17-4-泰勒公式與極值問題71頁P(yáng)PT課件

1、17_4 泰勒公式與極值問題26、我們像鷹一樣，生來就是自由的，但是為了生存，我們不得不為自己編織一個(gè)籠子，然后把自己關(guān)在里面。博萊索27、法律如果不講道理，即使延續(xù)時(shí)間再長(zhǎng)，也還是沒有制約力的。愛科克28、好法律是由壞風(fēng)俗創(chuàng)造出來的。馬克羅維烏斯29、在一切能夠接受法律支配的人類的狀態(tài)中，哪里沒有法律，那里就沒有自由。洛克30、風(fēng)俗可以造就法律，也可以廢除法律。塞約翰遜17_4 泰勒公式與極值問題17_4 泰勒公式與極值問題26、我們像鷹一樣，生來就是自由的，但是為了生存，我們不得不為自己編織一個(gè)籠子，然后把自己關(guān)在里面。博萊索27、法律如果不講道理，即使延續(xù)時(shí)間再長(zhǎng)，也還是沒有制約力的。愛

2、科克28、好法律是由壞風(fēng)俗創(chuàng)造出來的。馬克羅維烏斯29、在一切能夠接受法律支配的人類的狀態(tài)中，哪里沒有法律，那里就沒有自由。洛克30、風(fēng)俗可以造就法律，也可以廢除法律。塞約翰遜4 泰勒公式與極值問題 就本節(jié)自身而言，高階偏導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)出泰勞公式作好了準(zhǔn)備；泰勞公式除用于近似計(jì)算外, 又為建立極值的判別準(zhǔn)則作好了準(zhǔn)備. 一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、中值定理和泰勒公式三、極值問題 一、高階偏導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)有如下四種形式: 因此有數(shù)為 例2 注 在上面兩個(gè)例子中都有 稱為混合偏導(dǎo)數(shù) 但是這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都成立，例如函數(shù)它的一階偏導(dǎo)數(shù)為 的混合偏導(dǎo)數(shù): 由此看到, 這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān). 那么 在什么條

3、件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢? 為 形式. 由于 因此有類似地有 這兩個(gè)累次極限相等. 下述定理給出了使 (1) 與 (2) 相等的一個(gè)充分條件 連續(xù)，則 證 令 于是有 (4)(3)由 (4) 則有 (5)如果令則有 用前面相同的方法, 又可得到 (6)在且相等，這就得到所要證明的 (3) 式 合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)順序無關(guān)注2 這個(gè)定理對(duì) n 元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立. 例 由定理假設(shè) 都在點(diǎn) 連 續(xù), 故當(dāng) 時(shí), (7) 式兩邊極限都存 如三元函數(shù)的如下六個(gè)三階混合偏導(dǎo)數(shù) 若在某一點(diǎn)都連續(xù)，則它們?cè)谶@一點(diǎn)都相等 今后在牽涉求導(dǎo)順序問題時(shí), 除特別指出外, 一般 都假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

4、 復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) 數(shù) 同樣存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 具體計(jì)算 如下: 同理可得例3 改寫成如下形式: 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有 自變量的復(fù)合函數(shù)所以 二、中值定理和泰勒公式 二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式，與一元函數(shù)的拉 也有相同的公式，只是形式上更復(fù)雜一些先介紹凸區(qū)域 若區(qū)域 D 上任意兩點(diǎn)的連線都含于 D, 則稱 D 為凸區(qū)域 (圖17-6). 這就是說, 若 D 為 一切恒有上連續(xù), 在 D 的所有內(nèi)點(diǎn)都可微, 則對(duì) D 內(nèi)任意兩 定理17.8 ( 中值定理 ) 設(shè)在凸區(qū)域圖 17 - 6 凸 非凸 的一元連續(xù)函數(shù), 且在 (0, 1) 內(nèi)可微. 根據(jù)一元函數(shù) 其中 中值定理，使得 (

5、10) (9), (10) 兩式即得所要證明的 (8) 式 注 若 D 為嚴(yán)格凸區(qū)域，即 ，都有式成立 ( 為什么? ) 公式 (8) 也稱為二元函數(shù) (在凸域上) 的中值公式. 它與定理17.3 的中值公式 (12) 相比較, 差別在于這 請(qǐng)讀者作為練習(xí)自行證明此推論分析 將上式改寫成 例4 對(duì) 應(yīng)用微分中值定 理，證明存在某個(gè) 之間應(yīng)用微分中值定理計(jì)算偏導(dǎo)數(shù): 證 首先, 當(dāng) , 有 再 定理17.9 (泰勒定理) 若 在點(diǎn) 內(nèi)任一點(diǎn) 內(nèi)有直到 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對(duì)其中證 類似于定理17.8 的證明，先引入輔助函數(shù) (11) 式稱為 的 n 階泰勒公式, 并稱上述 而首項(xiàng) 也可看作 的情

6、形. 件，于是有由假設(shè)，上滿足一元函數(shù)泰勒公式的條應(yīng)用復(fù)合求導(dǎo)法則, 可求得 的各階導(dǎo)數(shù)如下: (12)公式 (11)將 (13), (14) 兩式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒 時(shí)的特殊情形. 此時(shí)的 n 階泰勒公式便可寫作 則僅需內(nèi)存在 n 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)即可, 將它們代入泰勒公式 (15)，即有 與例的結(jié)果 (1. 32) 相比較，這是更接近于真 分近似相當(dāng)于現(xiàn)在的一階泰勒公式三、極值問題 多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng) 用, 這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論. 有定義. 若 極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn) 的極大 (或極小) 值點(diǎn). 極大值、極小值統(tǒng)稱極值; 極 注意 這

