高等數(shù)學(xué)數(shù)值函數(shù)多重積分課件

1、多元數(shù)值函數(shù)的積分1.概念、類型與性質(zhì)2.二重積分3.三重積分4.第一型曲線與曲面積分5.在幾何與物理方面的典型應(yīng)用7.1多元數(shù)值函數(shù)的積分 -概念、類型與性質(zhì)1.引例-概念抽象-多元函數(shù)積分定義2.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本類型3.可積條件與積分基本性質(zhì)1.引例-概念抽象-多元函數(shù)積分定義 我們已經(jīng)知道，一元函數(shù)定積分的產(chǎn)生，是與很多現(xiàn)實(shí)問題密切相關(guān)的。 但是一元函數(shù)的定義域僅僅是一維的，而我們的世界卻是三維的。并且大量的現(xiàn)實(shí)對(duì)象也是不對(duì)稱的。 因此不難想到，在現(xiàn)實(shí)世界中，多元函數(shù)所應(yīng)用的范圍更廣。而類似定積分的方法，在高維情況下肯定有十分廣泛的用途。 即便是不知道多元函數(shù)積分的概念，僅從一元函

2、數(shù)定積分的定義和應(yīng)用，是否可以想到有什么問題可能會(huì)用到多元函數(shù)的積分方法呢？舉幾個(gè)例子?！纠?-1】（求平面薄板的質(zhì)量問題）設(shè)一質(zhì)量非均勻分布的薄板，將其置于xOy平面上，它所占有的區(qū)域?yàn)镈 (圖7-1), 在D上任一點(diǎn)P(x,y)處的面密度為這里 且在D上連續(xù).OxyD（圖7-1） 把區(qū)域D任意分劃為n個(gè)小區(qū)域 (i=1,2,n)， 同時(shí)表示該小區(qū)域的面積.由于 連續(xù)，因此薄板在每個(gè)小區(qū)域上的質(zhì)量可以近似的看做均勻分布.（1）一個(gè)引例 在每個(gè) 上任取一點(diǎn) ，則該小區(qū)域質(zhì)量的近似值為，整個(gè)薄板質(zhì)量m的近似值為 記 ，所謂 的直徑指的是 上任意兩點(diǎn)間距離的上確界.當(dāng)d 0時(shí)，每個(gè) 的面積將趨于零

3、，并且小區(qū)域的數(shù)目無限增大，上述近似值就無限接近薄板的實(shí)際質(zhì)量.因此可以把上面和式的極限規(guī)定為薄板的質(zhì)量，即 （1）（2）討論上面例子 假設(shè)上面例子中的物質(zhì)對(duì)象，不是一張平放的薄板。而是如下幾種情況： 一條平直的細(xì)絲； 一塊立體（區(qū)域）； 一條可以放在平面上的彎曲細(xì)絲； 一條在空間中彎曲的細(xì)絲； 一片空間中的曲面。 同樣假設(shè)知道物質(zhì)的密度函數(shù)，求其整體質(zhì)量，應(yīng)該怎樣做？（3）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義（i）符號(hào)與輔助概念約定： ：根據(jù)具體情況表示某空間中的閉集。在實(shí)數(shù)集中表示一個(gè)閉區(qū)間；在平面中可以是平面曲線，也可以是一個(gè)閉區(qū)域；在三維空間中，可以表示空間曲線、曲面、三維閉區(qū)域。、注：在教材中，

4、即表示小區(qū)域（或閉集合）也表示該區(qū)域（或閉集合）的度量（長度、面積、體積）。 盡管這樣規(guī)定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。 ：表示閉集合 的“度量”（或“體積”） -對(duì)于曲線（也包括直線），表示長度； -對(duì)于曲面（包括平面），表示面積； -對(duì)于立體區(qū)域，表示體積（設(shè) 是可度量的）。：分別表示區(qū)域 和 的直徑。其中若A是有界閉區(qū)域，d(A)是A內(nèi)任意兩點(diǎn)距離中最大者。 （ 或 ）：表示閉集合 的一個(gè)有限分劃。在已知所分劃的閉集合時(shí)，就簡記為 。則稱由這有限個(gè)閉集 為元素所組成的集合稱為閉集合 的一個(gè)分劃（這里的分化都是有限分劃）。 的有限分劃：設(shè)有有限個(gè)閉集 ，滿足如下條件；，分割寬度：設(shè) 是

