DAE=EAC-DAC=35-30=5故答案為：5.【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和是180是解答此題的關(guān)鍵3如圖，CD、CE分別是ABC的高和角平分線，A30，B60，則DCE_【解析】15【解析】試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可

4、得：ACB=180AB=90，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：BCE=902=45，根據(jù)CDAB，B=60可得：BCD=30，則DCE=4530=15.考點：（1）、角平分線的性質(zhì)；（2）、三角形內(nèi)角和定理二、解答題4（1）如圖1，的內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于P點，請?zhí)骄颗c的關(guān)系，并說明理由（2）如圖，四邊形ABCD中，設(shè)為四邊形ABCD的內(nèi)角與外角的平分線所在直線相交而形成 銳角，請利用（1）中的結(jié)論完成下列問題：如圖，若，求的度數(shù)（用的代數(shù)式表示，記得把圖轉(zhuǎn)化為圖）如圖，若，請在圖中畫出，并直接寫出=_（用的代數(shù)式表示）【解析】（1）2PA；理由見解析；（2）P（+）90；P90【分析】（1

5、）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得PCDP+PBC，ACDA+ABC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得2PCDACD，2PBCABC，運用等量代換即可得解；（2）添加輔助線，延長BA交CD的延長線于F，利用（1）中結(jié)論解決問題即可；添加輔助線，延長AB交DC的延長線于F，同的思路求解即可【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：2PA理由：PCDP+PBC，ACDA+ABC，P點是ABC和外角ACD的角平分線的交點，2PCDACD，2PBCABC，2（P+PBC）A+ABC，2P+2PBCA+ABC，2P+ABCA+ABC，2PA；（2）延長BA交CD的延長線于FF180FADFDA180（1

6、80）（180）+180，由（1）可知：PF，P（+）90；如圖3，延長AB交DC的延長線于FF180，PF，P（180）90【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和5小學(xué)我們已經(jīng)知道三角形三個內(nèi)角和是180，對于如圖1中，交于點，形成的兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：；試探究下面問題：已知的平分線與的平分線交于點， （1）如圖2，若，則_；（2）如圖3，若不平行，則_（3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖3，探究與、之間是否存在某種等量關(guān)系？若存在，請說明理由；若不存在，請舉例說明【解析

7、】（1）35；（2）40；（3）D+B=2E，理由見解析【分析】(1)（2）在CDF和AEF中，有：D+DCF= E+DAE；在ABG和CEG中, B+EAB= E+BCE；再結(jié)合的平分線與的平分線交于點，進行化簡得到E=（B+D），然后將B和D代入即可解答；（3）根據(jù)（1）（2）的推導(dǎo)即可得到D+B=2E【詳解】解：（1）如圖2在CDF和AEF中，有D+DCF= E+DAEABG和CEG中, 有B+EAB= E+BCE得：D+DCFB+EABE+DAEE+BCE又的平分線與的平分線交于點DCFBCE，EABDAEE=（B+D），E35（2）如圖3:同(1)可得E=（B+D），E40（3）解：

8、D+B=2E理由如下：在CDF和AEF中，有D+DCF= E+DAEABG和CEG中, 有B+EAB= E+BCE得：D+DCFB+EABE+DAEE+BCE又的平分線與的平分線交于點DCFBCE，EABDAEE=（B+D）D+B=2E【點睛】考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等的性質(zhì)，解題方法較多，關(guān)鍵在于選擇合適的解題方法6在ABC中，已知A（1）如圖1，ABC、ACB的平分線相交于點D當70時，BDC度數(shù) 度（直接寫出結(jié)果）；BDC的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若ABC的平分線與ACE角平分線交于點F，求BFC的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）（3）在（2）的條件下，

