基于插值的雨量預(yù)報評價模型的改進(jìn).

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 2005年C題 我們的參賽報名號為（如

2、果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?許昌學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 張 亮 2. 顧崇偉 3. 趙 超 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 張亞東 日期： 2011 年 7 月 13 日基于插值的雨量預(yù)報評價模型摘 要本文討論了雨量預(yù)報方法的評價問題，給出了散亂數(shù)據(jù)擬合的若干方法及誤差確定方法，同時存顧及公眾反應(yīng)的情形下考慮了評價準(zhǔn)則，最后針對評閱中發(fā)現(xiàn)的一些問題作了評述。 關(guān)鍵詞：散亂數(shù)據(jù)插值 誤差分析 一、問題的提出今年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 C題來源于氣象部門的一個實(shí)際問題。天氣預(yù)報與人民群眾的生活密切相關(guān)，如何提高預(yù)報的準(zhǔn)確性是氣象部門非常關(guān)

3、注的問題。本題考慮的是對預(yù)報方法的評價問題。氣象部門研究6小時雨量的兩種預(yù)報方法，預(yù)報位置位于一個等距網(wǎng)格的5347個網(wǎng)格點(diǎn)上。同時在91個分布不均勻的觀測站點(diǎn)實(shí)測各時段的實(shí)際雨量。如何評價兩種預(yù)報方法的準(zhǔn)確性? 二、插值方法要評價預(yù)報方法的準(zhǔn)確性，必須對同一位置上的預(yù)報值和實(shí)測值進(jìn)行比較，計算它們之間的誤差大小。然而。由于條件的限制，我們得到的預(yù)報數(shù)據(jù)和實(shí)測值并不處于同一位置，這就需要根據(jù)已知信息推算出其它位置的信息。有兩種方法：由實(shí)測站點(diǎn)的實(shí)值推算出預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)上的實(shí)測值，或者由預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)上的預(yù)報值推算出實(shí)測站點(diǎn)處的預(yù)報值。若采用第一種方案，由于觀測站點(diǎn)的分布是散亂的，應(yīng)采用散亂數(shù)據(jù)插值方法

4、。散亂數(shù)據(jù)插值方法很多，主要有Shepard插值和徑向基插值。 設(shè)為觀測站點(diǎn)的坐標(biāo),為處的實(shí)測值，為某個預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)。為了由處的實(shí)測數(shù)據(jù)推算出Q點(diǎn)的實(shí)測數(shù)據(jù)，容易想到的原則是，距離越近的點(diǎn)對 Q 的影響越大，距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)對 Q 的影響越小。一個典型的方法是“反距離加權(quán)平均”，即Shepaxd方法。記為到Q點(diǎn)的距離，則定義插值函數(shù)當(dāng)時，否則. (1)于是由散亂點(diǎn)處的實(shí)測值可以得到任一點(diǎn)處的實(shí)測值。按程序1利用Matlab軟件可以模擬出91個觀測點(diǎn)的位置，其站點(diǎn)分布圖見下圖（1）所示，圖中的*表示91個站點(diǎn)位置。圖（1）各站點(diǎn)位置圖另一種常用的方法是徑向基插值。例如用多二次徑向基插值，設(shè)插值函數(shù)為

5、(2)其中為待定系數(shù)，c為常數(shù)，可取為 c=1。根據(jù)插值條件 (3)求解關(guān)于的線性代數(shù)方程組，可得到系數(shù)的值。 若采用第二種方案，上述兩種方法仍然有效，也有參賽隊采用雙線性插值等其他插值方法進(jìn)行計算。具體情況我們在第5節(jié)中加以說明。利用二次三元樣條插值法選取部分?jǐn)?shù)據(jù)對降雨量的觀察圖，用Matlab按程序2可模擬出圖（2）所示部分降雨量的預(yù)測圖。圖（2）部分降雨量預(yù)測圖三、誤差分析記為預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)，為處的預(yù)報值。利用插值方法，得到上的實(shí)測值，記為，這樣可定義兩者之間的平方誤差為 (4)考慮到不同的實(shí)測雨量的預(yù)報誤差對公眾的感受是不同的，應(yīng)采用相對平方誤差的概念，即定義 (5) 當(dāng)，即處無雨時，(5

6、)式的分母為零，必須對這一情形作相應(yīng)的處理。一種處理方式是定義 (6)也可以有其他的處理方法，例如 (7)在此基礎(chǔ)上定義相對均方誤差 (8)也可用連續(xù)區(qū)域中實(shí)測數(shù)據(jù)與預(yù)報數(shù)據(jù)之間的誤差值。用(1)或(2)式等插值方法分別對實(shí)測數(shù)據(jù)和預(yù)報數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。得到整個區(qū)域(記為)內(nèi)實(shí)測值和預(yù)報雨量的分布函數(shù)，分別記為和，相對均方誤差可定義為 (9)對問題提供的41天共164個時段的數(shù)據(jù)分別求出相對均方誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，作為評價預(yù)報方法優(yōu)劣的依據(jù)。四、考慮公眾感受的模型在分級模型中，將不同等級的雨量與數(shù)值建立一一對應(yīng)關(guān)系，如用分別對應(yīng)于無雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨和特大暴雨七個等級。然后建立公