5、 的一個(gè)分劃，記 稱為分劃 的寬度（或分割網(wǎng)的網(wǎng)徑）。（4）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義：設(shè) 是一個(gè)可度量的有界閉集，包含在函數(shù) 的定義域中，如果即 ，則稱函數(shù) 在 上可積，并稱 是 在 上的積分，記作（2）注：有這個(gè)概念定義，還派生如下一些輔屬概念- 被積函數(shù)，積分（區(qū)）域，積分元素（微元），被積表達(dá)式， 積分和，積分號(hào)。2.多元數(shù)值函數(shù)積分的主要類型與常用符號(hào)表示 下面假設(shè)都是在直角坐標(biāo)系下的表示。根據(jù)積分域的情況分類，有如下四大類：（2） 是三維坐標(biāo)空間中的區(qū)域V時(shí)，積分記為稱為二元函數(shù) 在區(qū)域D上的二重積分， 稱為面積微元。（1）積分域 是xOy坐標(biāo)平面中的區(qū)域D，則表示分劃中小塊區(qū)域 的面

6、積 ，積分表示為稱為三元函數(shù) 在V上的三重積分， 稱為體積微元。（3）當(dāng) 是平面或空間中一條曲線 時(shí)， 表示的是曲線分化中小弧段 的長度 。如果曲線是平面曲線，則函數(shù) 是二元函數(shù)，具體的積分表示為：如果是空間曲線，函數(shù)應(yīng)是三元函數(shù)，積分記為 稱為弧長微元。積分稱為第一型曲線積分，也稱為對(duì)弧長的積分。（4）當(dāng) 是空間中的一塊曲面 時(shí)， 是三元函數(shù)。 表示分劃中某個(gè)小曲面塊 的面積 ，具體的積分表達(dá)式為 稱為面積微元，該積分稱為第一型曲面積分，或?qū)γ娣e的曲面積分。3.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本性質(zhì)（1）可積的必要條件-被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有界（注意，積分區(qū)域本身必須是有界閉集）?？煞e的一個(gè)充分條件-被

7、積函數(shù)連續(xù)。 注意教材中對(duì)積分區(qū)域“度量”的記法的特殊約定。但是在這里我們?yōu)榱瞬灰鹌缌x，還是引入新的符號(hào)約定。以 表示積分區(qū)域 的“度量”（根據(jù)情況分別表示長度、面積、體積）。（2）基本性質(zhì)（i）（ii）積分與函數(shù)的線性運(yùn)算可交換-即積分是一個(gè)線性映射（從哪里到哪里？）。（iii）積分對(duì)于積分區(qū)域的可加性。（iv）大小的比較（v）積分的估值與 分別是函數(shù)在積分區(qū)域上的最大和最小值。（vi）中值定理。存在注：除了符號(hào)以及涉及到的集合（積分區(qū)域與被積函數(shù)）不同，其它在形式和關(guān)系上，與一元函數(shù)定積分的基本性質(zhì)完全一樣。7.2 二重積分的計(jì)算1.幾何意義2.直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算3.多重積分的換元

8、法4.極坐標(biāo)下的二重積分7-2: 3(3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8(3，4); 9(2，3); 10(2)。第七章第2節(jié)作業(yè)題1.二重積分的幾何意義-曲頂柱體體積的“代數(shù)和”2.直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算（1）二重積分與一元函數(shù)定積分在計(jì)算方法上的差異。（i）二重積分的區(qū)域很不規(guī)整；區(qū)域分化（面積微元）可能有不同的選擇。而一元函數(shù)定積分，積分區(qū)域是一個(gè)區(qū)間，區(qū)間分劃的形式是唯一的 ，就是區(qū)間分段。（ii）計(jì)算積分，沒有原函數(shù)可以直接利用。要解決二重積分，以及更高重的積分的計(jì)算問題，當(dāng)然就要針對(duì)上面的不同，給出具體的計(jì)算規(guī)則。（2）計(jì)算二重積分的基本規(guī)