9、將FBC以直線BC為對稱軸翻折得到GBC，GBC的角平分線與GCB的角平分線交于點M（如圖3），求BMC的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）【解析】（1）（1）125；，（2）；（3）【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理易得ABC+ACB=110，然后根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求BDC；由三角形內(nèi)角和定理易得ABC+ACB=180-A，采用的推導(dǎo)方法即可求解；（2）由三角形外角性質(zhì)得，然后結(jié)合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對稱性得，結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案【詳解】解：（1）ABC，DCBACB，BDC180DBCDCB180（ABC+ACB）180（18070）125ABC，DCBACB

10、，BDC180DBCDCB180（ABC+ACB）180（180A）90+A90+故答案分別為125，90+（2）BF和CF分別平分ABC和ACE，即（3）由軸對稱性質(zhì)知：，由（1）可得，【點睛】本題考查三角形中與角平分線有關(guān)的角度計算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點，求、的度數(shù).【解析】，【解析】【分析】由AD是高易得DAC與C互余，即可求出DAC，由三角形內(nèi)角和定理求出ABC，再根據(jù)角平分線的定義求出ABO與BAO，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出BOA的度數(shù).【詳解】解：是的高在中在中、是角平分線在中，【點睛】

11、本題考查了三角形中的角度計算，熟練掌握高和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.8如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線，EAD=15，B=40（1）求C的度數(shù)（2）若：EAD=，B=，其余條件不變，直接寫出用含，的式子表示C的度數(shù)【解析】（1）70；（2）C=+2【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BAD，求出BAE，根據(jù)角平分線的定義求出BAC，即可求出答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BAD，求出BAE，根據(jù)角平分線的定義求出BAC，即可求出答案【詳解】（1）ADBC，ADC=ADB=90，B=40，BAD=90-40=50，EAD=15，B

12、AE=50-15=35，AE平分BAC，CAE=BAE=BAC=35，BAC=70，C=180-BAC-B=180-70-40=70；（2）ADBC，ADC=ADB=90，B=，BAD=90-，EAD=，BAE=90-，AE平分BAC，CAE=BAE=BAC=90-，BAC=180-2-2，C=180-BAC-B=180-（180-2-2）-=+2【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，能靈活運用定理進行計算是解此題的關(guān)鍵9如圖，、分別是的高和角平分線，求的度數(shù).【解析】【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出ABD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出ABE的度數(shù)，二者作差即可得出答案.【詳解

13、】解：是的高，ABD=，是的角平分線，ABE=，.【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余、角平分線的性質(zhì).在圖形中找出這一數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.10如圖，在中，是角平分線，是延長線上一動點，于點下，試探索與、的數(shù)量關(guān)系.【解析】，見解析.【解析】【分析】過點C作于點G，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出BCA的度數(shù)；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出ACE；再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，求出CED的度數(shù)，進而求出ECG，再根據(jù)同角的余角相等得出ECG=D即可【詳解】解：如圖，過點C作于點G，在中，ACB=180-（A+ABC）CE是角平分線，ACE=90-A-ABCDEC=90+A-ABCECG=90-D

14、EC，【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和此題還考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個角的角平分線把這個角分成兩個大小相同的角11如圖，在中，平分，于，于，求.【解析】.【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ACB，根據(jù)角平分線的定義求出ACE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出FED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可【詳解】解：A=42，B=70，ACB=180-70-42=68，CE平分ACB，ACE

15、=ACB=34，F(xiàn)ED=A+ACE=76，DFCE，EDF=90-FED=14，故答案為14【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及三角形的角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于180是解題的關(guān)鍵12如圖，在中，為內(nèi)一點，使得，求的度數(shù)【解析】150【解析】【分析】作于點，延長交于點，連接，,故，證，從而.由，得，故.【詳解】如圖，作于點，延長交于點，連接，則，得.又，所以，又因此，從而.由，得，故.【點睛】考核知識點：全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì).作好輔助線是關(guān)鍵.13如圖，在中，是的平分線，為上一動點，交的延長線于點.（1）若，求的度數(shù)；（2）當點在上運動時，探求與、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【解析】（1），（2），見解析.【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線求出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得出與、之間的