7、里討論的極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn) 點(diǎn), 是 g 的極大值點(diǎn), 但不是 h 的極值點(diǎn)這是因 同極值. 同理, 也取相同極值. 于是得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下:定理17.10 (極值的必要條件) 若函數(shù) 在點(diǎn) 值 (注 由定義可見, 若 在點(diǎn)取極值, 則當(dāng)固 存在偏導(dǎo)數(shù), 且在取得極值, 則有的穩(wěn)定點(diǎn). 上述定理指出: 偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí), 極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn). 但要注意: 穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)在上述例 6 中 之所以只討論原點(diǎn), 就是因?yàn)樵c(diǎn)是那三個(gè)函數(shù)的 惟一穩(wěn)定點(diǎn)；而對(duì)于函數(shù) h，原點(diǎn)雖為其穩(wěn)定點(diǎn), 但卻不是它的極值點(diǎn). 與一元函數(shù)的情形相同, 多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在 原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù), 但 于

8、是有 證 由在的二階泰勒公式，并注意到條件二次型 連續(xù)函數(shù) ( 仍為一正定二次型 ) 首先證明: 當(dāng) 正定時(shí)，在點(diǎn) 取得極小 值這是因?yàn)?，此時(shí)對(duì)任何恒使極大值由于因此在此有界 閉域上存在最小值，于是有即在點(diǎn)取得極小值亦取 則沿著過 的任何直線 最后證明: 當(dāng) 為不定矩陣時(shí), 在點(diǎn) 不 極小值, 則將導(dǎo)致 必須是正半定的. 也就是 定的或負(fù)半定的，但這與假設(shè)相矛盾這表明 必須是負(fù)半定的. 同理, 倘若 取 系，定理17.11又可寫成如下比較實(shí)用的形式根據(jù)對(duì)稱矩陣的定號(hào)性與其主子行列式之間的關(guān)若如定理17.11 所設(shè)，則有如下結(jié)論: 是否取得極值 解 由方程組 例7 取得極小值; 取得極大值; 例

9、8 討論 是否存在極值得極值?因 ，故原點(diǎn)不是 的 極值點(diǎn). 又因 處處可微，所以沒有極值點(diǎn). 解 容易驗(yàn)證原點(diǎn)是 的穩(wěn)定點(diǎn), 且 故由定理17.11 無法判定 在原點(diǎn)是否取得極值但由于在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi), 當(dāng) 時(shí) 由極值定義知道, 極值只是函數(shù)的一個(gè)局部性概念.想求出函數(shù)在有界閉域上的最大值和最小值, 方法 與一元函數(shù)問題一樣，需先求出函數(shù)在該區(qū)域上的 所有穩(wěn)定點(diǎn)、無偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處的值, 以及在區(qū)域邊界 上相應(yīng)的這類函數(shù)值, 然后比較這些值, 其中最大 (小) 者, 即為問題所求的最大 (小) 值 以函數(shù) f 不可能在原點(diǎn)取得極值 ( 參見圖17-7 ) 圖 17-8 圖 17-7 例10 證

10、明: 圓的所有外切三角形中, 以正三角形的 面積為最小證 設(shè)圓的半徑為 a. 任一外切三角形為 ABC, 三切 式為 其中 . 為求得穩(wěn)定點(diǎn), 令 點(diǎn)處的半徑相夾的中心角分別為 ，其中 在定義域內(nèi), 上述方程組僅有惟一解: 的二階偏導(dǎo)數(shù): 此穩(wěn)定點(diǎn)處取得極小值 因?yàn)槊娣e函數(shù) S 在定義域中處處存在偏導(dǎo)數(shù)， 中以正三角形的面積為最小解 (i) 求穩(wěn)定點(diǎn)：解方程組 因此得穩(wěn)定點(diǎn)(ii) 求極值：由于 的黑賽矩陣為 (iii) 求在 上的特殊值: 當(dāng) 當(dāng)，當(dāng)，算出 單調(diào)增, 算出兩端值 面的討論都能在圖中清晰地反映出來 一點(diǎn)與一元函數(shù)是不相同的，務(wù)請(qǐng)讀者注意！ 注 本例中的 上雖然只有惟一極值, 且為極 小值，但它并不因此成為上的最小值這 圖 17 - 9 例12 ( 最小二乘法問題 ) 設(shè)通過觀察或?qū)嶒?yàn)得到一 上，即大體上可用直線 方程來反映變量 x 與 y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ( 參見 圖17-10 ). 現(xiàn)要確定一 直線, 使得與這 n 個(gè)點(diǎn) 的偏差平方之和為最小( 最小二乘方 ) 圖 17 - 10 解 設(shè)所求直線方程為 為此設(shè) 把這組關(guān)于 a, b 的線性方程加以整理并求解，得并由實(shí)際意義可知這極小值即為最小值. 復(fù)習(xí)思考題 試比較本節(jié)的中值公式 (8) 與1 里的中值公式 (12)，兩者的條件與結(jié)論有何區(qū)別？ 2.