9、則 注：由于積分區(qū)域本身往往不是矩形。所以看上去，分劃并不整齊。但是因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)有界，區(qū)域邊界的面積為0，在取極限的情況下，隨著覆蓋邊界的那些小矩形面積之和趨近于0，這些邊界處的積分值也就趨近于0了。（ii）將積分區(qū)域分解為-X型、Y型區(qū)域的并集：所謂X型域，就是該區(qū)域是由兩條垂直于X軸的直線與兩條以x為自變量的函數(shù)曲線圍城的區(qū)域。類似可知Y型域構(gòu)成方式。（考察關(guān)鍵區(qū)別在哪里！）（i）直角坐標(biāo)系情況下，用小矩形分劃積分區(qū)域，面積微元記為 或 （其意義自明）；（iii）將X型與Y型域上的重積分，轉(zhuǎn)化為“兩重”相互聯(lián)系起來的一元函數(shù)的定積分。（3）X型（Y型）域上的二重積分的計(jì)算。根據(jù)二重積分的幾

10、何意義，所謂曲頂柱體的體積微元 假設(shè)X型區(qū)域 如下：（iv）利用積分對(duì)區(qū)域的可加性，求總的積分。（參考圖示7-7）為其體積為而于是二重積分計(jì)算就轉(zhuǎn)換為兩次一元函數(shù)的定積分的計(jì)算，即轉(zhuǎn)化為累次積分（二次積分）：注1：Y型域的積分與此類似；注2：有界凸型區(qū)域，往往既是X型域也是Y型域，無論哪一種考慮，積分所得結(jié)果是一樣的，積分時(shí)只需考慮哪一種選擇使計(jì)算更簡便；注3：更多重積分的計(jì)算方法，與二重積分的考慮方式基本一樣，可自行推廣。小結(jié)：以上過程，是數(shù)學(xué)中比較典型的方法顯示-將復(fù)雜的對(duì)象轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡單的對(duì)象，將新問題的解決轉(zhuǎn)化為對(duì)老問題的解決。 新積分的概念基礎(chǔ)，依然還是-極限！【例7-2】計(jì)算 ，其

11、中D由y軸、直線 y=1及拋物線 圍成.Oxyy=x2D1（圖7-8）顯然，積分域是凸集，可以用兩種方法計(jì)算，且繁簡程度沒有什么差別。 而多元函數(shù)積分的計(jì)算，主要還是歸結(jié)為一元函數(shù)的定積分計(jì)算，但也要注意其自身的某些特點(diǎn)?！纠?-3】計(jì)算 ，其中D是由曲線 所圍成的閉區(qū)域.（圖7-9）Oxy2ABD-11 比較兩種順序的累次積分，觀察一下哪一種簡明。為什么？ 在某些情況下，不同順序的累次積分，還不僅僅是計(jì)算時(shí)的繁簡差異。而是涉及到是否可以計(jì)算的問題。見下例。Oxyy=xD1（圖7-10）1【例7-4】計(jì)算 ，其中D由x軸、直線 x=1和y=x圍成（圖7-10）.解：若先對(duì)x后對(duì)y積分，則而 不

12、是初等函數(shù)，故 無法積出，因此按這種累次積分次序無法算出所求二重積分若換序計(jì)算接續(xù)【例7-4】【例7-5】計(jì)算 ，其中D是下半圓域 （圖7-11）.（圖7-11）Oxy2D-2利用積分域以及函數(shù)某種對(duì)稱性簡化計(jì)算。接續(xù)【例7-5】解：注意積分區(qū)域是關(guān)于y軸對(duì)稱的，對(duì)于自變量x，x+x3e y 是奇函數(shù)，y可視為關(guān)于x的偶函數(shù)，因而有 記 于是【例7-6】設(shè)D是xOy平面上以曲線 y=x3,直線x=-1和y=1所圍成的閉區(qū)域（圖7-12）,求y=x3D1（圖7-12）Oxy1-11D2D3D4 學(xué)會(huì)觀察函數(shù)與積分域的特點(diǎn)與關(guān)系，利用這些關(guān)系和特點(diǎn)適當(dāng)分解積分域，可以簡化積分的計(jì)算-不要只是盲目的

