衍生品定價(jià)的girsanov變換及鞅方法原理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)下面是從一個(gè)論壇上轉(zhuǎn)帖的，希望能對正在學(xué)習(xí)風(fēng)險(xiǎn)中性變換中Girsanov變換的同學(xué)有些幫助（其實(shí)我自己都云里霧里的）你不要把girsanov變換看得那么神秘。我估計(jì)不少人現(xiàn)在對這個(gè)變換也是僅得其形未得其實(shí)：讓他們做題死套都能得高分，但沒有幾個(gè)明白其中原理。所以我一再強(qiáng)調(diào)，即使對于數(shù)學(xué)，也要理解其物理含義。沒有弄明白物理含義的數(shù)學(xué)，就等價(jià)于沒有學(xué)懂。girsanov變換，本質(zhì)上就是：前提：給定一個(gè)隨機(jī)變量，其對應(yīng)一個(gè)分布函數(shù)A。變換：現(xiàn)在讓此隨機(jī)變量增加一個(gè)漂移（注意，增

2、加漂移后的隨機(jī)變量不再是原來那個(gè)隨機(jī)變量，這應(yīng)很好理解）。計(jì)算：計(jì)算出新隨機(jī)變量的分布函數(shù)B。從分布函數(shù)A計(jì)算出分布函數(shù)B的過程，就是girsanov變換因?yàn)間irsanov給出了以漂移量為參數(shù)，直接從分布函數(shù)A計(jì)算出分布函數(shù)B的通式。就這么簡單。大家學(xué)過起碼的概率論的同學(xué)，應(yīng)該還記得怎么把任何一個(gè)正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表，計(jì)算出原正態(tài)分布下的各種數(shù)值的做法吧？那就是girsanov變換，減掉一般正態(tài)分布的漂移量，使其期望值為零呵呵弄個(gè)駭人的名字，就是鞅。然后對方差處理為1。簡單說，就是把復(fù)雜難以計(jì)算的分布，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分布，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分布計(jì)算出的數(shù)據(jù)，返回去再計(jì)算原分布下的數(shù)

3、據(jù)。這么一個(gè)東西，顯然是沒有任何神奇在里面的。準(zhǔn)確地說，girsanov變換，應(yīng)叫做：“隨機(jī)運(yùn)動(dòng)平移的概率分布計(jì)算通式”。呵呵這個(gè)名字一起，同學(xué)們的神秘感就會(huì)消失了吧？所以很多學(xué)問，與其說太深?yuàn)W，不如說其名字起得太懸乎，大家花在名字理解上的時(shí)間，比去推導(dǎo)還要多。那么，期權(quán)定價(jià)的girsanov變換，導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)中性概率又是如何來的呢？憑借我上面的解釋，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脫離科學(xué)關(guān)系分析，純粹通過數(shù)學(xué)變換，計(jì)算出科學(xué)關(guān)系來這簡直就是神。其實(shí)，期權(quán)定價(jià)的此變換之前，首先就確定一個(gè)科學(xué)內(nèi)容的前提：均衡價(jià)格下，任何資產(chǎn)任何時(shí)候，以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到當(dāng)前的值之期望值相等。呵呵以學(xué)術(shù)

4、性的術(shù)語說，就是：任何資產(chǎn)任何時(shí)候，以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到當(dāng)前的值是鞅。只不過大家對前一種表述都能明白；后一種表述，就都不明白罷了。按道理說，資產(chǎn)價(jià)格的實(shí)際漂移率顯然不是無風(fēng)險(xiǎn)利率，而是此資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率。那么通過girsanov變換，是可以消掉此資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率漂移項(xiàng)，把資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)維納運(yùn)動(dòng)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)維納運(yùn)動(dòng)計(jì)算出的數(shù)據(jù)，返回去計(jì)算平移前風(fēng)險(xiǎn)分布下的數(shù)據(jù)。這個(gè)辦法理論上可以，但問題是算了半天，證券風(fēng)險(xiǎn)還是原來的風(fēng)險(xiǎn)，那對算期權(quán)半點(diǎn)用處沒有。所以這個(gè)辦法搞不定。但諸位可以對girsanov變換的作用有進(jìn)一步認(rèn)識了。所以，期權(quán)定價(jià)就要?jiǎng)佑镁鈨r(jià)格下的風(fēng)險(xiǎn)收益率等效用原理了。即，均衡價(jià)

