復變函數(shù)重要知識點總結

1、第一章 復數(shù)及復平面一、基本概念和主要結果:1.且數(shù)域及復平面：規(guī)定i =寸二工復數(shù)集C 上|?=H十9,1,底1,則實數(shù)集及UC在C上規(guī)定加、減,乘、除運算，給豆數(shù)集一個代數(shù)結構，則且數(shù)集成為且領域(可看成是實數(shù)域 映擴張而來)設 N = % + “ i =% + i， 胺定義1.1 6 土不一( a2j + (bl b., ji.得馬=(a+ 外)(% + 厚)一(%/ - 6也)+ i(a也十 %，),4 %+6J %,十句均 用工一七匕三二門7=可前廠+|可干 )復數(shù)域上引進一種拓撲結構:任爸W已名=% +增向=L +電,苞與&的距離zx - %| = /(Qi 1)2 + (“ 一為

2、產(chǎn),從問發(fā)數(shù)域成為夏歐氏空間，在這個空間可以比義鄰域棣念，為在復平面此 引進極限作好了準備.發(fā)數(shù)集、二維平面的點集及平面上的向量集構成了一個一一對應關系.復數(shù)的二角表示：之二 |z|(cosArgz+i sinArgz), 一 |苞|cosArg+i sinArgN,之？ 一 |2|cosArg2 + i sin Arg221.樂爸=1爸1 設2 1kos(ArgW I Arg,J + i sin(Ar% + Argxa)j,z 設J三=黃hMArgA - Args,) + i sin(Arg% - Arg22)-義if 稱為第數(shù)zl I iy/的共擾數(shù)，記為三(，和彳也稱為互為共扼數(shù))，z和

3、三關于第 平而實軸對稱,z =同Arge = Args.2 + K還可以令以下表示：Z = %+iy,則Z = _Q二.”=豕(2 一句，用于化簡，證明一姓代數(shù)式: 復數(shù)z = |z|cos Arg + i sin Args的乘轅和開方運算:短” =z,n-os(7z?Argc) + i si【GArg2), C 2.(整數(shù)集)z = ： /z cos Argz) + i sin ( : Args j , n 為大于等于 2 的正整數(shù).兔球而和獷充第數(shù)集。8在三維空間中,作球而S:產(chǎn)+獷+ 2=,把X0Y平面石竹z = / + i 平面,取球.而上V(O.O,D 稱為球極,可建立起笑平面C。S

4、 一 N的一個一一對應：作連接N J X0Y平面上任一點工，英0)z +zZ _ NIrl2 1的直線，直線與球面的交點是工,(/./. /),就有，=e4、/ = 7T.朱:一.弁規(guī)卜卜 + 1)(kl2 +1) IW + 1定復平而上的 個理想點LN對應，稱此理想點為復平面I：的無窮遠點OO,記。8 = CUx，從而 Cqq與S建立了一個對甌.復平面的拓撲：定義1.3宏燃悉以卜概念(定義) 鄰域：U(ar0.r) = zz - z0| r,5 6 C).(2)去心鄰域：)(/) = c|0 上 一 0J (),。(“口少至。，稱是E的聚點.(5)內(nèi)點：集E, F.3 U (x0.r),使U

5、(4.)C ，稱為是E的內(nèi)點.X*(6)邊界點：集E, eC, Vt0.U(%、力。壬仇5/)聲/ 稱與為E的邊界點.(7)邊界：山集E的全部邊界點所組成的集稱為R的邊界，記為(8)/包：7? = a，；u?. 孤立點：。EE3r0,使得U(n.r)nE = S,稱。為E的邠立點.(10)開集：集E的點全部是內(nèi)點，稱E為開集.(11)閉集：集E的補集是開集，稱E為切集.(12)有界集:3r0,使得月UU(0,r),稱E為有界集.(13)無界集：不是仃界集，稱為無界集.(14)緊集：有界閉集稱為緊集.(15)集D的連通件：集D中任兩個仃限點u以用仃限個首尾相接的折稅連接.(16)區(qū)域：連通的開集

6、稱為區(qū)域.(17)曲線：設2=e=1加Xt) + ilniN,a WtWb的點n之軌跡，稱為曲線.(18)連續(xù)曲線：若曲線？ = 2(。/W卜向也這/皿連續(xù).(19)簡單連續(xù)曲線:連續(xù)曲線乞= z().，W 。,411Y/怎 (4b),4rz2.rz(J(20)簡單閉曲線:簡單連續(xù)曲線z = %(), / E “旦2(a) = z(b).(21)單連通區(qū)域D：區(qū)域D內(nèi)任何簡單閉曲線的內(nèi)|x域中符一點都屬于D.(22)多連通區(qū)域:不是單連通區(qū)域,稱為多連通區(qū)域.二、例題與練習:1.1求i的四次方根.解：因 i = cos + 2人兀)+i sin+ 2力r),所以a=cos ( J .) 4-i

7、 sin0.1.2,3則cW+isin/cos +*而口.cos +，)藉嗎 +4cos6 + 9) +/ 7F 3、w仁十刃.注：第.章定義了指數(shù)函數(shù)/(句=，產(chǎn)和歐拉公式 =cose+ i Sih仇此題可利用復數(shù)2的指數(shù)表 達式2 = zel Argz計算囚為i =/(號+2V),所以i的四次方根(四個)是：d吉,/住十年),/(之十)5年一州)即一臺ic哈.L2已知/斗之+ 1 =(),求2 +式斗七3之值.解：23 1 = (z 1)(22 I 2 + 1),由已知z1 I 5 4 1 =(),故z3 1 =。即Z是i個三次單位根 從而 Z” =產(chǎn),，=%,爐=i,因此 z +算 +

