7.3 空間幾何體積及表面積（精講）（解析版）

1、7.3空間幾何體積及外表積（精講）思維導(dǎo)圖名稱梭柱陵臺(tái)圖彩A B點(diǎn)CA BD9底面互相平行且相等多邊看互相平行且相似例檢互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)發(fā)交于一點(diǎn)側(cè)面彩狀平行四邊彩三角彩睇彩多面體|心|底面為|平行|側(cè)棱垂直|直平行|底面為后二 底面I工巾叢,1刨棱與底面I 回接旬平行西方形層矗 于底看 I六總體I w 匡處U鈾等自理任I邊 1 匡處空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其外表積體積旋轉(zhuǎn)體e直觀圖畫法：常用斜二測(cè)畫法原圖彩中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直現(xiàn)圖中，*軸、/ 軸的夾角為45 （或.135 ） Z軸與一軸和/軸所在平面垂直.原圖彩中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行

2、于X軸和N軸的線段在 直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?外表積體積柱體（棱柱和圓S 裊*=S - + 2S .V=Sh錐體（梭維和囿律）s 2“=s，+S /3 ， 且 Vn rcf = - x -x 4 = 6/3 ， 而a、- m 匕 d 341 oczi 32VgBCE E-BjCG = 5 /一818c BX-BCE 36，二18技 綜上：VbBCGDE 綜上：VbBCGDE考點(diǎn)四生活中的空間幾何【例4】（1）（2021 安徽高三）九章算術(shù)是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，在卷五商功重有一問題：今有溝,上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈.問積幾何？答曰：四千

3、三百七十尺.意思是說現(xiàn)在有一條水溝， 截面是梯形，梯形上底長(zhǎng)一丈五尺，下底長(zhǎng)一丈，水溝的深為五尺，長(zhǎng)七丈.問水溝的容積是多大？答案是 4375立方尺.假設(shè)此溝兩坡面坡度相同，某人想給此溝外表鋪上水泥進(jìn)行固定，不計(jì)水泥厚度，那么需要水泥多 少平方尺？（一丈等于十尺）（）A. 4375B. 1875 + 35075 C. 1750 + 350石D. 700 + 3506（2） （2021 甘肅白銀市高三其他模擬（理）木升子是一種民間稱量或盛裝糧食的工具（如下圖），呈 正棱臺(tái)形，一般由四塊梯形木和一塊正方形木組成，其上口是一個(gè)正方形，下面是一個(gè)封口較小的正方形. 現(xiàn)有一木升子（厚度忽略不計(jì)），其上口

4、周長(zhǎng)為52 cm,下口周長(zhǎng)為40cm,側(cè)面等腰梯形腰長(zhǎng)為8 cm ,那么該木升子的側(cè)面積約為（）（結(jié)果精確到O.lcn?,參考數(shù)據(jù)：7247 15.72）A. 90. 4cm2B. 180. 8cm2C. 361. 6cm2D. 368. 0cm2【答案】(1) D (2) C【解析】（1）依題意，該溝是一個(gè)底面是梯形的直四棱柱,底面梯形的上底長(zhǎng)一丈五尺，下底長(zhǎng)一丈，高5尺，棱柱的高為70尺,因?yàn)樵摐蟽蛇吰旅嫫平窍嗟龋云旅鎸挒椋?2+（2）2 = 述, V2所以此溝外表為三個(gè)矩形的面積，矩形的長(zhǎng)為70尺，寬分別為10尺，述尺，施尺，所以面積共計(jì) 22為700+ 3506平方尺.應(yīng)選：D（2

5、）由題意可得該木升子上口邊長(zhǎng)約為13cm,下口邊長(zhǎng)約為10cm,故側(cè)面等腰梯形的高左卜4-9普=胃刖），所以該木升子的側(cè)面積為* 二七361.6（叫.應(yīng)選:C.【一隅三反】1. （2021 黑龍江佳木斯市）蹴鞠（如下圖），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠 最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5 月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.某蹴鞠內(nèi)切 于三棱錐S A8C, 54_1_面43。，AB1BC,必=4, AB = 3, BC = 4,那么該蹴鞠的體積為（）、41V4

6、?A.兀69一71169一 714D. 471【答案】B【解析】如圖,【解析】如圖,SAJ_ifA3C, BCu平面ABC,：.SABC,又且SAcAB = A,3。，平面5鉆，可得SA = 4 , AB = 3 , BC = 4,三棱錐S ABC的體積V = xx3x4x4 = 8； 3 2外表積 5= x3x4 + x3x4 + x5x4 + x4x5 = 32. 2222設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為R，由等體積法可得：；x32xH = 8,3得R = 749兀.169兀.164內(nèi)切球的體積為V= 71X 3應(yīng)選：B.2. （2021 江蘇南京市高三一模）鉞（y海）的本字其實(shí)是“戊（yu）”，是