13、計(jì)算。接續(xù)【例7-6】解：如圖7-32所示，在第二象限畫出曲線 y=-x3，這樣就由曲線 y=-x3 和兩條坐標(biāo)軸將D分成了四個(gè)子區(qū)域，其中D1和D2關(guān)于 y 軸對(duì)稱，而D3和D4關(guān)于 x 軸對(duì)稱 因?yàn)楹瘮?shù) f (x,y)=sin(xy) 關(guān)于自變量 x 和 y 均為奇函數(shù)，所以且從而函數(shù)g(x,y)=2x2y關(guān)于y是奇函數(shù)，關(guān)于x是偶函數(shù)，所以從而接續(xù)【7-6】3.二重積分的換元法 從前面的例子可以看出，重積分計(jì)算的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是對(duì)積分域的分析。是否能夠?qū)⒎e分域的幾何形狀、邊界的解析表示簡化，對(duì)于重積分的計(jì)算是十分關(guān)鍵的。 假設(shè)在xOy平面上的一個(gè)區(qū)域比較復(fù)雜（或其解析表達(dá)式復(fù)雜）。一個(gè)自然

14、的想法是，做一個(gè)變換，使得在另外一個(gè)坐標(biāo)系中，這個(gè)積分區(qū)域變得比較簡明，從而使其邊界的解析表示形式簡化。 如果存在這樣的變換，那么被積表達(dá)式會(huì)有什么變化呢？（1）-回顧一元函數(shù)定積分的換元法。 用積分的一般表示形式，無論是第一類還是第二類換元公式，對(duì)于定積分而言，都是如下關(guān)系：其中，變換為 ，并且還是，都有例如無論是做變換。這個(gè)關(guān)系的幾何解釋是怎樣的呢？注意：變換 中，盡管 ，但不是按照對(duì)應(yīng)順序映成的。（2）多重積分的換元法公式（二重、三重積分）若 則有 ，。注1：如果雅各比矩陣存在，且其行列式恒不為0，則變換F當(dāng)然是連續(xù)，可偏導(dǎo)的；并且變換F還是1-1的，起碼在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)積分區(qū)域之間。因此還

15、有 。注2：如果區(qū)域內(nèi)有些點(diǎn)處雅各比行列式為0，但是設(shè)有變換 這些點(diǎn)組成的集合的面積（或體積-在三維情況）為0，則上述積分變換的結(jié)果依然成立。注3：只要將上面的變換公式寫成三重積分，甚至n重積分的形式，結(jié)論也都是對(duì)的。（3）極坐標(biāo)系情況下的二重積分計(jì)算 在二重積分的變換中，將直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)是很常見的情況之一。 設(shè)函數(shù)的定義域原本是由直角坐標(biāo)系表示的，如果應(yīng)用極坐標(biāo)表示這個(gè)區(qū)域，直接從幾何角度分析，以射線與同心圓族分割，可得用極坐標(biāo)表示的小區(qū)域面積表示為：事實(shí)上，由直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)變換的雅各比行列式所得到的積分微元的變換也是一樣的。這在情理之中。注：當(dāng)極坐標(biāo)表示的平面積分區(qū)域中含有極點(diǎn)，即

16、矢徑為0的點(diǎn)，那么對(duì)矢徑的積分下限，就從0開始。 盡管直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)不都是1-1的，但是在幅角變化不超過一周的情況下，對(duì)積分沒影響。即面積微元是（圖7-17）Oxy12【例7-7】計(jì)算 其中D是圓環(huán)域（圖7-17）.注：在 平面（另一個(gè)直角坐標(biāo)平面），這里的積分區(qū)域變換為一個(gè)矩形。 所以變換之后的積分是很容易計(jì)算的?！纠?-8】把二重積分 化作在極坐標(biāo)系下的累次積分，其中D是由直線y=x , y=2x及曲線x2+y2=4x , x2+y2=8x 所圍成的平面區(qū)域（圖7-18）.（圖7-18）Oxy4注：變換之后在直角坐標(biāo) 平面中的區(qū)域?yàn)樾陀颍?；于是由變量代換公式得：【例7-9】求雙

