222反證法 (2)

1、2.2.2 反證法一反證法證明命題“設(shè)p為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù), 則p也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明p是偶數(shù)，而是否定p是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定p是偶數(shù)。具體證明步驟如下：假設(shè)p不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為整數(shù)?？傻?p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，從而證明p為偶數(shù)。一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明： t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定 為假，推出q為真的方法，叫做反證法。 例1證明 不是有理數(shù)。證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，把 兩邊平方得到，2q2=p2， 式表明p2是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于是

2、令p=2l，l是正整數(shù)，代入式，得q2=2l2， 式表明q2是偶數(shù)，所以q也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)2，這與p，q互質(zhì)矛盾，因此 是有理數(shù)不成立，于是 是無理數(shù).例2證明質(zhì)數(shù)有無窮多個。證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1，p2，p3，pn，令p= p1p2p3pn+1，顯然p不含因數(shù)p1，p2，p3，pn，p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除p1，p2，p3，pn之外的質(zhì)因數(shù)。因此質(zhì)數(shù)只有有限多個不成立，于是質(zhì)數(shù)有無窮多個。 從上述兩例看出，反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性。二反證法的主要步驟(1) 反設(shè)：反設(shè)是反證法

3、的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 (2) 歸謬： 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。(3) 結(jié)論：由前兩步，得到正確的結(jié)論，一點要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實性

4、。 例3證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列的三項。證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的三項，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則1= md，2= nd，其中m，n為某兩個正整數(shù)，由上兩式中消去d，得到n+2m=(n+m) ,因為n+2m為有理數(shù)，(m+n) 為無理數(shù),所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項.例4平面上有四個點，沒有三點共線，證明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形。證明：假設(shè)以每三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，記這四個點為A，B，C，D， 考慮ABC，點D在ABC之內(nèi)或之外兩種情況。（1）如果點D在ABC之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，圍繞點D的三個角都是銳角，其和小于270，這與一個周角等于360矛盾；（2）如果點D在ABC之外，根據(jù)假設(shè)四邊形ABCD的四個內(nèi)角分別是某銳角三角形的內(nèi)角，即A，B，C，D都小于90，這和四邊形內(nèi)角和等于360矛盾，綜上所述，原題的結(jié)論正確。例5、設(shè)a3+b3=2，求證a+b2證明：假設(shè)a+b2，則有a2b，從而 a3812b+6b2b3， a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因為6(b1)2+22，所以a3+b32，這與題設(shè)條件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b2成立。例6、設(shè)0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,則三