7、一種斧頭.在中國(guó)古代，長(zhǎng) 江流域以南的少數(shù)民族都被稱為越人，由于民族很雜部落眾多，也稱“百越”，有學(xué)者指出，“越人”的“越”, 其含義可能由“戊”而來，意指這些都是一幫拿著斧頭的人.此外，“戊（M）”的本意和“戊” 一樣，也 是指斧頭.如圖是一把斧子，它的斧頭由鐵質(zhì)鍛造，它的形狀可以近似看做由上下兩個(gè)多面體組合而成， 上部是一個(gè)長(zhǎng)方體，下部是一個(gè)“楔（月3）形，其尺寸如圖標(biāo)注（單位：cm）,鐵的比重為7.87g/cm3,斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實(shí)心，這只斧頭的質(zhì)量（單位：g）所在的區(qū)間為（）A.(800,1200) B. 1200, 1600) C. 1600,2000) D, 2000

8、,2400)【答案】A【解析】【解析】10由題得幾何體有一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)三棱柱和兩個(gè)三棱錐組成,長(zhǎng)方體的體機(jī)3x5x5=75； TOC o 1-5 h z 175三棱柱的體積：一x3x5x5=一；22兩個(gè)三棱錐的體積：2xlxlx3x5x- = ；3 22 275 25所以幾何體的體積為75+ + =125 , 22所以這只斧頭的質(zhì)量為7.87 x 125=983.75.應(yīng)選：A3.（2021 江蘇南通市高三其他模擬）中國(guó)氣象局規(guī)定：一天24h里的降雨的深度當(dāng)作日降水量，通常 用毫米表示降水量的單位，1mm的降水量是指單位面積上水深lmm.如圖，這是一個(gè)雨量筒，其下部是直 徑為20cm、高為6

9、0cm的圓柱，上部承水口的直徑為30cm.某同學(xué)將該雨量筒放在雨中，雨水從圓形容器 口進(jìn)入容器中，24h后，測(cè)得容器中水深40cm,那么該同學(xué)測(cè)得的降水量約為（）A. 17.8mmB. 26.7mm C. 178mmD. 267mm【答案】c【解析】由題意，水的體積V = 71x10 x10 x40 = 4000兀（cn?）,容器口 的面積 S =乃 x 15? = 2257i（cm2）.降雨量=40） x 17.8（cm） = 178mm.225.該同學(xué)測(cè)得的降水量約為178mm.應(yīng)選：C. （2021 福建廈門市高三二模）2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心（水立方）的設(shè)計(jì)靈感來于威爾弗蘭泡沫，

10、威爾弗蘭泡沫是對(duì)開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為1,那么該多面體外表積是（）開爾文胞體A. 973+6973+81273 + 6D. 1273+8【答案】C【解析】棱長(zhǎng)為1的正方形的面積為1x1 = 1,正六邊形的面積為6x,x1x1xY3 = 迪，222又正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，所以最多有6個(gè)正方形，最少有4個(gè)正六邊形，1個(gè)正六邊形與3個(gè)正方形相連，所以該多面體有6個(gè)正方形，正六邊形有6x4+3 = 8個(gè)，所以該多面體的外表積為8x2叵+6 =

11、 1273+6，2應(yīng)選：C.（2021 貴州高三期末（文）如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為16,當(dāng)細(xì)沙全部在上面的圓錐內(nèi)時(shí)，其高度為圓錐高度的二（中間銜接的細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部2后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，那么此沙堆的側(cè)面積為（）A. 4e乃32后兀16布?！敬鸢浮緿解析】細(xì)沙在上部容器時(shí)的體積V = x x 42 x 8 二三二, 33流入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設(shè)高為九,128萬1 9那么一 xx 8一4=，33所以4=2 ,下部圓錐形沙堆的母線長(zhǎng)/ = 病淳 =2V17，故此沙堆的側(cè)面積S側(cè)= x 8 x 2 JF7 = 1

12、6后兀.應(yīng)選：D.常見考法考點(diǎn)一 空間幾何體基本概念例1 （1） （2021 赤峰二中高三一模（文）以下說法中，正確的有（）個(gè).各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；過球面上任意兩點(diǎn)只能作球的一個(gè)大圓；三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形；梯形的直觀圖可以是平行四邊形.A. 1B. 2C. 3D. 4. （2021 浙江高三期末）水平放置的A6C按斜二測(cè)畫法，得到如下圖的直觀圖，其中BO = CO = 2, AO=6，那么ABC 是一個(gè)（）A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.三邊互不相等的三角形【答案】（1） A （2） B【解析】（1）如兩個(gè)同底的三棱錐構(gòu)成的六面體，不是三棱錐，故錯(cuò)誤；過