17、紐線(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a0)（圖7-19）所圍區(qū)域的面積.（圖7-19）OxyD注：極坐標(biāo)表示雙紐線為在第一象限有（四分之一區(qū)域）這時(shí)在 坐標(biāo)平面的積分域?yàn)?型域；。于是【例7-10】 （1）計(jì)算二重積分 ，其中 D 是1/4圓域 （2）利用（1）的結(jié)果求反常積分（圖7-20）OxyD1aD2D3（1）做極坐標(biāo)變換，在坐標(biāo)平面上積分域?yàn)榫匦危?，積分結(jié)果為（2）考慮圖示中的三個(gè)積分區(qū)域可得：接續(xù)【例7-10】解：（1）在極坐標(biāo)系下，區(qū)域D可表示為于是下面計(jì)算 ，注意函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù)。（2）構(gòu)造三個(gè)區(qū)域顯然 （圖7-20）由（1）的結(jié)果得由于而所以令 ，上式兩端趨

18、于同一極限 ，于是得到注：由上面的積分（2），可以得到概率中正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)。 這個(gè)計(jì)算表明，即便被積函數(shù)的原函數(shù)沒有初等表示，也不意味著無法通過積分求得某些定積分值?！纠?-11】求球體 被圓柱面 所截得含在圓柱面內(nèi)的立體體積V.（圖7-21）OxyzRRR（圖7-22）OxyD注：從幾何直觀上分析，這是求（考慮對(duì)稱性）積分域?yàn)楸环e函數(shù)為的積分。做極坐標(biāo)變換，得到在 坐標(biāo)平面上的積分域?yàn)?型域（見圖7-22）：附注：上述立體稱為維維安尼體，假設(shè)在負(fù)y那半個(gè)平面上再截去這樣一個(gè)體積，球體所剩下立體體積完全可能是有理數(shù)，只要半徑是有理數(shù)，而與圓周率無關(guān)。具體計(jì)算如下頁所示。接續(xù)【例7-11

19、】解：由對(duì)稱性，只需求得該立方體在第一卦限部分的體積，它的四倍即為所求立方體體積（圖7-21）在第一卦限內(nèi)的體積是一曲頂柱體，其底為區(qū)域（圖7-22）曲頂為球面 ，故所求體積在極坐標(biāo)系下于是由上式可知，若用兩個(gè)柱面 去截球體 ，則所截下的體積為2V，而球體所剩立體體積為接續(xù)【例7-11】【例7-12】計(jì)算 ，其中D是由曲線xy=1 , xy=2, y=x 及 y=4x 在第一象限圍成的區(qū)域（圖7-23）.（圖7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（4）其它的某些變量代換 積分變換沒有固定方法，必須多做一些練習(xí)，熟悉很多變換的作用，才可能做出合適的選擇。（圖7-24）Ouv1142D做

20、變換則有接續(xù)【例7-12】解： 作變換 ，則對(duì)應(yīng)于D的uOv平面上的區(qū)域 （圖7-24）由 可得從而由公式（7）便得求出J 注意，在計(jì)算 時(shí)，若J 不易計(jì)算，可由 如在本例中，可先求從而【例7-13】計(jì)算 ，其中D為橢圓域：注：做廣義極坐標(biāo)變換，實(shí)際是一個(gè)線性伸縮變換與極坐標(biāo)變換的復(fù)合積分區(qū)域變換為 ，雅各比行列式為做二維變換：并且注：首先考察上述變換是線性變換； 再考慮行列式的幾何意義； 最后考察對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）的幾何意義。（1） 問題：可以將這樣的變換推廣到高維情況嗎？ 起碼看看三維的情況。然后作對(duì)應(yīng)附錄-多元積分變量代換公式的分析。（1）二維空間線性變換下的某些幾何關(guān)系。設(shè)有下面給這個(gè)變換

21、關(guān)于面積關(guān)系轉(zhuǎn)換的一個(gè)解釋。 設(shè)有兩個(gè)直角坐標(biāo)系給出二維向量空間表示，一個(gè)是 平面，一個(gè)是 平面。 上面的（附1）式，可以看做是從前一個(gè)平面（空間）到后一個(gè)平面（空間）的線性映射。（附1）根據(jù)這個(gè)映射， 坐標(biāo)空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基分別對(duì)應(yīng)到 中的向量為和于是 平面中由 （的線段長度為邊）所確定的矩形，對(duì)應(yīng)到 平面中。是由所確定的平行四邊形。從面積的角度講，這個(gè)線性映射將 平面中面積為 的平行四邊形，映射成 平面中面積為的平行四邊形。反之，這個(gè)映射的逆映射將 平面中面積為 的平行四邊形，映射為 平面中面積為的平行四邊形。 在計(jì)算積分時(shí)，積分變換中面積微元的變換公式（1）所反映的就是這種關(guān)系。 換句話

