隨機信號分析：第六章 窄帶隨機過程

1、第六章 窄帶隨機過程5.1、預(yù)備知識5.1.1、高頻窄帶信號（濾波）0-005.1、預(yù)備知識005.1.1、高頻窄帶信號（調(diào)制）5.1、預(yù)備知識5.1.2、希爾伯特變換: Hilbert Transform1862-1943, 德國數(shù)學(xué)家（1）正交濾波器希爾伯特變換將信號中所有頻率分量都進行了正交變換希爾伯特變換并不總能將一個隨機過程變換成與之正交的隨機過程注意:詳見后文全通5.1、預(yù)備知識5.1.2、希爾伯特變換: Hilbert Transform（2）希爾伯特逆變換教材第300頁式(5.1.44)有誤j-jphase adjustment5.1、預(yù)備知識(P1) 若 為廣義平穩(wěn)(實)過程

2、，則 也是廣義平穩(wěn)的(實)過程，且 和 聯(lián)合平穩(wěn)(P2)(P3)(P4)(P5)隨機過程經(jīng)希爾伯特后有何變化？5.1.3、解析過程及其性質(zhì)時域：滯后(相關(guān))域：頻域：5.1.2、希爾伯特變換: Hilbert Transform5.2、窄帶隨機過程的表示方法cos0tsin0tXI(t)XQ(t)-+X(t)同相、正交分量方法：萊斯表達式同相(In-phase)分量正交(Quadrature)分量包絡(luò)、相位表示方法：準正弦振蕩表達式A(t) :包絡(luò)(過程)(t) :相位(過程) 0 : 中心頻率或載波頻率A(t)基帶過程：功率集中在零頻附近5.2、窄帶隨機過程的表示方法復(fù)包絡(luò)：不一定具有對稱譜

3、解析過程Rice representation5.2.1、萊斯（Rice）表達式5.2、窄帶隨機過程的表示方法隨機信號的復(fù)包絡(luò)為：將其表示為復(fù)指數(shù)形式：其中：所以：復(fù)包絡(luò)包絡(luò)相位5.2.2、準正弦振蕩表達式5.2、窄帶隨機過程的表示方法ej0t 高頻窄帶信號的復(fù)包絡(luò)即為承載信息的復(fù)基帶信號！For amplitude-phase examination!5.2、窄帶隨機過程的表示方法-a3aSCC()0-a0+3aSXX()5.2、窄帶隨機過程的表示方法5.2、窄帶隨機過程的表示方法SA()B 基帶高頻部分補充：基帶信息的提?。ń庹{(diào)）解調(diào)（demodulation）5.2、窄帶隨機過程的表示方

4、法高頻窄帶系統(tǒng)線性包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波器N(t)X(t)A(t)2cos0tcos(t)補充：基帶信息的提?。z波）檢波（包絡(luò)、相位）5.2、窄帶隨機過程的表示方法2()2LPF高頻成分補充：基帶信息的提?。z波）平方律包絡(luò)檢波diffracted wavereflected wavePDFAtAt2RayleighExponentialGaussian narrowband signal5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度Fast (short) fading signals without direct path:高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波

5、器X(t)A(t)2cos0tcos(t)S(t)N(t)寬帶噪聲瑞利分布均勻分布高斯分布5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度回顧2.1.3、隨機過程的概率分布 設(shè)隨機變量 X1、X2 和 Y1、Y2 滿足單調(diào)可逆函數(shù)關(guān)系： Y1 = g1(X1,X2), Y2 = g2(X1,X2) X1 = h1(Y1,Y2), X2 = h2(Y1,Y2)在可取值范圍 Y1、Y2 取值在 Sy1y2 內(nèi)的概率應(yīng)與 X1、X2 在 Sx1x2 內(nèi)的概率相等，其中 x1 = h1(y1,y2)，x1 = h1(y1,y2)，即 fY1Y2(y1,y2)Sy1y2 = fX1X2x1 = h1(y1,y2

