立體幾何題型與方法學(xué)生

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)空間幾何體題型與方法歸納(文科)考點一 證明空間線面平行與垂直1、如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，點D是AB的中點， （I）求證：ACBC1； （ = 2 * ROMAN II）求證：AC 1/平面CDB1；解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.答案:解法一：（ = 1 * ROMAN I

2、）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC， ACBC1；（ = 2 * ROMAN II）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE， D是AB的中點，E是BC1的中點， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.點評：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化2平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理2、如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD

3、=2AB=2，M為PC的中點。(1)求證：BM平面PAD；(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N，使MN平面PBD；（1）是的中點，取PD的中點，則，又四邊形為平行四邊形，（4分） （2）由（1）知為平行四邊形，又 同理， 為矩形 ，又 作故交于，在矩形內(nèi)， 為的中點當(dāng)點為的中點時，3.【2016高考山東文19】 (本小題滿分12分)如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，.()求證：；()若，M為線段AE的中點，求證：平面.【答案】(I)設(shè)中點為O，連接OC，OE，則由知 ，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分線，所以.(II)取AB中點N，連接，M是AE的中點，是等邊三角形，.由BCD12

4、0知，CBD30，所以ABC60+3090，即，所以NDBC，所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.4、（2016年高考（江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(點 不同于點),且為的中點.求證:(1)平面平面;(2)直線平面.【答案】證明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面. (2),為的中點,. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直線平面 【考點】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系. 【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和證得. (2)要證直線平面,只要證平面上的即可.考點二

5、求空間圖形中距離與體積5、（安徽理17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐FOBED的體積。（I）（綜合法）證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點. 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設(shè)是線段DA與線段FC延長線的交點，有又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.（向量法）過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點，為軸正向，為y軸正向，為z

6、軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由條件知則有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長為2的正三角形，故所以過點F作FQAD，交AD于點Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以6.（四川19） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA（I）求證：CD=C1D：（）求點C到平面B1DP的距離解析：（1）連接交于,又為的中點，中點，,D為的中點。（2）因為，所以,在中，7.【2016高考湖南文19】（本小題滿分12分

7、） 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30，求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】【解析】（）因為又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）設(shè)AC和BD相交于點O，連接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積在等腰三角形中，所以故四棱錐的體積

8、為.8.【2014高考廣東文18】本小題滿分13分）如圖5所示，在四棱錐中，平面，是的中點，是上的點且，為中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.【解析】（1）證明：因為平面，所以。因為為中邊上的高，所以。 因為， 所以平面。（2）連結(jié)，取中點，連結(jié)。 因為是的中點， 所以。 因為平面，所以平面。則， 。（3）證明：取中點，連結(jié)，。 因為是的中點，所以。因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以。因為， 所以。因為平面， 所以。 因為，所以平面，所以平面。9.【2015高考陜西文18】（本小題滿分12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=（）

9、證明;（）已知AB=2，BC=，求三棱錐的體積【解析】（）如圖，連結(jié), 是直三棱柱，=，來源:， 平面,故 又，四邊形是正方形， ，又， 平面，故 （）， 由（）知，平面， S=10.【2016高考遼寧文18】(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，AA=1，點M，N分別為和的中點。 ()證明：平面; ()求三棱錐的體積。（椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高）【命題意圖】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中?！窘馕觥浚?）（法一）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點.又因為為中點所以，又平面 平面

10、，因此 6分（法二）取的中點為P，連結(jié)MP，NP，分別為和的中點， MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面，MN面， MN面.()（解法一）連結(jié)BN，由題意,面面=,面NBC， =1, .(解法2) 【解析】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明；第二小題求體積根據(jù)條件選擇合適的底面是關(guān)鍵，也可以采用割補發(fā)來球體積。11【2016高考新課標(biāo)文19】（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= e