22、說，如果我們要用 平面中的面積微元表示 平面中的面積微元，便有如下形式等式：（2）關(guān)于面積微元變換的另一個(gè)解釋。 考慮二維平面向量空間到自身的一個(gè)變換。給這個(gè)向量空間有一組基，基向量記為 ， 。設(shè)因此在給定點(diǎn)，以如下對(duì)應(yīng)方式定義了二維向量空間到自身的一個(gè)滿秩線性變換，重要的是，這個(gè)變換（以 和 的向量組為基）的坐標(biāo)變換表示矩陣為：；其行列式還是：由這個(gè)規(guī)定，同樣可得 引入符號(hào) （類似還有 等）表示由向量 與 （幾何表示的線段為鄰邊）所確定平行四邊形的有向面積。即有xdydydxdvvvr-=（3）一個(gè)形式規(guī)定帶來的方便 7.3 三重積分的計(jì)算1.直角坐標(biāo)系下的計(jì)算2.柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算

23、7-3: 1(3);2(2，4，6); 3(2); 4(4，5);5(2，3); 6(1，3，5);7(1，2，3); 8; 11。第七章第3節(jié)作業(yè)題1.直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 從二重積分的計(jì)算方法不難看出，將高重積分分解為較低重的積分，是問題解決的關(guān)鍵。 現(xiàn)在，我們已經(jīng)可以計(jì)算二重積分了，那么怎樣才能將三重積分分解為二重和一重（一元函數(shù)）積分呢？當(dāng)然，二重積分也是變換為兩次一重積分的。不過這已經(jīng)不是問題了。 主要的方法有兩種，通俗的講，就是“先一后二”和“先二后一”。 在直角坐標(biāo)系下，對(duì)積分域的的分劃，與二維情況相似，就是分劃為長方體，體積微元總是 。（1）坐標(biāo)面投影法-或“先一后二”法

24、 將積分域V（總假設(shè)是有界閉集）到某個(gè)坐標(biāo)平面投影，比如說投影到xOy平面，記為 。 如果滿足：從任何一個(gè)屬于投影區(qū)域 的點(diǎn)引垂直于該平面的直線，這條直線與積分域的交集總是一個(gè)線段，那么就稱這個(gè)區(qū)域V是xy型域。 yz型與zx型域可類似定義。 一個(gè)xy型域，一般都可以表示為：于是三重積分可以表示為（1）上式也約定記為以此清楚地表明“先一后二”的積分順序。 上述關(guān)系式（1）可以由高維體積或賦予物理意義給以解釋，比如說物質(zhì)密度與總質(zhì)量的關(guān)系。（1+）【例7-14】計(jì)算 ，其中V是由平面x+y+z=1和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的閉區(qū)域.Oxyz111z =1-x-yy=1-xDxy（圖7-26）【例7-15】

25、計(jì)算 , 其中Oxyz111Dxy-1-1（圖7-27）Oxyz（圖7-28）czd 從題設(shè)條件，積分域已經(jīng)十分清楚了。 作為課堂練習(xí)。（2）截面法-“先二后一”法。觀察左邊圖7-28，對(duì)任意的z，假設(shè)陰影部分（記為 ）關(guān)于x、y的二重積分容易計(jì)算，那么就可以由如下關(guān)系：計(jì)算三重積分。這個(gè)關(guān)系還約定記為（2）（2+）【例7-16】計(jì)算 其中V是由平面z=x+y , x=0 , y=0 , z= 所圍成的立體（圖7-29）.（圖7-29）zOxyzDz 注：這里的關(guān)鍵，是被積函數(shù)中沒有自變量x、y出現(xiàn)。 截面法十分簡明。接續(xù)【例7-16】解： V在z軸上的投影為 ，在 內(nèi)任一點(diǎn)作平面垂直于z軸，

