2020版高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)層級(jí)快練第八章 立體幾何 作業(yè)56 含解析

1、1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sinDB1，CM的值等于()題組層級(jí)快練(五十六)2C.21A.3B.D.210151115答案B解析分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建系，令A(yù)D1，1DB1(1，1，1)，CM(1，2，0)215cosDB1，CM2115153.sinDB1，CM15210.2已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.10510510310C.1B.3D.BE(0，1，1)，CD1(0，1，2)cosBE，CD110答案C解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建

2、立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA12AB2，則B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)12310.253若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120C30B60D150解析設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin|cos120|，又090.30.答案C124已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為()2D.10A.C.321055B.10答案C解析由題意，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，C1OB1D1.易

3、得C1O平面DBB1D1，C1BO即為直線BC1與平面DBB1D1所成的角3B.3C.63則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC(2，2，0)，AD1(2，0，4)，BB1(0，0，4)nAC0，設(shè)平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則nAD0，即取x2，則y2，z1，故n(2，2，1)是平面ACD1的一個(gè)法向量在eqoac(,Rt)OBC1中，OC122，BC125，直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為選C.5.(2019遼寧沈陽(yáng)和平區(qū)模擬)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，則直線BB1與平

4、面ACD1所成角的正弦值為()1A.322D.3答案A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系12x2y0，2x4z0，105，故設(shè)直線BB1與平面ACD1所成的角是，則sin|cosn，BB1|nBB1|41943|n|BB1|.故選A.6若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為()554D.53A.3C.4B.5設(shè)棱長(zhǎng)為1，則有AD5，B1D，DC，答案B解析間接法：由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知B1D平面ACD，B1DDCeqoac(,，故)B1DC為直角三角形35222Seqoac(,B)1DC.383225設(shè)直

5、線AD與平面B1DC所成的角為，則sinh.nCD0，y2z0，nCB03xy2z0sinAD，n.135152228設(shè)A到平面B1DC的距離為h，則有VAB1DCVB1ADC，113heqoac(,S)B1DC3B1DSADC.1151312h，h.4AD5向量法：如圖，取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)各棱長(zhǎng)為2，則有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(3，0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面B1CD的法向量，則有n(0，2，1)1ADn45|AD|n|7(2019河南林州期末)如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E為線1段AB上

6、一點(diǎn)，且AE3AB，則DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為()357C.3D.2335A.327B.4DC1(0，3，1)，D1E(1，1，1)，D1C(0，3，1)答案A解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，nE0，（x，y，z）（1，1，1）0，則即nDC0，（x，y，z）（0，3，1）0，設(shè)平面D1EC的法向量為n(x，y，z)，11xyz0，x2y，解得即取y1，得n(2，1，3)3yz0，z3y，cosDC1，nDC1n（0，3，1）（2，1，3）3

7、35351014，|DC1|n|335DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為35，故選A.8(2019昆明市高三調(diào)研)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.過(guò)點(diǎn)A1作平面與AB，AD分別交于M，N兩點(diǎn)，若AA1與平面所成的角為45，則截面A1MN面積的最小值是()A23C46答案BB42D82解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEMN，連接A1E，A1A平面ABCD，A1AMN，MN平面A1AE，A1EMN，平面A1AE平面A1MN，AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，AA1E45，在eqoac(,Rt)A1AE中，AA12，AE2，A1E22，在eqoac(,Rt)MAN中，由射影定

8、理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN2MEEN4，當(dāng)且僅當(dāng)MEEN，即E為MN的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，截面1A1MN面積的最小值為242242，故選B.9(2019保定模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA12，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的余弦值是()A.C.2332B.D.73371)，G(，)，GE(，)，BD(0，a，1)，答案B解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立aa直角坐標(biāo)系，設(shè)CACBa，則A(a，0，0)，B

