2019-2020年北師大版七年級(jí)下冊(cè)第一章綜合復(fù)習(xí)利用數(shù)學(xué)思維解決整式的混合運(yùn)算

1、cd，北師大版七年級(jí)下冊(cè)綜合復(fù)習(xí)利用圖形結(jié)合思維解決整式運(yùn)算一、整式混合運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的碰撞1、整式混合運(yùn)算主要是加、減、乘、除、乘方這5種運(yùn)算，應(yīng)運(yùn)用運(yùn)算順序與數(shù)學(xué)思維相結(jié)合的計(jì)算方式來(lái)簡(jiǎn)化，從而為后面函數(shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)固基礎(chǔ)。2、整式乘法相關(guān)的幾個(gè)重要公式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab注意：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，均可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘。如：（m+n+p）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）+p（a+b+c）、平方差公式：(ab)(ab)a2b2、完全平方公式：(ab)2a22abb2

2、3、整式四則運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維碰撞出的最親密思維-整體思維例題1：若a+b=3,ab=1,求（a-2）（b-2）的值2【解析】：（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4=ab-2（a+b）+4=1-23+4=22整體思維的運(yùn)用：將代數(shù)式a+b、ab的值作為一個(gè)整體帶入求值，而不必將這2個(gè)已知條件中等式聯(lián)合成方程組分別求出a、b的值再帶入，可見(jiàn)數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用是要簡(jiǎn)化并降低計(jì)算的難度。例題2：將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線(xiàn)記成abcdadbc，請(qǐng)你將定義abx3x1x1x3化為代數(shù)式，再化簡(jiǎn)為_(kāi)cdadbc，【解析】：abx3x1x1x3=（x+3）（x+3）（x1）（x+

3、1）=x2+6x+9x2+1=6x+10整體思維的運(yùn)用：這里是將代數(shù)式x+3、x1、x+1分別與已知條件中的a、b、c、d對(duì)應(yīng)成一個(gè)整體，再運(yùn)用已知條件，來(lái)進(jìn)行解答題目。整體思維的總結(jié)：整體思維作為整式混合運(yùn)算中一個(gè)非常重要，并且是每個(gè)人都必須掌握的一個(gè)思維，可見(jiàn)整式運(yùn)算與整體思維已經(jīng)融為一體了，你只有了解它、分析它、熟悉它、并把它作為你的一種武器，才能在整式混合運(yùn)算這個(gè)大機(jī)器里擁有屬于你的一小片領(lǐng)地，只有這樣你才能為后面學(xué)習(xí)代數(shù)打下堅(jiān)固的基礎(chǔ)，并且不斷完善以及開(kāi)闊自己的知識(shí)面。4、代數(shù)與幾何碰撞出的數(shù)學(xué)思維-數(shù)形結(jié)合思維例題3：如圖，某校有一塊長(zhǎng)為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長(zhǎng)方形空

4、地，中間是邊長(zhǎng)（a+b）米的正方形草坪，其余為活動(dòng)場(chǎng)地，學(xué)校計(jì)劃將活動(dòng)場(chǎng)地（陰影部分）進(jìn)行硬化（1）用含a，b的代數(shù)式表示需要硬化的面積并化簡(jiǎn)；（2）當(dāng)a=5，b=2時(shí)，求需要硬化的面積【解析】：（1）需要硬化的面積表示為：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-化簡(jiǎn)：（3a+b）（2a+b）-（a+b）=6a2+3ab+2ab+b2（a2+2ab+b2）=5a2+3ab（2）當(dāng)a=5，b=2時(shí),5a2+3ab=552+352=155（米2）數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用：通過(guò)圖形陰影面積的求法，成功利用幾何圖形的相關(guān)公式與等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為整式乘法運(yùn)算。通過(guò)這道題，我們看到了數(shù)形結(jié)合思維的一個(gè)雛形，只要大

5、家用心理解它們間的聯(lián)系，相信大家一定會(huì)靈活運(yùn)用的。例題4：如圖，邊長(zhǎng)為m+4的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形，若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為4，則另一邊長(zhǎng)為（2m+4）【解析】：設(shè)拼成的矩形的另一邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意，可列方程：4x（m+4）2m2（m+4+m）（m+4m），解得x2m+4數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用：本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思維、方程思維、逆向思維、整體思維，四種數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用，清晰明了的將此題完美的呈現(xiàn)出來(lái)。例題5：把三張大小相同的正方形卡片A、B、C疊放在一個(gè)底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若按圖1擺放時(shí)，陰影部分的面積為S1；若按圖2擺