13、球面上任意兩點(diǎn)與球心共線時(shí)，可以作球的無數(shù)個(gè)大圓，故錯(cuò)誤；一條側(cè)棱垂直于底面直角三角形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)的三棱錐，滿足題意，故正確;因?yàn)槠叫杏赬軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，故錯(cuò)誤.應(yīng)選：AAO在y軸上，AC在軸，因此AO_LBC,在原圖形中AO = 26,BC = 4,ZABC = ZACB = 60 ,三角形為等邊三角形.應(yīng)選：B.【一隅三反】. (2021 曲靖市第二中學(xué))四邊形Q4BC的直觀圖OA5C如下圖，04 = 38。，OAJ_C, Sc=8, CDI/y, CE，=叵,。為OA的三等分點(diǎn)，那么四邊形。43。沿V軸2旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體的體積為()【答案】B【解析】

14、因?yàn)?=正,CDlly, OAEC,所以CZ = 1, 2由三視圖知原圖形為等腰梯形，如圖等腰梯形OA5C, CO是梯形的高，CD = 2CD = 2,OA = OfABC = BfC,所以 OA = 38C,S()ABC =-x(OA+BC)xCD = -x4BCx2 = 8 , BC = 2, OA = 6, 22延長(zhǎng)BC, AB分別與y軸將于N, E,四邊形。鉆C沿y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體可以看作是是三個(gè)直角Q4E, OCN, aNBC旋轉(zhuǎn)所 形成的圓錐的組合體.由NC = 00 =04 = 2 = ON, NE = NB = 4, 3體積為 V = ttx62 x6-x22 x2-

15、ttx42 x4 = 48tt .333應(yīng)選：B.（2021 浙江高三期末）等腰梯形/式現(xiàn)繞著它的較長(zhǎng)底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）A. 一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B. 一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐C.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱D.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)【答案】B【解析】將等腰梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，如下圖：D矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱，直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；因此，將該等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可得幾何體為：一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐.選：B.3.（2021 浙江高三期末）如圖是一個(gè)水平放置的直觀圖、它是一個(gè)底角為45；腰和上底均為1,下底為血+ 1 的等腰梯形，那么

16、原平面圖形的面積為【答案】2 +后【解析】:平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形,，平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2,上底邊長(zhǎng)為1,梯形的下底邊長(zhǎng)為1+及，.平面圖形的面積S=l + l；x2 = 2+夜.故答案為：2 +應(yīng).考點(diǎn)二空間幾何的外表積【例2】（2021 全國(guó)高三其他模擬（文）如下圖的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，扇形所在圓的半徑R = 5 扇形弧長(zhǎng)/ = 4萬，那么該圓錐的外表積為（）B/1A. InB.1+ 2石,C.（3 +石卜 D. 8萬+石【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為小 那么2%r=4萬，解得=2，圓錐的外表積5表=S底面圓+S側(cè)=/+,

17、/尺=萬*22+ *4乃*石=（4 + 2逐）萬，應(yīng)選：B.【一隅三反】（2021 山西高三三模（文）現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為2,將它重新制作成一個(gè)體積與高不變的圓錐，那么該圓錐的側(cè)面積為（）A. 6忑藐B. 8舟C. 8D. 4叵i【答案】B【解析】根據(jù)題意，圓柱的體積為V =7CZ-Z 33,因?yàn)榈酌鏋檎叫?，那么AO = 0，;PA = d2 + 3=5那么的邊AB邊上的高為（3”=2 ,那么該四棱錐的外表積為2x2 + 4xx2x2 = 12.2應(yīng)選：B.AAB的面積之比為（）A 73n 72r V3DA D C/ U 223【答案】D【解析】如圖，PO是正四棱錐尸

18、一A3CQ的高，A AB設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，那么底面積為因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面所成的角為45。，所以NQ4O = 45。，又A0 = Yq, 2所以 PA = V2 x， 2所以243是正三角形，面積為2=走， 2 4V3 2 L所以S? = a 61,3 一片-4應(yīng)選：D.考點(diǎn)三空間幾何體的體積【例3-1（2021 全國(guó)高考真題）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2, A. 20 + 1273B. 28a/2C.三D.V344,側(cè)棱長(zhǎng)為2,那么其體積為（）28034 （2021 山西運(yùn)城市（理）某正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45。，那么該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖,因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2, 4,側(cè)棱長(zhǎng)為2, 所以該棱臺(tái)的高介=J22-（2a/2-V2）2 = V2，卜底面面積3=16,上底面面積S2 =4,所以該棱臺(tái)的體積v =！Me + S2+廊7）=10 Q-xV2x(16 + 4 + VS) = V2.應(yīng)選：D.【例3-2.（2021 安徽高三其他模擬（文）正方形A3CQ的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn),尸分別是C