8、* = /+2+ 1=().1.3設二是任意一個不等于1的n次單位|禮求1卜2 +/+ + 丁-L的值1 _ /解：因 Z” = i,z/1,則 1+z + / + + n 1 = - = (). Z證明：若z是實系數(shù)方程a網(wǎng)*+ 網(wǎng)1 + a加+6=0的根，則三也是其根.證：因為對任意自然數(shù)】I,有三=(可3又因為明為實數(shù)當且僅當 = %山已知z為方程/嚴+%嚴一】+。&+*=0的根，所以有%泮+%濟一1+*4+(=。對上式兩端同時取共挽運第，得田=0)Q/口 +Q12T + + Qn_1N + Q” = 0于是 a0(5)n + at(z)n 1 41-an tz + an = 0 即司也

9、是 aown + awu 1 + + aw _xw + an = 0 的根.用 cosl J j Hin 0 表示 cos5.解：cos 沛=Re(cos5+i sin 50) = Re(co$(9 + i sin(9)5 = Re(eos5/7 + 5i cos4 sin 0 -10cos3 0sin2 9- lOi cos? 0sii】O + BcosOsiiJ。+ i sin5 0)二 cos30 - 10cos30sin2/? + 5cos0sin4 theta.同時也得到:sin56 5cos4 OsinO - 10cos2sin3+ sin同L6若8于0,試證明sin 5 + si

10、n (+ 1) 01 + cos 0 + cos 2。+ + cos2=.sin 今八 八八 8sg - cos (n + I)sin 0 + sin 2。+ 一卜 sin n6 =.2sinf證：令 z = cos + I sin 8. zn cos “6 + i sin nff又因為1+z +/+.- zlltl za、1 - lcos(?i +1)0 + i sin(/i +1)8即 1 + (cos 0 + i sin 0) + (cos 2 + i sin 2。)HF (cos nO + i sin nO)= ：1 (cos 0 + i sin 0)從而(1 + cos 0 + co

11、s 20 HF cos nO)+ i (sin 0 + sin 2。+ + sin nO)1 (cos(n + 1)0 + i sin(n + 1)(1 cos0 4- i sin。) /8)f0)一(一 cos-2 -Si/J- 2(1-cos (9) - 4 sH其中 f0 |1 cos(n+l)l9(l cos)4 sin(n I 1)。sin6 +“sin8(1 cos(n-+ 1)6 (1 cos0) sin(n 卜 1)6 整埋后印可得a( f(3) sin 4- sin (n + 5) TOC o 1-5 h z 1 + cos 0 + cos 20 HF s nO = Re -

12、 =7l4sir/打2sinf cosg cos( + J)sin 0 + sin 2。+ + sin nO = Im =.4sin2f J2 sin 3集月上二i.J中,i是E的聚點,其余各點均為孤立點.集= ；+1i,| +；一，一中旬一點都是E的孤立點,是它的聚點但不用于E.滿足條件0 arg(z - 1) 2 V R，z 0和中=1z 137110滿足條件 - 7TT 1整理后，得 (/2)2所求的點集是(6+ 1)2 + /2 2的外部U件為半平血的所仃點組成的集合，是單連通無界區(qū)域.第二章 復變函數(shù)本章用微分方法研究攵變函數(shù).一、基本概念和主要結果：定義2.1設E是夏平面C上的點菜

13、，如果有個法則上 使得V看= i +3w= t/ + ivC叮11對應，則稱/是E上確定的燈變函數(shù).注:w = (N.y) + iu(i.y)即一個且變函數(shù)等價十兩個二元實變困數(shù).記A = /(E) = /(a:)|z E 為函數(shù)/)的象集，如果/是E到A的一個雙射，則E和A是一彳對應.定義2.2設義旬在集E上確定，得是E的一個聚點，o是一個均常數(shù)，如果Y50.m8 = 打 0，使得當a: U n0(2o)時，12)-八I V ，則稱。是函數(shù)/當,趨近于7時的極限.記為 lirn /=a.注:令八=& +必2 E J(z) = (.“)+皿I,2 =+ i?/,% = / + i%，于是有下列

14、結論:hrn J z = a /1，則稱函數(shù)/G)是e趨近于7時的無窮大，記為也？ /6) = oo.a%ZEE定義2.4設函數(shù)w = / 在無界區(qū)域E上確定, c是 個有限復常數(shù)，如果Ve 0.三=仁) 0，使得當z 6 E. 時，|/(z) -a| 0,三0=夕(4)0,當/,設|。 時9 1f| 4 則稱函數(shù)fM是z趨近于od時的無窮大，記為Jim f(z = oc.G OC江E定義2.6設函數(shù)w f(z) u(x.y) + i v(x.y)在集E上確定且E的聚點% E ,如果lim /(z) 一 f/(茶)，則稱函數(shù)w = /(z)在入點(對于集E)連續(xù).、注1： f(z)在% = %

15、 + i以連續(xù)當且僅當兩個二元實函數(shù)lim ux,y = u(xa.y6). lim v(x,y)= 7司 0M 一t? ( 2；,?/ ),7若/在區(qū)域E上每一點連續(xù)，則稱/在E上連續(xù).定義2.7設函數(shù)/在集E上確定，如果。，存在只Im仃關。無關的正數(shù)不；蛇)0, 使得李”，之? 11上一工|3時，I/G) /0)|八 則稱函數(shù)/在E上 致連續(xù).定理2.1函數(shù)/仁)是簡單曲線或方界閉區(qū)域E上的連續(xù)函數(shù)則有：/在E上致連續(xù)z)在E上有界,f(z)在.E上可以達到它的最大模和最小模.定義2.X設函數(shù)/(2)設區(qū)域I)內(nèi)確定的單值函數(shù),%W，如果魄XE、上)二,存在H等于復數(shù) 則稱2)在點可導或可