9、(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，E(2，2，aa1aa2333663GE平面ABD，GEBD0，解得a2.GE(，)，BA1(2，2，2)，333GE平面ABD，GE為平面ABD的一個(gè)法向量3GEBA12cos，|GE|BA1|23答案435點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，11246333A1B與平面ABD所成的角的余弦值為7.10(2019河北承德期末)已知四棱錐PABCD的底面是菱形，BAD60，PD平面ABCD，且PDAB，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PC上若PFFC12，則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為_(kāi)35解析如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的

10、空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)菱，0)，F(xiàn)(0，)，所以EF形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，E(31242233(37，)4263又平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0，0，1)，4所以cosEF，n35（33）2（7）2（4）21263435，即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為.4353511(2019上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE底面BCFE，DFAE，DFAE1，CE7，四邊形ABCD是正方形(1)九章算術(shù)中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，答案(1)略(2)若是，寫(xiě)出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)

11、記AB與平面AEC所成的角為，求cos2的值17解析(1)AE底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，AEEC，AEEB，AEBC.四邊形ABCD是正方形，BCAB，BC平面ABE.又BE平面ABE，BCBE，四面體EABC是鱉臑，AEB，AEC，CBE，ABC為直角(2)AE1，CE7，AEEC，AC22，又ABCD為正方形BC2，BE3.作BOEC于O，則BO平面AEC，連接OA，則OA為AB在面AEC上的射影BAO，由等面積法得BEBCECOB.，sin，cos212sin2.OB327OB211AB77答案(1)略(2)6以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BD，BA的方向?yàn)閤軸，y

12、軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，2，2，則BC(1，1，0)，BM0，2，2，AD(0，1，1)x0y00，nBC0，則即11取z01，得平面MBC的一個(gè)法向量n(1，1，1)nBM0，2y02z00，12.(2014福建，理)在平面四邊形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示(1)求證：ABCD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值3解析(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB

13、平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.1111設(shè)平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則sin|cosn，AD|，即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為6|nAD|63|n|AD|3.四邊形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD，AB2AD.答案(1)略(2)42解析(1)eqoac(,在)ABD中，ABD，AB2AD，(2)由(1)可得，在eqoac(,Rt)ABD中，BAD，BD3AD，又由EDBD，設(shè)所以AE(1，0，3)，A

14、C(2，3，0)nAE0，x3z0，nAC0，2x3y0，因?yàn)锳F(1，3，3)，所以cosn，AF，13(2019鄭州一中測(cè)試)在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，6(1)求證：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值146由余弦定理，得BD3AD，從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD，所以ABD為直角三角形且ADB90.因?yàn)镈E平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.因?yàn)锽D平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.3AD1，則BDED3.因?yàn)镈E平面ABCD，BDAD，所以可以以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA

15、，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則A(1，0，0)，C(1，3，0)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，3，3)，設(shè)平面AEC的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得n(3，2，1)為平面AEC的一個(gè)法向量nAF4214|n|AF|所以直線AF與平面AEC所成角的正弦值為4214.在eqoac(,Rt)ADC中，由AD3，CD1，可得AC2，AO，n0，AB3xy0，答案(1)略(2)42AEC90，易得AEOACE，AOEAEC90，即EOAC.則A(，0，0)，B(0，0)，E(0，0，)，M(，0，)，D(0，0)，N(，0)，AB(，0)，AE(，0，)

16、，DM(，)，MN(0，)，AEn0，3xz0，設(shè)MPMN(01)，可得DPDMMP(，)，242414.(2019太原模擬)如圖，在四棱錐EABCD中，底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形，CBCDCE1，ABADAE3，ECBD.(1)求證：平面BED平面ABCD；(2)若點(diǎn)P在平面ABE內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且DP平面BEC，求直線DP與平面ABE所成角的正弦值的最大值7解析(1)如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO，ADAB，CDCB，ACAC，ADCABC，易得ADOABO，AODAOB90，ACBD.又ECBD，ECACC，BD平面AEC，又OE平面AEC，OEBD.又底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形，ADCABC90，32AEAO3ACAE2又AC，BD平面ABCD，ACBDO，EO平面ABCD，又EO平面BED，平面BED平面ABCD.(2)如圖，取AE的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN