5_單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)（44頁(yè))ppt課件

1、 第二章 單自在度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的受迫振動(dòng)2.1.1 振動(dòng)微分方程2.1.2 受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.1.3 受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4 受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5 等效粘性阻尼 2.1.6 簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 受迫振動(dòng)鼓勵(lì)方式系統(tǒng)在外界鼓勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。 外界鼓勵(lì)普通為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)是最簡(jiǎn)單的鼓勵(lì)。普通的周期性鼓勵(lì)可以經(jīng)過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)的疊加。有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程 微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)

2、微分方程的全解2.1.1 振動(dòng)微分方程 2.1.1 振動(dòng)微分方程 簡(jiǎn)諧激振力以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為 具有粘性阻尼的單自在度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次常微分方程。 有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)呼應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)：2.1.1 振動(dòng)微分方程 它與鼓勵(lì)同頻，但有一個(gè)相位差簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 可見(jiàn)，對(duì)于工程實(shí)踐來(lái)說(shuō)，更關(guān)懷的是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，由于瞬態(tài)振動(dòng)只在振動(dòng)開(kāi)場(chǎng)后的一段時(shí)間內(nèi)才有意義。By substituting the particular solution to b

3、e determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations Equating the coefficients of and onboth sides of the resulting equation, we obtainSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-sp

4、ring system under harmonic excitation:穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和鼓勵(lì)的特性。2.1.1 振動(dòng)微分方程 2.1.2 受迫振動(dòng)的振幅B、相位差 的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，呼應(yīng)與鼓勵(lì)反相；阻尼影響也不大。3、 1的附近區(qū)域(共振區(qū))， 急劇增大并在 1略為偏左處有峰值。通常將1，即 pn 稱(chēng)為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻呼應(yīng)曲線(xiàn)愈峻峭，峰值越大。4、在相頻特性曲線(xiàn)圖上，無(wú)論阻尼大小， 1時(shí)，總有， /2 ,這也是共振的重要景象。2.1.2 受迫振動(dòng)的振幅B、相位差 的討論

5、 5 質(zhì)量因子與半功率帶寬共振(仍按 思索)時(shí)的放大因子稱(chēng)為質(zhì)量因子。由前面的公式得質(zhì)量因子與半功率帶寬在1兩側(cè)，幅頻特性曲線(xiàn)可以近似地看成是對(duì)稱(chēng)的。放大因子為 的兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為半功率點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)點(diǎn)的鼓勵(lì)頻率分別為 和 ，它們的差 稱(chēng)為半功率帶寬。利用放大因子的表達(dá)式，可以求得兩個(gè)半功率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率比，即外鼓勵(lì)頻率，留意到 可得質(zhì)量因子反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱和共振峰的峻峭程度。利用上式，可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)估算質(zhì)量因子或阻尼比。例題. 質(zhì)量為M 的電機(jī)安裝在彈性根底上。由于轉(zhuǎn)子不平衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性根底的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)

6、電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)遭到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如下圖。 轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有= h轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。 阻尼比z 較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當(dāng)0時(shí)，0，B0；當(dāng)1時(shí)，1，Bb，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于 。

7、幅頻特性曲線(xiàn)和相頻特性曲線(xiàn)轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較The form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion isMaking the substitutionEq. becomeswhere y = Y has been assumed for the motion of the base. Thus the solution can be immediately wri

8、tten as Response of a damped system under the harmonic motion of the base If the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givesSubstituting into Eq., we obtainandResponse of a damped system under the harmonic motion of the ba

9、se The steady-state amplitude and phase from this equation areandResponse of a damped system under the harmonic motion of the base Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 幅頻特性曲線(xiàn)和相頻特性曲線(xiàn)也可以不按相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解見(jiàn)鄭兆昌，而直接求解質(zhì)量塊的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為即相當(dāng)于質(zhì)量塊遭到了兩個(gè)簡(jiǎn)

10、諧鼓勵(lì)的作用。不論是利用三角函數(shù)關(guān)系還是利用復(fù)指數(shù)函數(shù)，所得結(jié)果與上述結(jié)果一樣。2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的呼應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用 B、 的旋轉(zhuǎn)矢量表示。運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫(xiě)成式不僅反映了各力間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力a力多邊形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 從能量的觀(guān)念分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和耗費(fèi)的能量平衡的結(jié)果。現(xiàn)將討論簡(jiǎn)諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)

11、為周期 1. 激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。 對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差 。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，構(gòu)成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式闡明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它耗費(fèi)系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用耗費(fèi)系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 3. 彈性力 做的功能量曲線(xiàn) 闡明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。 在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力耗費(fèi)的能量2.1.4受

12、迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)呼應(yīng)是瞬態(tài)呼應(yīng)與穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)疊加。先思索在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)的呼應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫(xiě)在一同為通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即根據(jù)初始條件確定C1、C2 。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及鼓勵(lì)要素都有關(guān)。無(wú)鼓勵(lì)時(shí)的自在振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件的呼應(yīng)對(duì)于存在阻尼的實(shí)踐系統(tǒng),自在振動(dòng)和自在伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)呼應(yīng)。穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨鼓勵(lì)而產(chǎn)生自在振動(dòng), 稱(chēng)為自在伴隨振動(dòng)2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 共振

13、時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義, 時(shí)上式是 型,利用洛必達(dá)法那么算出共振時(shí)的呼應(yīng)為 2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 可見(jiàn),當(dāng)時(shí) ,無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振呼應(yīng)可以表示為此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后 ,且振幅與時(shí)間成正比地增大 2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 圖 共振時(shí)的受迫振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)的呼應(yīng).在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為 全解為式中2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 假設(shè)初始位移與初始速度都為零，那么成為可見(jiàn)過(guò)渡階段的呼應(yīng)仍含有自在伴隨振動(dòng)。 2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振

14、動(dòng)的過(guò)渡階段 過(guò)渡階段的呼應(yīng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的 總呼應(yīng)由三部分組成 無(wú)鼓勵(lì)時(shí)自在振動(dòng)的初始條件呼應(yīng)，其振幅與鼓勵(lì)無(wú)關(guān)。 伴隨鼓勵(lì)而產(chǎn)生的自在振動(dòng)自在伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與鼓勵(lì)有關(guān)。 以鼓勵(lì)頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。 第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自在振動(dòng)頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 假設(shè)系統(tǒng)無(wú)阻尼，即使在零初始條件下，也存在自由伴隨振動(dòng)項(xiàng)，并且由于無(wú)阻尼，因此振動(dòng)不會(huì)隨時(shí)間衰減。 因此，無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，普通總是pn和 兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。2.1.5簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 2.1.6 阻尼實(shí)際在工程實(shí)踐中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)常運(yùn)用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化成等效粘性阻尼。等效的原那么是：粘性阻尼在一周期內(nèi)耗費(fèi)的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)耗費(fèi)的能量。假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)依然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗費(fèi)的能量：粘性阻尼在一周期內(nèi)耗費(fèi)的能量：得到