16、微或行導數(shù)C,記為(%) = ”.定義2.9如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點可導(可微)，則稱函數(shù)/仁)在區(qū)域D內(nèi)解析.如果 f(z)在4的一個鄰域內(nèi)解析,則稱f(z)在z。點解析.如果/在I又域G內(nèi)解析而閉區(qū)域方C G,則 稱/(z)在閉區(qū)域萬上解析.注：實變函數(shù)美卜和、差、積、商以及復合函數(shù)等導致的運算可以推廣到更變函數(shù).定理2.2設函數(shù)f(z) = (,”) + i v(x. /)在區(qū)域I)內(nèi)確定，那么/(z)在點z = x + i!/D可微的 充分必要條件是：在z =q+ i ，膻(6. y)及近工、/)可做口滿足=.=-.定理2.3設函數(shù)/=u(x,y) + ivx.y)在區(qū)域D內(nèi)確

17、定，那么f(z)在區(qū)域1)內(nèi)解析的充分必要 條件是：y)與u(x, y)在D內(nèi)可微且在D內(nèi)滿足=,=.注：在函數(shù)/(z)仃導數(shù)的情況卜：/=a + ib =寡+ ii定義2.10指數(shù)函數(shù)肝的定義:-=t + iy w C, f(z)=工+=e，(cosy + i sing)有以下性 質：fr R. fx) = c.d，/在C上解析日.卞=d.C-l/Wv,z2ec,九外十芍)=/(爸)人祀).WzWC,/(之)至 0./()= e2 仃周期 27ri ,f(z + 2力)=/.映照性質：f(z) = rr把任何帶形區(qū)域(Z平面)B = zz G C” e R.C huz + 2tt雙射成 平面

18、上除去0及射線arg= o的整個平面.注：指數(shù)函數(shù)/(z)=Q是一個無窮多葉函數(shù).定義2.I I對致函數(shù)Lnz的定義：z W C z R 0,作為指數(shù)函數(shù)w =小的反函數(shù)w = Lnz = In z + i Argc.|l| b Argc = arg z + 2kKt 因此 ；=az = In z + i argz + 2kna = n z + 2kM (k G Z),這里的 hi之 稱為Ln:的主值，其中一六 argc ii2l - Ln%.(2)關于對數(shù)函數(shù)w = Lru多值函數(shù)單侑化問題.由w - Luc = ln|?| I i Args,使Lni成為多俏函數(shù)是因為Argc = arg2

19、 I 2k天,A Z引起，將支 點0和8用一條無界簡單連續(xù)曲線a連接,在C 。上可將Liu分斛成單值連續(xù)分支，并將 各單值連續(xù)分支獷充到割線的上沿和卜沿，0和8是Ln:的無窮階支點.(3)在每個Ln?的單值化的區(qū)域內(nèi)的每一點處仃半二=1 ,從而每個單值連續(xù)分支也是解析分支.dz 2(4)對數(shù)函數(shù)w = Lru的映照性質：它的一個分支w = 1nBl + i argz + 2km (一萬 arg z 六)把z平 面上的區(qū)域雙射成w平面上山(2k - l)r Imw (2k + l)7r所確定的帶形區(qū)域.定義2.12后函數(shù)的定義：當之r0時，記=產(chǎn)=。口舊 當n =。時，z。=0(是正實數(shù)).(1

20、)當。為整數(shù)時，產(chǎn)是單值函數(shù)：當。=一(既約分數(shù)，幾三1)，則之。是幾值函數(shù)：當Q是無理 H數(shù)或虛數(shù)時，之。是無窮多值的函數(shù).(/Mz 1 山N。= enLnc = ealnz,尸2而i，對于Lnz相應的單值連續(xù)分支內(nèi),-=-=一：=。- eansk dz zdL(3)討論饗=之！= &歷根式函數(shù)在復平面上以負、實軸(包拈0)為割線而得的區(qū)域D內(nèi)仃兒個不同的 解析分支：M= 詐|/5kz+2-)(開打)=詐1-i 。牛,( = 0 ,2, 平一 1).(4) w -寸，的映照性質：設產(chǎn)中c為正實數(shù)，9為正實數(shù)11. () 3、aw 2訂，若在z平而上取正實軸 作割線(包含0)得區(qū)域DZ 1僅產(chǎn)

21、在D”內(nèi)的-個解析分支，考慮。，內(nèi)角形A： Ovargzvw, 則.把夾角為露的角形A雙射成夾角為S3的角形月.定義2.13三角函數(shù)的定義：正弦函數(shù)Hin2 = -/.氽弦函數(shù)cosz =-在全平面C 有定義,cos?為偶函數(shù)，siriz為奇函數(shù).cosz, sinz均為周期函數(shù),周期為27r.cos(Z + z2) = cost】 cosz2 - sin%】 sinz2.siu(zx + z2) = sinzt cos+ coszx sinz2.cos21 + sin2 z - 上岸=-sin n,黑町=cosz (cosh, sin z在全平面C解析). d/az(6)不再滿足 cos?

22、? 0, sin2 z0, Icoszl 1. |sinz| 1.可進一步定義：lan:=.cot z =COS 5COSN11, sec a = esc z =.sin zcoszsin 2定義2.14 關于反一角函數(shù) w Aretans(是山 z - tan確定)Arctanz -|Ln(2 - i) Ln(2 + i) + ;ri,若檢定Ln(z 一 i)及Ln(z + i)在某一點z0 土i)的值是hi(z - i)及n(z +i),相應的切的值為 w = arctan z =濡ln(2 - i) - ln(2 + i) + ;ri |.則 w 在點 2 的其他他為：w =，|ln(z

23、 - i) + 2自成In仁 + i) - 2灼萬i + 打“ =arctan+ kn (k Z).可;檢證在過平面Cl僅線段，H + iylz =().也| j =z+-.2 I zzl 2i I zx) 2 z zz zj z復變函數(shù)/仁)=3力+皿.)，其中N.y還可表示為 =tcos仇= rsin仇 故/也可表 示為 /(二)= (r.，) + i 試用 r,表示 f(z)=示解：/卜)=z? - (r cos 0 + ir sin f)2 - r2 cos 20 4- i r2 sin 2().函數(shù)w = / + y + i +廣、在z平面上上任何點均1極限.解：因為二元實函數(shù)似,)