5、格下，任何資產(chǎn)任何時(shí)候，以無風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)值之期望相等當(dāng)然，此時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)收益率對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)為何，期權(quán)定價(jià)理論是沒有說的了。但期權(quán)理論隱含承認(rèn)：只要可以無風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)，則風(fēng)險(xiǎn)偏好因素再不需要考慮這個(gè)結(jié)論也是預(yù)先假定的科學(xué)結(jié)論，而不是通過什么測度變換來證明的。事實(shí)上，我以為，這個(gè)科學(xué)關(guān)系的認(rèn)定，是首先根據(jù)公式，發(fā)現(xiàn)有這么一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率代換及概率模樣?xùn)|西，然后霸王硬上弓對照提出科學(xué)關(guān)系即西方經(jīng)濟(jì)學(xué)常干的，先稀里糊涂計(jì)算出結(jié)論，然后把結(jié)論認(rèn)作前提，返過去計(jì)算出種種關(guān)系。這樣，第二步：將資產(chǎn)未來價(jià)格的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)，通過微分展開，獲得一個(gè)含漂移的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。（這個(gè)大家很好理解吧？明明資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益率高于無風(fēng)

6、險(xiǎn)收益率，你卻偏偏用無風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)，則隨著時(shí)間變化，當(dāng)前的貼現(xiàn)值當(dāng)然要增長）。第三步：可是科學(xué)關(guān)系要求：無風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)的現(xiàn)值沒有漂移。好了，girsanov用上了。即用girsanov，把漂移值去掉（即為鞅），獲得的新概率分布，不就可以保證科學(xué)關(guān)系成立了么？這個(gè)獲得的新概率分布，就是所謂的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。特別地，大家看到，這里girsanov測度變換，不是對資產(chǎn)自身隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的變換?？紤]無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)之科學(xué)關(guān)系時(shí)，把無風(fēng)險(xiǎn)收益率和資產(chǎn)自身隨機(jī)運(yùn)動(dòng)通過貼現(xiàn)組合在一起，形成的新隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，新隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中，必定出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)收益率與無風(fēng)險(xiǎn)利率之差距而導(dǎo)致的漂移。girsanov變換，則是消掉新隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中的漂移。同樣，這

7、個(gè)概率模樣的東西，也不是真正的概率。它只是科學(xué)關(guān)系的均衡價(jià)格之效用等價(jià)限制下，計(jì)算出來的概率模樣的東西。雖然它不是概率，但其數(shù)學(xué)形式與概率完全一樣，所以概率變換的內(nèi)容仍然適用。再次要說的是，它也根本不是資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的平移，即不是資產(chǎn)價(jià)格實(shí)際分布函數(shù)通過girsanov變換來的。以學(xué)術(shù)語言說：新概率，不是資產(chǎn)價(jià)格實(shí)際概率測度的girsanov變換。它是資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，減去同樣貼現(xiàn)值的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)之差（其差為帶漂移的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)），通過girsanov變換而得到。這種變換，已經(jīng)不再是通過變換后的函數(shù)，計(jì)算變換前的函數(shù)值，而是，直接把變換后的函數(shù)，作為滿足科學(xué)關(guān)系的函數(shù)。其變換后的函數(shù)，能夠

8、不通過變換前函數(shù)，就用于計(jì)算的條件，就是科學(xué)前提之許可：它可以這么做。換言之，如果沒有科學(xué)理論的支持，則，任何計(jì)算，其girsanov變換，只是使得計(jì)算更簡單，但必須最后要回到變換前的函數(shù)，根據(jù)變換前后的變量關(guān)系，計(jì)算出原函數(shù)的各種數(shù)據(jù)。因此，從期權(quán)定價(jià)的girsanov變換過程及其物理意義，我們可以看到，科學(xué)上的均衡價(jià)格和均衡價(jià)格下收益風(fēng)險(xiǎn)等效用原理，才是其前提。它是在這個(gè)前提下進(jìn)行變換，而不是說通過純粹數(shù)學(xué)的變換居然能證明出前提。也可以看出，風(fēng)險(xiǎn)中性概率，就是一個(gè)確定比例，根本不是真正意義上不確定的概率。最簡單的例子，如果沒有科學(xué)上要求貼現(xiàn)值期望不隨時(shí)間變化（資產(chǎn)價(jià)格為非均衡時(shí)，此條件是不能滿足的，必定有漂移值），則后面一系列推導(dǎo)都無法進(jìn)行。必須去掉非均衡價(jià)格中的套利部分，才能進(jìn)行其后的計(jì)算。你說“我不得不懷疑，你的對衍生產(chǎn)品定價(jià)理論的認(rèn)識還停留在70年代。”對此我的回答是：我的書中，反復(fù)強(qiáng)調(diào)大家要弄明白最基礎(chǔ)的理論。不要因?yàn)橐粋€(gè)理論的古老，就不去理解它最前沿的理論，都是建立在這些基礎(chǔ)理論之