6、放時(shí)，陰影部分的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）AS1S2BS1S2CS1S2D無(wú)法確定【解析】：設(shè)底面的正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形卡片A，B，C的邊長(zhǎng)為b，由圖1，得S1（ab）（ab）（ab）2，由圖2，得S2（ab）（ab）（ab）2，S1S2故選：C數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用：本題通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，綜合運(yùn)用了方程思維、轉(zhuǎn)化思維等不同的思維，將代數(shù)思維與幾何思維進(jìn)行碰撞組合，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維作為橋梁，為后面函數(shù)、幾何綜合題打下基礎(chǔ)。5、數(shù)形結(jié)合思維作為數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要思維，一定要將這個(gè)思維當(dāng)做一個(gè)公式一樣，讓它成為解題的一種必備“武器”。數(shù)形結(jié)合思維在幾何題中的應(yīng)用還是很廣泛的，在后面

7、幾何知識(shí)章節(jié)內(nèi)，我還會(huì)通過(guò)不同的題型，來(lái)讓大家感受到這種思維的強(qiáng)大與實(shí)用的；數(shù)形結(jié)合思維在七下第一章整式乘除中，主要是利用圖形中不變的量（大多利用線(xiàn)段的長(zhǎng)度、某個(gè)圖形的面積或者周長(zhǎng)等不變的量），通過(guò)線(xiàn)段的長(zhǎng)度與面積（或者周長(zhǎng)）間的公式來(lái)證明某2個(gè)代數(shù)式的恒等式關(guān)系。二、數(shù)形結(jié)合思維在整式混合運(yùn)算中的應(yīng)用1、對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c10，ab+ac+

8、bc35，求a2+b2+c2；（4）小明同學(xué)用圖3中2張邊長(zhǎng)為a的正方形，3張邊長(zhǎng)為b的正方形m張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，直接寫(xiě)出m的所有可能取值【解析】：（1）邊長(zhǎng)為（a+b+c）的正方形的面積為：（a+b+c）2分部分來(lái)看的面積為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac同一個(gè)正方形面積相等所以：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2（2）（a+b+c）（a+b+c）a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（3）a+b+c10，ab+ac+bc35a2+b2+c2（a+b+c）22

9、ab2bc2ac10223530a2+b2+c2=30（4）由題意可得，所拼成的長(zhǎng)方形或正方形的面積為：2a2+3b2+mab從同一個(gè)圖形面積相等，由題意可列式為（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）（2a+b）（a+3b）2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）2a2+3b2+5abm5或7數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用：通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合分類(lèi)思維、逆向思維、方程思維、整體思維、等量思維等多種思維的碰撞，來(lái)鞏固整式乘法公式中的完全平方公式，同時(shí)拓展并考察了分類(lèi)思維的運(yùn)用。2、如圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀均勻分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b形狀拼成一個(gè)正方形

10、（1）你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？（2）觀察圖b你能寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（mn）2，mn（3）已知m+n7，mn6，求（mn）2的值【解析】：（1）mn（2）（m+n）2（mn）2+4mn（3）（mn）2（m+n）24mn494625數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用：通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合整體思維，對(duì)完全平方公式進(jìn)行變形，使完全平方公式拓展出這2個(gè)公式間的聯(lián)系與區(qū)別。3、甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為S1，S2（1）填空：S1S2（用含m的代數(shù)式表示）；（2）若一個(gè)正方形的周長(zhǎng)等于甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為

11、x，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）；設(shè)該正方形的面積為S3，試探究：S3與2（S1+S2）的差是否是常數(shù)？若是常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)，若不是常數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由，【解析】：（1）S1S2（m+7）（m+1）（m+4）（m+2）2m1（3）根據(jù)題意，列方程得4x2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2）解得x2m+7S2S1+S22m2+14m+15，32（S1+S2）（2m+7）2（2m2+14m+15）4m2+28m+494m228m3019所以：S3與2（S1+S2）的差是常數(shù)：19數(shù)學(xué)思維的綜合運(yùn)用：通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合方程思維、整體思維、等量思維等綜合運(yùn)用，從而達(dá)到熟練掌握整式混合運(yùn)算的技巧

12、，本題中（2）中整體思維的另一個(gè)運(yùn)用是將除了未知數(shù)x外的其他字母當(dāng)成常數(shù)來(lái)運(yùn)用，這個(gè)運(yùn)用在后面的函數(shù)、方程等的解題過(guò)程中會(huì)經(jīng)常用到。4、我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）a2+3ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c11，ab+bc+ac38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z；（4

13、）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：【解析】（1）最大正方形的邊長(zhǎng)是：a+b+c所以它的面積為：（a+b+c）2，從分部分來(lái)看，有三個(gè)正方形、六個(gè)長(zhǎng)方形，它們的和為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc由同一個(gè)正方形面積相等得出（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）a+b+c11，ab+bc+ac38，112a2+b2+c2+238a2+b2+c21217645a2+b2+c2的值為45（4）（2a+b）（a+2b）2a2+2b2+5abx代表的是a2系數(shù)，y代表的是b2系數(shù),z代表的是ab系數(shù)x2，y2，z5x+y+z9（5）大