24、二N十加以心切一 I + F在任何點都仃極限.函數(shù) w = / + + i 在(0.0)無極限./ + /解：u(x, ) = x2 + 4, r(z.!/)=聲 一因為一元函數(shù)而加=治在。)無極限.5討論)_三+ ?在2 = 0點的極限.解：記2 = rd,則宅=rc+ (t2 = 2cos26.這里 9 =，irgz HP f(z) = 2cos(2arg2), z 的輻角可取各種數(shù),當2一0 時，取 argN = 0,則 liin f(z) = 1；取 arg2=；,arg z=0不存在.2.7在z的主軸角-it argz W不時，討論argxr的連續(xù)性.則 lim f(z) = 0,因

25、此 lim 二 十2-0 _2-0 z Z解：我們有argz=0.9：0時:h = 0,詫0時 當工0.y0時 當1 0)時，呵agz-*-0lim arctan 空 手f，工2liin (arctan +開)=一5+開=, x()lim亨=苧n=0 22II%則 liin arg 2 = arg當 20 是負虛軸 I 的門: % = ii/0 (/ ()時, lini 8rg 2 上.liin arctan 號=一今x1?一%lim_ (arctan J = f 7r = f%一0-L%(-?) = -5則 liin arg z = arg %力當無為負實軸上的點：而=/(孫01arctan

26、 - + ttxIy=開，lirn arg2 =lim juctan二一開J7o一%z=-7T.y，o=，|2i訓 H|l u(x.y) =，2/|,以工,公二=0.du而=lim &r 0.(,() “(0,0) llim,r 00 而=&i)ulirn2Mo.go) _limA = o.Oy羽f)g” (所以lim arg;:不存在在原點處，mg，不確定.綜匕除原力及負實軸上的點外，arg;在嵬平面內(nèi)處處連續(xù).2.8證明/()一 巫尹的實部、虛部件(0.0)滿足C-R條件,但f(z)在工=0不可微. 證：因 f(z) = y/ lmz2同埋可得在（0,（）.= =（），故 心.“）隹t =

27、 0點滿足C-R條件、但在zA/ g) - *0)=(I ,=、二 ? Ar + idy，因而,0段黑=忌刖。=。、即/在Z = 0不可微.=02.9證明若函數(shù)/生.平平而解析，那么在卜T平面解析.證：設函數(shù)Fz 而 在下半平面任取%, 2為下半平面異于力的點.小。）=Hm 尸口一小。）=iim一與 N 一 41%可一 JG j三一當lim空匕與 之一為因/在上半面解析，則UZ）存在（Z。是下半平面的點）即而在卜半平面解析.2.10設f（z）在區(qū)域I）內(nèi)解析，如果|/（之）|在D內(nèi)為常數(shù)，則/仁）在D內(nèi)為帝數(shù). 證：設z） = M + im山已知，得小+22=。若。=0,顯然 =。=0,故/仁

28、）= 0, 若C R 0,由u2 I v2 = C分別乘關于x.y偏導，得2u2udu五du瓦dv+ 2v = 0dv+25因/在D內(nèi)解析，則du _ dv du _ dvdr dy dy Ox將代入置換和募du0瓦石=,(3),(3),(4),（du dvu + v = 0盅窺，航狗=囚；:=（/十”）ro,則解此方程組，得意=慧=0、(91/山c-r條件,得 而一而二o,則u = G.V-山常數(shù)即/&) Ci + g 為常數(shù).1 d” eta ()v241 證明在極坐標卜.的 Canchy-Riernann 條件:-= - . =-r.證： 設 /0 =?/) + i r(.r, y).

29、x = r cos 8. y = r sin /du du &r dx()u Ou&u-=-(-rsin) + -rcx),&v dv ,、 Ov . Z1 =丁 cos+ sm uv (Jr ()yih Ov .、 dv+ 瓦 9SS在直角坐標系卜的C.R條件：黑?與 ux uy ()y ux比較和，得如冷比較（2）和（3），得意=*, du 1 dv du dv反乙山而=而及而=7而，利用上述（1）、（3）、（4）,得：Oududvi）vcos 0 +sin。=cos6sin 仇dxoydyOxdu dvdx dycos 8 +du c)vdy * dxsind = 0.a，、因cos仇s

30、ing不可能同時為零，則- （jt （）y珈auX ，,一 ( 仇一力a sin+ + ，針加一徹。一一即得CR條fldu dv 加. dvdx dy dy Ox2.12設是區(qū)域I）內(nèi)的解析函數(shù)，證明（）iL ciu a%fl） /（-）的實部和虛部在I）內(nèi)仃任意階導數(shù)L滿足1叫山記。方程 +左=o,初 + = （）.（2）在D內(nèi)，有d2 a2 不十而I小)|2 = 4|U匕證: 因/（二）在D內(nèi)解析，則/在D內(nèi)有任意階導數(shù)，從而/仁）的實部和虛部在D內(nèi)就有任意階導設f（z） = （嗎?/） + （3. ?/）在D內(nèi)解析，則（與彼）,”（工,）在I）內(nèi)偏導存在M.()u,=石+i比較上式兩邊之

31、實部和虛部，得=J/nrl o2ua2 tza2 t92 0即赤+麗=。芯+而= /3)=uh- it |/(-)|2 = y2 + v2,dv dv .du . d (du 石=汨f&J 3 =瓦電)后十I/U)!2=2I 2Or2+ ：4| 廣 r)|=4du2荻i) 而d2c+ 2 +2dudv2仇大一+ 2v 的（叫d2u+ W2 oy2 d2v 十同f / 22 講 22后()+嘮(+馬=而ff2u2.13 試求 Ln(l + i).(-l)-2，+i.|sin2|2 的位.解：Lri(l +i) = In |1 -fi 14-/Arg(l +i) = g In 2+ i ar 以(