11、q f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點()證明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡單題.【解析】（）由題設(shè)知BC,BCAC，,面, 又面，,由題設(shè)知,=,即,又, 面, 面，面面；（）設(shè)棱錐的體積為，=1，由題意得，=，由三棱柱的體積=1，=1:1， 平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.考點三 探索性問題12、（）如圖1,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將折起,使(如圖2所示). DABCACD

12、B圖2圖1ME.()當(dāng)?shù)拈L為多少時,三棱錐的體積最大;()當(dāng)三棱錐的體積最大時,設(shè)點,分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得.考點分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運用空間向量法對計算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如圖1所示的中,設(shè),則. 由,知,為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立, 故當(dāng),即時, 三棱錐的體積最大. 解法2: 同解法1,得. 令,由,且,解得. 當(dāng)時,;當(dāng)時,. CADB圖a

13、EMxyz圖bCADBEFMN 圖cBDPCFNEBGMNEH圖dN 所以當(dāng)時,取得最大值. 故當(dāng)時, 三棱錐的體積最大. () 解法2:由()知,當(dāng)三棱錐的體積最大時,. 如圖b,取的中點,連結(jié),則. 由()知平面,所以平面. 如圖c,延長至P點使得,連,則四邊形為正方形, 所以. 取的中點,連結(jié),又為的中點,則, 所以. 因為平面,又面,所以. 又,所以面. 又面,所以. 因為當(dāng)且僅當(dāng),而點F是唯一的,所以點是唯一的. 即當(dāng)(即是的靠近點的一個四等分點),. 連接,由計算得, 所以與是兩個共底邊的全等的等腰三角形, 如圖d所示,取的中點,連接, 則平面.在平面中,過點作于, 則平面.故是與

14、平面所成的角. 在中,易得,所以是正三角形,13.【2106高考福建文19】（本小題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱DD1上的一點。求三棱錐A-MCC1的體積；當(dāng)A1M+MC取得最小值時，求證：B1M平面MAC。解答：（I）點到面的距離為 得：三棱錐的體積（II）將矩形饒按逆時針旋轉(zhuǎn)展開，與矩形共面 ，當(dāng)且僅當(dāng)點是棱的中點時，取得最小值 在中， 得： 同理：面14.【2102高考北京文16】（本小題共14分）如圖1，在RtABC中，C=90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1

15、FCD，如圖2。(I)求證：DE平面A1CB；(II)求證：A1FBE；(III)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由。【考點定位】本題第二問是對基本功的考查，對于知識掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決。第三問的創(chuàng)新式問法，難度比較大。解：（1）因為D,E分別為AC,AB的中點，所以DEBC.又因為DE平面A1CB,所以DE平面A1CB.（2）由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F 平面A1DC,所以DEA1F.又因為A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE（3）線段A1B上存在點Q,使A1C平面DEQ.理由

16、如下：如圖，分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由（2）知DE平面A1DC,所以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點，所以A1CDP,所以A1C平面DEP,從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q,使得A1C平面DEQ.考點四 折疊、展開問題15已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 ( = 1 * ROMAN I) 證明平面;( = 2 * ROMAN II)若為正三角形,試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論 分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和

17、數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解: ( = 1 * ROMAN I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB/FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形 BF/ED.,平面 ( = 2 * ROMAN II)如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD ACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角 即.設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,

18、EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, . 在RtADE中, ., 點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.16.【2012高考江西文19】（本小題滿分12分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合與點G，得到多面體CDEFG.求證：平面DEG平面CFG；求多面體CDEFG的

19、體積。【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，則折疊完后EG=3，GF=4，又因為EF=5，所以可得又因為,可得，即所以平面DEG平面CFG.（2）過G作GO垂直于EF，GO 即為四棱錐G-EFCD的高，所以所求體積為考點五 球體與多面體的組合問題17設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.解： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.記E是AD的中點，從而MEAD.ME平面AC，MEEF.設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨設(shè)O平面MEF，于是O是MEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則r設(shè)ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1。當(dāng)且僅當(dāng)a，即a時，等號成立.當(dāng)ADME時，滿足條件的球最大半徑為-1.點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為