挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)(第十版)因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題

1、13 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先看三個(gè)問題：1已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3已知點(diǎn)A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)圖1 圖2 圖3如圖1，點(diǎn)C在垂線上，垂足除外如圖2，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個(gè)正方形，除了O、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B，共6個(gè)解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根一般情況下，按照直

2、角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C如果作BDy軸于D，那么AOCCDB設(shè)OCm，那么這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn) 圖4例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知

3、拋物線E1：yx2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點(diǎn)P，求PAA與PBB的面積之比 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線E1上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始終是線段OP的中點(diǎn)還可以體驗(yàn)到，直角三角形QBB有

4、兩個(gè)思路點(diǎn)撥1判斷點(diǎn)P是線段OP的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn)P、P的坐標(biāo)2分別求線段AABB，點(diǎn)P到AA的距離點(diǎn)P到BB的距離，就可以比較PAA與PBB的面積之比圖文解析（1）當(dāng)x1時(shí)，yx21，所以A(1, 1)，m1設(shè)拋物線E2的表達(dá)式為yax2，代入點(diǎn)B(2,2)，可得a所以yx2（2）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：圖3 圖4如圖3，過點(diǎn)B作BB的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)如圖4，以BB為直徑的圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q，那么QD2設(shè)Q(x, x2)，因?yàn)镈(0, 2)，根據(jù)QD24列方程x2(x22)24解得x此時(shí)Q（

5、3）如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)P、P分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b, b2)，P(c, )因?yàn)镺、P、P三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點(diǎn)P到直線AA的距離PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得點(diǎn)P到直線BB的距離PN2b22所以PAA與PBB的面積比2(b21)4(2b22)14圖5 圖6考點(diǎn)延伸第（2）中當(dāng)BQB90時(shí)，求點(diǎn)Q(x, x2)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方

6、法三，作QHBB于H，那么QH2BHBH所以(x22)2(x2) (2x) 例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，連結(jié)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t2時(shí)，延長QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)N的

7、坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BPQ有兩次機(jī)會(huì)可以成為直角三角形還可以體驗(yàn)到，點(diǎn)N有一次機(jī)會(huì)可以落在拋物線上 思路點(diǎn)撥1分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，那么MQNP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對(duì)應(yīng)相等可以列方程圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，所以y(x1)(x3)x22x3（2）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在兩種情況：當(dāng)BPQ90時(shí)，BQBP解方程t(4t)，得t2（如圖3）當(dāng)BQP90時(shí)，BPBQ解方程4t2t，得t（如圖4）圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G恰為MN的中點(diǎn)時(shí)，MQNP作QEy軸于E，作NFx軸于F，作QHx軸于H，那么MQENPF由已知條件，可得P(t1, 0)，Q(3t