32、1 十 i)+ 2卜雷=；ln2十 i (:十 2k?r) , A e 第, ()i =6 iLn( D = 2AM l)ri = I l)x 名21，=/ I I i)Lu2 = 11 I i )i In 2 i 2krri = f】12 2 i i (In 2 I 2E) = 2c *工 IqSHjL 2) -|- sill (In 2)|. k R 2,=sin2 jr(cosh2 y sinh2 y) + sinh2 y = sin2 x + sinh2 y個一%+i4_ c-i二 2i=：sinz cosliy + i cosh sinhcosh2 g 十(1 sin2 x) cos

33、h2 y(1)八2)=靖，則/c+ ,取 2因 liin 屋=4-OC. lim c； =0,則 lim e* 不存在, I0卜z0-n0故屋在方=0不解析，即C，在N = 8不解析.|sin(i + iy/)/二-(c y - c) cosx + i (e y + e)sin j：2isin2 tcosh2 y 十 cos2 x sinh2 y = sin2 t2.14若2 = sin3,則a為z的反正弦函數(shù),記為加= Arcsig 寫出它的解析表達式(利用對數(shù)函 數(shù)).巴一“一.解：由 n = sins 即2=，整理得(/產(chǎn) 一 2i z/* 1 = 0.乙1解得 cu, = i-I- /

34、1 z2 (這里 y/1以己含正、仇兩值)，則 w = Arcsine = J Ln(ie -I /1 乒).2.15設函數(shù)/在z = ”解析，那么我們說/在z = 8解析討論函數(shù)*Ln言.禹在z = co的解析性. 解：(2) /()= Ln * :,則 / - | = Ln ?= LiJ +2=m(dhnnLn( + z) 一 Ln(l z)是 個多伯:s - 1Z/二 一函數(shù)，N = 0不是支點，乂 f (I)的每個單色分支在z = 0處解析，則/(z) = LnU 的每個單值分支在E = X是解析 的.八/=1+7 則,二廠不,它的兩個單值分支在2 = 0不解析,乂 f (2)在z平面

35、上是雙值函數(shù)，工-0為支點,則 /(N)=2.16在復平面上取正實軸作割線,試在所得的區(qū)域內(nèi)取定z (-1 a 0)在正實軸上沿取正實值的一個解析分支,并求這一分支中在2 = -I處的：在iE實軸下沿的色。、 取定函數(shù)Ln?在正實軸上沿取實值的一個解析分支，并求這一分支在z=-1處的值;在正實軸下 沿的值.解:(一)0和8是居Ln,的支點(二)作以正實軸為割線可將一，Lnz分解的單值分支(.0 丁 eaLnz =刈加4”424初，卜e 在正實軸上沿取實仇的 個分支為d =*即o argz “| 2,11 _ ea,nx(cos2;ra 4 i sin 2ka).Lnw = In |z| + i

36、 arg z + 2km （k & Z）在iE實軸上沿取實值的解析分支為Lju = In |:| + i arg2 (0 W argw 2tt),在這一支 Lll（-1） = 111 | - l| + 1 7T = 17T在正實軸下沿 z = z 處，Ln；r = In |.r| + 2ni Inx + 2zri.2.1求函數(shù),（1 一 z）2（l _依/2）（0 小v 1）的支點，證明它在線段一;-W -1, 1 W 1 W ；的外 部能分解成解析分支，并求在z = 0取正值的1個分支.解：W = /（z） = /（1 - 22）（1 - k2Z2）=%（2 - 1）（2 + 1） （z -

37、 G + ；） （0 A, ）在.的起始值叫為叫=&廳廳儲小叼山+么）,讓2從z起沿曲線C逆時針繞一周回 到西，10值為“，-kc7H*（%+2汗+%+%+% 1 = -1，貝lj Z =是支點同埋可證Z = -1yZ = ；,?=一；均為支點討論Z = OC是否是/（2）的支點：作簡單連續(xù)閉曲線C使名=1,土:均含在曲線C的內(nèi)區(qū)域，取C上任一點苴，在此點叫二 A.g貸E洪也見凡）,當之沿著C逆時針f；繞一周回到時，a.%,%.心均不變，仇.外4。 各斬角均增加2*此時1 =七百寸/7的+2MM 21r+4+2尸卜+2R =皿，因此z = 8不是支點作簡單連續(xù)閉曲線C伙2 = 1和2 = :在

38、C的內(nèi)區(qū)域,Z = -1,2=一1在C的外區(qū)域，取C |： 任點G，在此點叫=/（4）=4學用/儲（小勺卜%）,當Z沿巖曲線C從4逆時針環(huán)繞一周回 到 Z1時，吟.3了3,乙均不變，4 = arg（2, - 1）4 = arg （% -；）均增加 2n, % = arg（% + 1）,公= arg （7 + J 沒有變化，此時 ，=/（3,） = y 孱（久 5+%+%+2-。）=%同理，件簡單連續(xù)閉曲線C使之=一1和2 = -3在C的內(nèi)區(qū)域，2 = 1,3 =；在C的外區(qū)域，也會 出現(xiàn)上述情況，電不變，綜上，在笈平而上作如卜割線- -1.?/ = 0:1.r W 1 = 0,在所得的區(qū)域內(nèi)

39、/=，（1一）（1 一爐力（0 Z: )(，+1一 Z*)= (&，%)(%卜1 一隊)一 E 似Q)(隊 r 一塊)k=0丸=0太二 0n-1m-1n-1+i (金,“i 一隊)+ 入)十1 一 小斗 MQ,%)(%+1 %)LA=0k=lk=Q記A =nax|您+1a.i =4產(chǎn)I (公+i%戶,k = 0,1, 2,，九一 1,若不論對的分法和每個或的選取如何，當八一 0時，&)(%-】一工)的極限存在，則稱這一極限為小)沿曲線)的積 A:=O分，記為/仁)心即I f Q = li! /()(與十i 一 弓.)=/ udx - vd.v + i / vch + tidy, yA 0fc=