7、眾不滿意度函數(shù)。最簡單的定義方法是 (10)其中表示預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)處預(yù)報雨量的等級，表示網(wǎng)格點(diǎn)處實(shí)測雨量的等級。(1O)式反映了實(shí)測等級與預(yù)報等級相差越大，公眾的不滿意程度也越大這一事實(shí)。但是這個定義較為粗糙，沒有考慮到不同等級的雨量的誤報及不同時段的誤報對公眾的不同影響。 一種處理方法是，對不同等級的實(shí)測雨量，定義公眾不滿意度函數(shù)為 （11）其中表示第等級的雨量的權(quán)系數(shù)，當(dāng)然也可取權(quán)系數(shù)為，表示權(quán)系數(shù)與預(yù)報等級和實(shí)測等級均有關(guān)系。然后對一天中4個時段的不滿意度再加權(quán)求和，得到， （12） 其中表示第個時段的權(quán)系數(shù)，為由(11)式計算得到的第個時段的公眾不滿意度函數(shù)，表示公眾對一天中各時段預(yù)報的總

8、體不滿意度。這樣，根據(jù)41天各時段的數(shù)據(jù)分別求出兩種預(yù)報方法41天的總體不滿意度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，作為評價依據(jù)。 五、評閱中發(fā)現(xiàn)的問題在今年的評閱過程中，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對 問題一般都能很好地理解，查閱了很多有關(guān)的書籍，對數(shù)學(xué)軟件 (如 MATLAB等)也能很好地使用。但也發(fā)現(xiàn)一些問題。 1) 對數(shù)據(jù)的處理問題，很多參賽隊未能采用插值或擬合的方法，而簡單地采用了最鄰近點(diǎn)法。預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)及實(shí)測點(diǎn)之間不可能離得很近，一般都有很大的距離，這是一個常識。因此，最鄰近點(diǎn)法會產(chǎn)生很大的誤差。 有些參賽隊采用了簡單平均的方法，即某點(diǎn)的預(yù)報雨量用圍繞其周圍的4個預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)上的預(yù)報值作平均，由于沒有考慮實(shí)測點(diǎn)與預(yù)報

9、點(diǎn)之間距離的影響，同樣會產(chǎn)生較大的誤差。 還有些參賽隊采用了多項式插值，如雙線性插值，理論上來說，這是一種可以接受的方法，但它過于局部化，實(shí)測點(diǎn)上的預(yù)報值僅依賴于周圍4個預(yù)報網(wǎng)格點(diǎn)上的值。一種解決方法是擴(kuò)展區(qū)域，用周圍16個或更多點(diǎn)作多項式擬合。 2) 在數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用中，絕大多數(shù)參賽隊都采用了 MATLAB軟件，并使用了其中的 griddata函數(shù)來作數(shù)據(jù)插值。但只有少數(shù)參賽隊說明了擬合的方法，并對 griddata函數(shù)中的插值方法加以說明。事實(shí)上，griddata函數(shù)有四種插值方法可供選擇，缺省是線性插值。大多數(shù)參賽隊在沒有弄清方法的情況下，盲目使用數(shù)學(xué)軟件，這是一種不好的傾向， 應(yīng)加以克

10、服。 3) 很多參賽隊在處理數(shù)據(jù)誤差時，采用了絕對誤差。對本題來說，最終結(jié)果與采用相對誤差是相同的，但從問題出發(fā)，這不是很好。在工程問題中，涉及誤差的問題，通常都采用相對誤差。試想，實(shí)際降雨量為001 mm，而預(yù)報值為002 mm；與實(shí)際降雨量為10201 mm，預(yù)報值為1002 mm，它們的誤差帶給公眾的感受難道是一樣的嗎? 4) 在考慮等級問題中，只有極少數(shù)參賽隊考慮了不同等級的降雨量的誤報對公眾的不同影響，而考慮不同時段對公眾的影響的參賽隊就更少了。有一個參賽隊考慮用層次分析法進(jìn)行處理，這是很好的想法，可惜未能深入下去，給出相應(yīng)的矩陣及計算結(jié)果，給人以虎頭蛇尾的感覺。程序1： 29.70

11、00 29.9667;118.1833 119.6833 120.2500 121.7500;plot(x,y，*)程序2：x=1:4;y=1:4;temps=0.0 0.0 64.4 1.6214;0.0 0.0 31.1 1.9988;0.0 0.0 0.0 0.64 ;0.0 0.0 1.1 0.0;mesh(x,y,temps)xi=1:0.1:4;yi=1:0.1:4;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)參考文獻(xiàn)： 1 葉其孝主編大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材(二)M長沙：湖南教育出版社。1997 2 譚永基，曾舍榮，王健用MQ

12、方法數(shù)值求解偏微分方程J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1997，27(4);327-334 3 Hardy R LMultiquadric equations of topography and other irregular surfacesJJournal of Geophysical Researchj,1971，76(8):1905-1915 Rain Quantity Forecasting Evaluation ModelBased on InterpolationTAN Yong-ji， CAI Zhi-jie(School of Mathematical Sciences，b-ldan University，Shanghai 200433)Abstract：In this paper，we study the problem of evaluating different methods of rain quantity forecastingWe describe some interpolate methods for scattering data and the method to estimate the