挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)(第十版)因動點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題

1、17 因動點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點(diǎn)P在AB的延長線上，即P解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題圖1 圖2 圖3第二類問題

2、是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分BAC交BC于E點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定啊第一步，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對稱點(diǎn)為F，那么此刻PFPQ的最小值是線段FQ第二步，應(yīng)用“垂線段最短”如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的圖4 圖5 圖6例 50 2014年湖南省郴州市中考第26題已知拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1, 0)、B(2, 0)

3、、C(0, 2)三點(diǎn)（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使CMG的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 圖2動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14郴州26”，拖動點(diǎn)P運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CB的中點(diǎn)的正上方時，四邊形ABPC的面積最大拖動點(diǎn)G運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)A、G、M三點(diǎn)共線時，GCGM最小，CMG的周長最小思路點(diǎn)撥1設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式

4、比較簡便2連結(jié)OP，把四邊形ABPC的面積分割為三個三角形的面積和3第（3）題先用幾何說理確定點(diǎn)G的位置，再用代數(shù)計算求解點(diǎn)G的坐標(biāo)圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1, 0)、B(2, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x2)代入點(diǎn)C(0, 2)，可得a1所以這條拋物線的解析式為y(x1)(x2)x2x2（2）如圖3，連結(jié)OP設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2x2)由于SAOC1，SPOCx，SPOBx2x2，所以S四邊形ABPCSAOCSPOCSPOBx22x3(x1)24因此當(dāng)x1時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4此時P(1, 2)（3）第一步，幾何說理，確定點(diǎn)G的位置：如圖4，在CMG中，CM

5、為定值，因此當(dāng)GCGM最小時，CMG的周長最小由于GAGC，因此當(dāng)GAGM最小時，GCGM最小當(dāng)點(diǎn)G落在AM上時，GAGM最?。ㄈ鐖D5）圖3 圖4 圖5第二步，代數(shù)計算，求解點(diǎn)G的坐標(biāo)：如圖6，cosCAO，所以，E如圖7，由yx2x2，得M由A(1, 0)、M，得直線AM的解析式為作GHx軸于H設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為由于tanGEHtanACO，所以，即EH2GH所以解得所以G圖6 圖7 圖8考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）因?yàn)锳BC的面積是定值，因此當(dāng)PCB的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大過點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F因?yàn)镻CF與PBF有公共底邊PF，高的

6、和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時，PCB的面積最大設(shè)點(diǎn)P(x,x2x2)，F(xiàn)(x,x2)，那么PFx22x當(dāng)x1時，PF最大此時P(1, 2)例 51 2014年湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線yax2bxc關(guān)于y軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C(3,3)均在拋物線上，點(diǎn)F在y軸上，過點(diǎn)作直線l與x軸平行（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D(x, y)是線段BC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)G，設(shè)線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）

7、若點(diǎn)P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個動點(diǎn)，連結(jié)PF并延長，交拋物線于另一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QSl，垂足為S，過點(diǎn)P作PNl，垂足為N，試判斷FNS的形狀，并說明理由；（4）若點(diǎn)A(2, t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時，MFMA的值最小請直接寫出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)與MFMA的最小值圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14湘西25”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點(diǎn)D在BC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時，GD最大點(diǎn)擊按鈕（3），拖動點(diǎn)P運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，F(xiàn)NS保持直角三角形的形狀點(diǎn)擊按鈕（4），拖動點(diǎn)M運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，ME與MF保持相等，當(dāng)A

8、E是垂線段時，MEMA最小思路點(diǎn)撥1第（2）題用x表示G、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，GD的長就轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)2第（3）題是典型結(jié)論：拋物線上任意一點(diǎn)到直線l的距離等于它與點(diǎn)F間的距離3第（4）題要經(jīng)過兩步說理，得到MFMA的最小值是點(diǎn)A到l的垂線段長圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以yax2代入點(diǎn)C(3,3)，得所以拋物線的解析式為設(shè)直線BC的解析式為ykxb，代入B、C(3,3)，得解得，b2所以直線BC的解析式為（2）由于點(diǎn)D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G所以hGD因此當(dāng)時，h取得最大值，最大值為（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)為H設(shè)直線PQ的解析式為聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得所以x1x2它的幾何意義是HSHN又因?yàn)镠F所以HF2HSHN所以所以tan1tan2所以12又因?yàn)?與3互余，所以2與3互余所以FNS是直角三角形（4）MFMA的最小值是，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)是圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題也可以通過計算得到PFPN同理得到QFQS這樣我們就可以根據(jù)“等邊對等角”及“