40、oJy八招女積分化為了二元實由數(shù)的第二類曲線枳分.定理3.1若函數(shù)/=y)十i,北)沿？連續(xù)，則/沿7可枳.若曲線)：2 =二(/), 3T,則復積分/心=/ /以也(小13把完積分化為實積分.定理3.2復變函數(shù)枳分的基本性質.若/。在簡單曲線)上連續(xù)，則/(xfz) dz - a / /(z)dz, q 是一復常數(shù)/(z)+ 認2)卜物=J /(2)2 /(?)d2，其中是由連接而成/ /(z)dz /仁)&, 7表示沿7的反方向I f(z)cz W / |/(z)|dz7A 若在)上有A3 L為曲線)的長度,M和L都是力限正數(shù),那么定義3,2若在區(qū)域D內(nèi)恒有/ /,則稱放 為z)在D內(nèi)的

41、個原函數(shù)或不定積分 除去可能相差一個常數(shù)外，原函數(shù)是唯一確定的.定理3.3 Caiidiy定理 設Jz)是單連通區(qū)域I)內(nèi)的解析函數(shù).(1)設C是D內(nèi)任一條簡單閉曲線,那么 /皿=0,(2)設C是D內(nèi)連接7及z兩點的丹一條簡單曲線，則沿曲線C從%到z的枳分竹山先和z所決 定，而不依賴于曲線C,記為/(C)dC (積分。道路無關).定理3.4設f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么(Z)在D內(nèi)有原函數(shù).定理3.5亞連通區(qū)域D上的Qmchy定理：設D是攵連通區(qū)域，其邊界是山n+1條簡單閉曲線 c，G，c八周成，cq,.C中何一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)，血.且所有這些曲線都在C”的 內(nèi)區(qū)域內(nèi)，/

42、0)在方上解析，。表示D的全部邊界，則，/(z)d? = O.這里.枳分是沿7按關于區(qū)域D的正向取的.一注：復江通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的原函數(shù)*=，/則產(chǎn)生多伯問題.柯西公式定理3.6 Cumhy枳分公式：設M域I)的邊界C是由布亞條互不相交的簡單曲線 (1 W，) 所組成，其中C包含其他的0,(2 W Y 2, /修)在區(qū)域在上解析，那么在D內(nèi)任一點z, f(z)= 2與4一 J *注：定理中/在區(qū)域。上解析，可減弱為了在D內(nèi)解析，在。= UC上連續(xù).定理3.7解析函數(shù)的平均值公式:設函數(shù)/在區(qū)域|2一%| V向內(nèi)解析，在閉區(qū)域|之一個| W斤上連續(xù)，則/(%) = /+/。)岫(0 r R).

43、定理3.8在Cauchy積分公式的假設卜，f (二)在D內(nèi)仃任怠階導數(shù)1”)二 L，).n!/7Tdem =1定理3.9 Cauchy不等式:設f在以C ： | % = & (0 p。V +cc)為邊界的閉圓盤上解析，則 ，叫浦| , A“p)Wh = T2 )其中 M(p)是 M(p) = max (0 p 0).Of |=。定義3.3如果/仁)左C上.解析，則稱/(?)為整函數(shù).定理3.10劉維爾定理：有界整函數(shù)必為常數(shù).定理3.11莫勒拉定理：如果函數(shù)八n)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)1.對D內(nèi)任一條簡單閉曲線C,，dz =0,則義z)在D內(nèi)解析.C兒個更要定理、公式的小結(相U關系)：二、例題與練習

44、：設C是連接飛和z兩點的他單曲淺，則(2)/,dz=g(22_2；)證:山亞枳分計兌 / (u + i v) dz = I udx - vdy + i / vdx + udy/()= 1 即 nx. y) = 0、z = X： 4 i= % + /，則 / 22 表示為：尸：z = , W 0. 1|; V : z = J + i t, |0. 1|,在?上，Rec = t,(1(U：在產(chǎn)上,Rez = 1. dz = i d,Rez de = / tdt + O Jo故 / Rec de = / Reck +2求/苫，n為整數(shù)，r : k| = p.解：令N =0 w J S 2萬，故 dz

45、 = i3叫的02泊當幾/ 1時當n= 1時此例可推廣為計兌z a)yj02力當北豐1時當7, = 1時證明/+ i“2)d二w “，r為連接i到i的右平頂周. 證：在 r 上，x2 + y2 = 1 而 |j/2 + i z/2| = Jr1 + / W 夕，+ y2，乂的長山為7T，則開=7T.|z - |dz|.3.5解:設z于是，原式e,則 |1| = dd. |c 1| = 1 - J yj( cos/9)2 戶* . 0=/ 2sin - d? = 8.- . B+ siir 0 2v? l cos 2 sin 廠.4求 L 4 。 ：=2.方在?| = 2內(nèi)仃二個不解析點，Z =

46、 l,以7 = 1為心,( 1)為半徑作圓周G和Q，山復連通Cauchy定埋/ = / + /于是Jc Jc J 5/一 1從而1 rdz1 rdz=2 JC2 口1212dzCt 斤+i(62+ 1r dz=；(0 2i) = -Tri.=；(2“i 0) = Tri.7= / r + / 一r = 一涓 + 福=0 1 JC1 2- 1 JC2 爐-1解法二：分別以之=l,x = 1為心，p（ 1）為半徑作圓周C和。2,利用Cauchy積分公式，得d之 I - ； dz = 27ri - Jr; z-z -+ 2方z + 1 吟1=Tri I zri = 0.3.7求%(9一/)(N +

