北京市八2021-2022學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，且，則此三棱錐外接球表面積的最小

2、值為（ ）ABCD2已知函數(shù)（）的最小值為0，則（ ）ABCD3執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的的值為63，則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是（ ）ABCD4已知隨機(jī)變量滿足，.若，則（ ）A，B，C，D，5的展開式中的系數(shù)為( )A30B40C40D506已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)，處的切線重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）ABCD17如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（ ）ABCD8已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（）ABCD9在滿足，的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為( )A5B6C7D910已知變

3、量，滿足不等式組，則的最小值為（ ）ABCD11如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）ABCD12設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的取值為A或11B或11CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記最大值為，則的最小值為_.14已知向量，則_.15如圖，在三棱錐ABCD中，點(diǎn)E在BD上，EAEBECED，BDCD，ACD為正三角形，點(diǎn)M，N分別在AE，CD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AMCN，則當(dāng)四面體CEMN的體積取

4、得最大值時(shí)，三棱錐ABCD的外接球的表面積為_.16的展開式中的系數(shù)為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)，的值.18（12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1，數(shù)列bn滿足a1=b1，點(diǎn)P(bn,bn+1)在x-y+2=0上，nN*. （1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=bnan，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn19（12分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20（12分）

5、已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若，且命題“，”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713 (1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”視頻率為概率在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取

6、3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實(shí)數(shù)滿足.證明：.參考答案一、

7、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，且球半徑為，三棱錐外接球表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為故選B【點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作

8、一圓面起襯托作用（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題2C【解析】設(shè)，計(jì)算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像， 結(jié)合圖像，得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.3B【解析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到的值為63，結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下：初始值：，第一步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第二步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第三步：，此

9、時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第四步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第五步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第六步：，此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；故，判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.4B【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，.所以服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，因?yàn)?，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.5C【解析】先寫出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程，即可求得.【詳解

10、】對(duì)二項(xiàng)式，其通項(xiàng)公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.6B【解析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出 在 兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù) ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng) 時(shí)，則;當(dāng)時(shí)，則.設(shè) 為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng) 或時(shí)，不符合題意，故.則在 處的切線方程為；在 處的切線方程為.由兩切線重合可知 ，整理得.不妨設(shè)則 ，由 可得則當(dāng)時(shí)， 的最大值為.則在 上單調(diào)遞減，

11、則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出 和 的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.7A【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.8B【解析】分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有，所以在集合中：最大元

12、素為的集合有個(gè)；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以故選：【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題，其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理，分類討論，分別求解.9A【解析】由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)椋深}可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，滿足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能

13、力.10B【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應(yīng)圖形如下：可知點(diǎn),，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊 的長(zhǎng)度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知 ，以 為直徑的半圓面積，以 為直徑的半圓面積，則，即.由 ，得 ，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.12A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為（1，1）

14、，該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得，解得或，故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】易知，設(shè)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得解【詳解】，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減令，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，則則，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題143【解析】由題意得，再代入中，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意可得，解得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意向量數(shù)量積公式的運(yùn)用.1532【解析】設(shè)EDa，根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過(guò)計(jì)算可以

15、證明出CEED. AMx，根據(jù)三棱錐的體積公式，運(yùn)用基本不等式，可以求出AM的長(zhǎng)度，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)EDa，則CDa.可得CE2+DE2CD2，CEED.當(dāng)平面ABD平面BCD時(shí)，當(dāng)四面體CEMN的體積才有可能取得最大值，設(shè)AMx.則四面體CEMN的體積（ax）axax（ax），當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a2.此時(shí)三棱錐ABCD的外接球的表面積4a232.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.16【解析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令

16、，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）（2），.【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，可得，即，顯然當(dāng)時(shí)上式也適合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)法求和的

17、應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.18（1）an=3n-1，bn=1+(n-1)2=2n-1（2）Tn=3-123n-2-2n-123n-1=3-n+13n-1.【解析】（1）利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項(xiàng)公式；P點(diǎn)代入直線方程得bn+1-bn=2，可知數(shù)列bn是等差數(shù)列，用公式求解即可.(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.【詳解】(1)由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n2)，兩式相減得an+1-an=2an，an+1=3an(n2)又a2=2S1+1=3，所以a2=3a

18、1故an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列所以an=3n-1由點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上，所以bn+1-bn=2則數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列則bn=1+(n-1)2=2n-1(2)因?yàn)閏n=bnan=2n-13n-1，所以Tn=130+331+532+2n-13n-1則13Tn=131+332+533+2n-33n-1+2n-13n，兩式相減得：23Tn=1+23+232+23n-1-2n-13n所以Tn=3-123n-2-2n-123n-1=3-n+13n-1【點(diǎn)睛】用遞推關(guān)系an=Sn-Sn-1(n2)求通項(xiàng)公式時(shí)注意n的取值范圍，所求結(jié)果要注意檢驗(yàn)n=1的情況；

19、由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積組成的數(shù)列求和，常用錯(cuò)位相減法求解.19 (1) (2) 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以可轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為（2）因?yàn)?，所以，所以，即，即?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，不符合題意當(dāng)時(shí)，解可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為20（1）當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）【解析】試題分析 ：（1），分，討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以，當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè) ，所以 ，設(shè) ，則，且是增函數(shù)，所以 。所以分和k1

20、討論。試題解析：（）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，對(duì)，所以在是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值，所以函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，若，則，所以在上是減函數(shù)，若，則，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若，則設(shè) ，所以 ，設(shè) ，則，且是增函數(shù)，所以 當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，即，所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，因?yàn)椋?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21 (1)不能；(2) ；分布列見解析，.【解析】（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求22