2022年湖北省武漢市第十五高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知條件，條件直線與直線平行，則是的( )A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件2已知集合，則集合子集的個數(shù)為（ ）ABCD3設集合，若，則的取值范圍是（ ）ABCD4在正方體中，球同時與以為公共頂點的三個面相切，球同時與以為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點.若以為焦點，為準線的拋物線經(jīng)過，設球的半徑分別為，則（ ）ABCD5已知集合，則等于（ ）ABCD6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（ ）A8B32C64D1287某學校為了調(diào)查學生在課外讀

3、物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（ ）A100B1000C90D908某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（ ）A8年B9年C10年D11年9若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（ ）ABCD10在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則（ ）ABCD11若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括

4、邊界），則y+1x-2的取值范圍是（ ）A-3,1B-3,5C-,-35,+D-,-31,+12已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準線交于點，且，則（ ）AB2CD3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13曲線ye5x2在點(0，3)處的切線方程為_14如圖,已知，為的中點，為以為直徑的圓上一動點，則的最小值是_15某校高二（4）班統(tǒng)計全班同學中午在食堂用餐時間，有7人用時為6分鐘，有14人用時7分鐘，有15人用時為8分鐘，還有4人用時為10分鐘，則高二（4）班全體同學用餐平均用時為_分鐘.16函數(shù)過定點_.三、解答題：共70分。解答應寫

5、出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知拋物線E：y22px（p0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1x2且x1+x21線段AB的垂直平分線與x軸交于點 C（1）求拋物線E的方程；（2）求ABC面積的最大值18（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為、，與直線的交點為，求線段的長.19（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.20（12分）如

6、圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（）證明：；（）設，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30，求的值.21（12分）設橢圓E:（a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由22（10分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】先根據(jù)直線與直線平行確定的值，進

7、而即可確定結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.2B【解析】首先求出，再根據(jù)含有個元素的集合有個子集，計算可得.【詳解】解：，子集的個數(shù)為.故選：.【點睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數(shù)的計算公式，屬于基礎題3C【解析】由得出，利用集合的包含關系可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，且，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.4D【解析】由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面

8、圖，由拋物線第一定義可知，點到點的距離即半徑，也即點到面的距離，點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體，設，兩球球心和公切點都在體對角線上，通過幾何關系可轉(zhuǎn)化出，進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點到點的距離與到直線的距離相等，其中點到點的距離即半徑，也即點到面的距離，點到直線的距離即點到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設，兩個球心和兩球的切點均在體對角線上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因為，因此，得，所以. 故選：D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)5A【解析】進行交集的運算即

9、可【詳解】，1，2，1，故選：【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題6C【解析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7A【解析】利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元

10、）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.8D【解析】根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.9B【解析】根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數(shù)化為，

11、則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當經(jīng)過原點時截距最小，；當經(jīng)過時，截距最大值，所以線性目標函數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，線性目標函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎題.10B【解析】計算出的值，推導出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，則，由，得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導出數(shù)列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.11D【解析】畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點(2,-1)連線的斜率，然后結(jié)合圖形求解可得所求

12、范圍【詳解】畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，如圖陰影部分所示y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)連線的斜率，設k=y+1x-2，結(jié)合圖形可得kkPA或kkPB，由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，kPA=13-2=1,kPB=2-(-1)1-2=-3，k1或k-3，y+1x-2的取值范圍為-,-31,+故選D【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把y+1x-2看作兩點間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線所圍成的封閉區(qū)域考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎題12B【解析】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和

13、拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構造方程求得，進而求得結(jié)果.【詳解】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準線方程為.，由拋物線定義知：，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【解析】先利用導數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因為y5e5x，所以切線的斜率k5e05，所以切線方程是：y35(x0)，即y5x3.故答案為y5x3.【點睛】(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析

14、推理能力.(2) 函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是14【解析】建立合適的直角坐標系,求出相關點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示：則點,設點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標表示可得,其中, 因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關鍵;屬于中檔題.157.5【解析】分別求出所有人用時總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).

15、【詳解】故答案為：7.5【點睛】此題考查求平均數(shù)，關鍵在于準確計算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯點在于概念辨析不清導致計算出錯.16【解析】令，與參數(shù)無關，即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關，所有過定點.故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）y26x（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）

16、拋物線E：y22px（p0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p3，即有拋物線方程為y26x；（2）設線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為yy0（x2），可得x5，y0是的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由可得直線AB的方程為yy0（x2），即x（yy0）+2 代入y26x可得y22y0（yy0）+12，即y22y0y+2y020 ，由題意y1，y2是方程的兩個實根，且y1y2，所以1y021（2y0212）1y02+180，解得2y02，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h|CM|，所以SABC|AB

17、|h，當且僅當9+y02212y02，即y0，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以SABC的最大值為【點睛】此題考查根據(jù)焦點和準線關系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關系常涉及韋達定理整體代入，拋物線中需要考慮設點坐標的技巧，處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.18（1）（2）【解析】（1）首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可；（2）設，由，即可求出，則計算可得；【詳解】解：（1）圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為，即圓的極坐標方程為.（2）設，由，解得.設，由，解得.，.【點睛】本題考查了利用極坐標方

18、程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（1）見解析；（2）【解析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，所以，因為，所以平面，又平面，所以.（2）設，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，又，所以，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，由平面幾何知識，得.則，所以，.設平面的法向量為，由，可得，令，則，所以.同理，平面的一個法向量為.設平面與平面所成角為，則，所以.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點考查了空間向量的應用，屬中檔題.20（）證明見解析（）【解析】（）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；（）如圖建立空間直角坐標系，設，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30，列出等式，即得解.【詳解】（）如圖，連接交于點，連接，則是平面與平面的交線，因為平面，故，又因為是的中點，所以是的中點，故.（）由條件可知，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，設，則，設平面的法向量為，則，即