47、i)dc,G ： |w| = 2.解：函數(shù)/=的不解析點為z = 士3, Wilt 在w 2上解析.由柯西積分公式，得 y - zy 一 產(chǎn)原式=/ 、二dz = 2朽3.8計算積分/ 那一支.丁!)27F二 51其中C表示單位圓C依反對針方向從1到1的枳分，被枳函數(shù)聯(lián)= -1解：因在vzl = -1那一分支內(nèi)積分即fz y/ze*21r 0 W arg 2tt,在單位圓上 = 0 W。V 2tt, ck = i/d/則I3.9 設 /(z)=ea(3rg+2jr)3d + 7( + 1=/ = / ie- dO = 4.Jo -泊 Jo1k 求/(l + i).解：所求的 E = l+i.|

48、l+i| =，3.3.1。證明則/2汨(6 + 6i +7)3G + 7 + 1- + 131).=2泊(3+ 7? += 2?ri ()z + 7),于是 /(I + i)=/c,，（/*的千其中C是圍繞。的一條簡單閉曲線.證：右邊=京?。–_0），用zn 汨 r誦說,/ca 0嚴】左邊.(川)23.11設/在原點的鄰域內(nèi)連續(xù),證：W f（z）在灰點連續(xù)：Ve 那么lim r Q(Cr = re.z = |reitf| = r 0,當 z 6 時,有 |/(?) - 7(0)1 V J 取/(r/)皿 2不/(0)/（，/卜場一I /（o）de/（廿）一/（0小附& /|/（再）一0）|（步

49、2咯Jof2srill e的任意性，得lin】/ /（re1 ）1。 2開/.d ./O3.12 （代數(shù)學基本定理）代數(shù)力程。/n+a,+ %z + 4 =O4I）必有根.證:設/（2）= AZ-+ azT 如果/（z）在voo無零點,則分大的陽0），當|z|/f時，就才. +（ixz + a0 （反證法，在 OO是解析的L1 t 30時，/不t 0, I片此如取充/iz1 I/ 1,另一方面，在w8上連續(xù)，故在W K上可取到最大值V,那么在V+oo就有 J1心，/ f(z)(k = 2行】/k,必有根.3.13如果z)在|z-nJ %內(nèi)解析且lim z/(z) = 4 JT8A9 Kr是圓|

50、n 一 %| = r,積分依反時針方向.注：本題是關于無窮遠點的區(qū)域的Cauchy定理.證：作圓閉=R,使得z k z0| & ru C z|眨- zj丹U 磯慟 %解析，在.明和小圍成的閉區(qū)域上f(Z)解析，用復連通的Cauchy定理I /(z)dz= /(z)dz,Ji 0,3R(s) 0,當 H R 時,有 |4 一川=zZQCZ對中的R選擇滿足(2)中的R，于是由/(z) -2V e,得/一:=京5 (/也一力,L，a 親 3卜1 L (/司也1 r I 4 1c萬4/3一1即()，使得點2及曲線C均含住圓盤K% :W治之內(nèi)部，隹山曲線C和圓KRt)圍成的夏連通區(qū)域C；內(nèi)及邊界上，/解

51、析，lllCiurhy積分公式：由此得等式(/)“ 1！匚=-/十而12m設F(0 =黑是一個在KI R。上解析的函數(shù),一 N因 lim f(z) = CYf 則 lirn C,F(C) = lint 、)= a, S-*0C(TOCTOC 1 - -其中 Kr ： KI = R,由13遨的結果,對任何H島,有工 (C)dC = a, 2tf】JKn再ihaiuchy 定理：/ NG(K= / R(),K, Jkr。Jkr由”集盥女乂若二在C的內(nèi)M域G內(nèi)，山夏連通的Cauchy定理，得=-/ + ”.則在力上解析, L 1 / G / 1 /“04一如2方K j&第四章 級數(shù)本章用級數(shù)方法研究

52、解析函數(shù)一、基本概念和主要結果：定義4.1.發(fā)函數(shù)序列爸,之1（a-+G ） 叮實數(shù)序列%里卜作黑1相對由。設.。0 +廝； O.mv = .V（c） 0,當八 N時，|z 一川 0.3V = N（e） .V.p =1. 2 .時, |&V1 +汴+2卜十加+序列2收斂的充分必要條件是：物 0.3V = N（6 。使得 當m.n N時區(qū) zu 0,3N = .V（c） 0 （與比夫），使得當/I N、z W E時，| 九一| 0TN = N 0 L尢美）使得當z E. n C = L2.時/葉1 + ju+2（z）+.+ ；+p（z）| 0.三VN 0（無關使得”仇N,z W 7?時|/n（Z

53、）p（Z）| U,=N0（與z無關），使得當匕，=12.時|九十小）一;；（2）|尸=ao+aC-soH+an（z-co戶十為嘉級數(shù),二為品變數(shù)，（12）是任給熨常數(shù)“H定理4.10 （Abel第 定理）.如果科級數(shù)a（z 在21（r 6）收斂，那么對滿足|z z（）| 一 2|的任何2, 即（2 - 2。）”都收斂. n定理4.1L如果下列條件之成立（1） / lini| （l/Alembert,） ，i a” I = lini晨（C&uchy法）n/ lini|（Cauchy-Hadaniard法）.那么當0“（三 對的收斂半徑為當，=0時, = +8.邙= +oc時.A = 0. n定理