6、), x2 = h2(y1,y2)Sx1x2 利用隨機變量二維變換求取隨機信號二維概率密度函數(shù)x1 = h1(y1,y2)x2 = h2(y1,y2)fX1X2(x1,x2)Sx1x2y1y2fY1Y2(y1,y2)Sy1y2 29 / 30回顧2.1.3、隨機過程的概率分布若 fY1Y2(y1,y2) 未知，則 fY1Y2(y1,y2) = fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)(Sx1x2/Sy1y2) 由二重積分有關(guān)知識可知 Sx1x2/Sy1y2 = | Jh(y1,y2) |，其中這樣，我們最終得到（具體例子見 Ch.5）： fY1Y2(y1,y2)

7、= | Jh(y1,y2) | fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)利用隨機變量二維變換求取隨機信號二維概率密度函數(shù)行列式進一步地，分別記 t 時刻包絡(luò)、相位，同相、正交分量的可能取值為a、，xI、xQ，則 包絡(luò)、相位和同相、正交分量滿足下面的關(guān)系：5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度同相、正交分量和包絡(luò)、相位的關(guān)系所以其中5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度同相、正交分量二維聯(lián)合概率密度由于所以 XI(t) 和 XQ(t) 均是高斯隨機變量。由前面的討論又知這表明 XI(t) 和 XQ(t) 是兩個均值為零，方差為2 且相互獨立的高斯隨機變量，由此可

8、得兩者聯(lián)合概率密度：高斯信號同相、正交分量的性質(zhì)5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度將上式代入同相、正交分量，包絡(luò)和相位二維聯(lián)合概率密度5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度并利用 ，最終得到：包絡(luò)和相位各自一維概率密度利用邊沿概率密度，進一步求得瑞利分布均勻分布5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度注意：若信號 X(t) 的功率為 2，則包絡(luò)的均值和均方值分別為 和 （求解見后面例題）：5.4、窄帶高斯信號包絡(luò)平方的概率密度窄帶高斯噪聲包絡(luò)平方的一維概率密度ca根據(jù)變換法：所以指數(shù)分布05.4、窄帶高斯信號包絡(luò)平方的概率密度5.4、窄帶高斯信號包絡(luò)平方的概率密度5.4、窄帶高斯信號包

9、絡(luò)平方的概率密度線性窄帶系統(tǒng)X(t)Y(t)Z(t)線性包絡(luò)檢波器若 Y(t) 的功率為 1W，求 Z(t) 21/2V 的概率5.4、窄帶高斯信號包絡(luò)平方的概率密度總結(jié)： 對于均值為 0，方差為 2 的高頻窄帶平穩(wěn)高斯信號：（1）同相、正交分量均是實平穩(wěn)高斯過程（2）復(fù)包絡(luò)為復(fù)平穩(wěn)高斯過程（3）包絡(luò)（實）一維為瑞利分布，相位一維為均勻分布（4）包絡(luò)平方一維為指數(shù)分布（5）同相、正交分量均值均為 0，方差為 2 （6）包絡(luò)均值為 ，復(fù)包絡(luò)均值為 0（7）相位均值為 1/2 （8）復(fù)包絡(luò)和包絡(luò)的方差均為 22 Gaussian narrowband signal + sinusoid?direc

10、t wavereflected wave隨參信道衰落源存在強直(反)射源5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度Fast (short) fading signals with direct path:高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波器X(t)A(t)2cos0tcos(t)S(t)N(t)寬帶噪聲瑞利分布均勻分布?5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度正弦信號加窄帶高斯噪聲之包絡(luò)一維概率密度fA(a)a5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度 = 2 = 1 = 0零階修正貝塞爾函數(shù)隨機相位信號方差為2的窄帶高斯信號與前面的結(jié)論一致f|(|) = 2-正弦信號加窄帶高斯噪聲之相位一維概率密度5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度 = 1 = 0, = 0+與前面的結(jié)論一致5.3、窄帶高斯信號包絡(luò)與相位的概率密度為了檢測無線電信號 S(t) = A