54、4.12.設/在圓盤U : |之一的| A內(nèi)解析，那么在U內(nèi)/=fM +鏟已一比）+ 崎&n一*o）2+- +（2-、產(chǎn)+定理4.13.函數(shù) N）在卻解析的必要。充分條件是；它在打的某一部城內(nèi)仃幕級數(shù)展式。“仁 如廣= n/其中為=/（%）E =小押（笈=L2,）,解析函數(shù)的事級數(shù)展式是唯一的.定義4/0,設函數(shù)/仁）在4的鄰域U內(nèi)解析，UJ仁o） = O，那么稱力為了的零點。設/在。內(nèi)的T;gor展 式是/（z） =（n no）+2e 劭產(chǎn)+ ”（z 藥產(chǎn)+，若行正整數(shù)#0,而對于nV m,a” = 0, 則稱初是/的 i階零點.定理4.14.設函數(shù)/仁）在列解析，旦是它的個冬點，那么或者/

55、（封在為的一個鄰域內(nèi)恒笠于零，或者 存在那的一個鄰域。在其中如是八n）的唯一零點。零點的孤立性）定理4.15.設函數(shù)z）在區(qū)域。內(nèi)解析,如果z）在0內(nèi)的一個圓盤內(nèi)恒等于零,那么/（2）在。內(nèi)恒等于 零.定理4.16.如果函數(shù)/（切在區(qū)域。內(nèi)解析，井口不恒一于零,那么/（z）的每個零點比/個鄰域,在其 中小是/（N）的唯一零點。定埋4.17,設函數(shù)/及。在區(qū)域/）內(nèi)解析，方是內(nèi)內(nèi)彼此不同的點心=L2,），井旦點列益在。內(nèi) 有極限點。如果/（NQ=g（zQ（A=1,2,）,那么在。內(nèi)/=g（解析函數(shù)的啡一性定理）定義4.1L稱級數(shù) qz-為Laurent級數(shù)，11?即為且常數(shù).當a_.二0(幾=1

56、.2,)小|Laurent級 n= 00 48-oc4-00數(shù)就是Taylor級數(shù)。當級數(shù)心仁 卻尸及士 的仁 加廣播收斂時，則稱Laurent級數(shù) %(z n=0n= -1九=-oc力產(chǎn)收斂。當E an(z 一4產(chǎn)在設-引 n=0w=-J夫1內(nèi)絕對收斂目.內(nèi)閉一致收斂，則 Q/N-4廣在圓環(huán)必 此一功|況2內(nèi)一致收斂目.內(nèi)閉一致收 n=oc然定理48.設函數(shù)/在圓環(huán)。：1 |z Nol 2(0 電 定3這甲.Q表f(殺十1公，=0, 土L 土2是圓上-zq = p,p是滿足用 p rt= OC 他的任何數(shù)。定理4.19.設Laurent級數(shù) 即(z -4產(chǎn)在。:凡 憶一劭| 也(0 Ii R

57、2 +8)中內(nèi)閉 ,致收 九二一 oc斂于函數(shù)g(k)，那么 an(z -%廣就是g(z)在/)內(nèi)的Laurent展式。 n=-oc；I-：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)/(二)的Laurent展式 寸an(z -產(chǎn)是唯一的. n=c定義4.12.設函數(shù)在去心圓盤。：0 |z-%| (0 R +oc)內(nèi)解析，那么稱而是/仁)的 孤立奇點，在。內(nèi)，/仃Laurent展式/= 即(二一 11.中即=六幾，港= 0, 土1, 2 )/是圓 |n = p(0 p A)。In = -L2 .時.a” =0,稱 No 是/(?)的川去奇點； 當Q rn+0, ifijn = 0,稱h是/仁)的血階極點；加果仃無限個整

58、數(shù)幾 0,使得心豐0,稱如是 z)的本性奇點.定理4.20.設函數(shù)/(N)在內(nèi)0 %一襯 及(0 R%推論：在定理4.20的假設卜，卻是/(z)的可去奇點的必如與充分條件是：存在若某一正數(shù)的 R，使 得/(Z)在0 |z 2ol 0內(nèi)有界。定埋4.2L設函數(shù)/仁)在0 上一次I (0 +OO)內(nèi)解析，那么、是JC)的極點的必怏方充分條件 是 lim /(Z)= OC.z-ND推論:在定理4.21的假設下，為是/的m階極點的必要。充分條件是】iin(z 制片/=a m，這 甲W是一正整數(shù)，是一個不等于零的句數(shù)，定理4.22.設函數(shù)/(力住0 |2 - 20| (0 kW 40C)內(nèi)解析，那么、是

59、/(2)的本性奇點的必要Lj充分 條件是：不存在有限或無窮的極限lim /(切.定理4.23.設函數(shù)/(z)在0 |而| R(0 R +oo)內(nèi)解析，那么藥是/(z)的本性奇點的必要與 充分條件是：對于任何力.限或無窮的發(fā)數(shù), 在0 V上-4| 內(nèi) 定仃收斂于zo的序歹Mi，使 得 liin /(5) = 7(Weiestrass定理). n *oc定理4.24.設函數(shù)f(z在0 |z(i| R(QR +oc)內(nèi)解析，那么/是的本性奇點的必要與充 分條件是：對任何發(fā)數(shù)7壬乂，至多可能仃一個例外，在0設-為|R內(nèi)，一定有一個收斂于知的點 列，使得/%) = (= 1,2，).(Picard定理)

60、定理4.24表明：解析函數(shù)在本性奇點的鄰域內(nèi)無窮多次的取到每個仃窮復位，至多可能去掉一個位 (稱為Picard例外值).定義4.13.設/但)在H 同幾 令n = i，按照A 0或A = 0,得在0 |必 =或() 131V +oo內(nèi)解析的函數(shù)夕(=八力，其Laurent展式為胃（3）= 翳k=一。0如果3 =。是9）的可去奇點,3階）極點或本性奇點,那么分別稱z = OO是/（2）的可去奇點, 3階）極點成本性有點.（1）如果 = L2,忖，,=0、則稱z= x是/的可去奇點, 如果只看仃限個（至少一個）整數(shù) 至0,則稱之=8是/（到的極點,.如果行無窮個整數(shù)0,使得的,盧0,則稱z = 8