26、它在V上的截面為Dz，Dz是一個(gè)三角形區(qū)域，易知Dz的面積是 于是解： 由三重積分的物理意義知而【例7-17】已知橢球V： ，其密度 ，求該橢球體的質(zhì)量m.注：由積分對(duì)被積函數(shù)的可加性，可以對(duì)函數(shù)中每一單項(xiàng)式積分。同樣由截面法，計(jì)算十分簡明。所以同理因此其中 是橢圓 所圍圖形的面積接續(xù)【例7-17】2.柱面和球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算（1）三重積分的變量代換-換元法（略-已知）（2）柱坐標(biāo)下的積分計(jì)算（i）柱坐標(biāo)的說明-平面極坐標(biāo)加上縱軸z。（ii）將直角坐標(biāo)變換為柱坐標(biāo)：雅各比行列式為（圖7-33）1OxyzD1-1-11【例7-18】計(jì)算 ，其中V是由錐面 及平面 z =1圍成的區(qū)域（圖7

27、-33）.注：先用坐標(biāo)面投影法，然后對(duì)xOy平面做極坐標(biāo)變換。也就是將投影域變成“矩形”區(qū)域。 可以看出，在積分域是旋轉(zhuǎn)體，或與圓有關(guān)的區(qū)域；被積函數(shù)可以表示為關(guān)于投影域的變量二次齊次的函數(shù)與另一個(gè)變量的函數(shù)乘積時(shí)，用柱坐標(biāo)計(jì)算積分，明顯會(huì)帶來計(jì)算方便。（圖7-34）Oxyz2【例7-19】計(jì)算 其中V是由曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面與平面z=2圍成的空間區(qū)域（圖7-34）.投影 是半徑為2的圓盤，經(jīng)極坐標(biāo)變換到 平面是矩形區(qū)域 ，縱坐標(biāo)滿足注：教材中的集合等式在邏輯上有問題。（3）球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算（i）球面坐標(biāo)介紹：考慮一個(gè)無窮“矩體”其坐標(biāo)記為（ ）。如果做以下對(duì)應(yīng)就將坐標(biāo) 解釋

28、為xyz直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)。這便是直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的球面坐標(biāo)表示。（1） 變換（1），稱為直角坐標(biāo)關(guān)于球面坐標(biāo)的變換。這個(gè)變換的雅各比行列式為【例7-20】計(jì)算 其中V由曲面 和 圍成（圖7-37）.（圖7-37）OxyzR做球坐標(biāo)變換，該區(qū)域在坐標(biāo)空間中變換為一個(gè)有界矩體：積分可直接變?yōu)槿氐睦鄞畏e分?！纠?-21】計(jì)算其中【例7-22】計(jì)算 其中V為球體在第一卦限的部分.注：這個(gè)積分的區(qū)域轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)其計(jì)算很簡單，值得注意的是-奇函數(shù)在對(duì)稱性域上的積分為0.注：考察這個(gè)積分的幾種不同的計(jì)算方法。分別是（i）直角坐標(biāo)系-坐標(biāo)面投影法；（ii）截面法-再利用極坐標(biāo)變換求其中二重積分；（iii）

29、直接用柱坐標(biāo)-本質(zhì)上與第（ii）種解法類似；（iv）用球面坐標(biāo)-積分域直接變換為矩形區(qū)域。接續(xù)【例7-22】解法1：利用直角坐標(biāo)求解，此時(shí)積分區(qū)域?yàn)橛谑墙夥?：利用豎坐標(biāo)為z的平面去截V，得到平面區(qū)域此時(shí)于是原式=而其中利用極坐標(biāo)所以原式=解法3：利用柱面坐標(biāo)求解，此時(shí)V為于是原式解法4：利用球面坐標(biāo)求解，此時(shí)于是原式（4）利用三重積分求體積 有了三重積分的概念和計(jì)算法，很多體積的計(jì)算直接成為對(duì)三重積分的積分域的解析。因?yàn)椤纠?-23】求拋物面 z=x2+2y2 與 z=6-2x2-y2 所圍立體（圖7-38）的體積.（圖7-38）DxyxyzO【例7-24】求幾何體 （a、b、c均為正數(shù)）的

30、體積.注：類似廣義極坐標(biāo)一樣，這里可以利用廣義球坐標(biāo)變換-這個(gè)變換可以看做兩個(gè)變換的復(fù)合。第一個(gè)是簡單的線性變換（伸縮變換），再做球面坐標(biāo)變換。 變換之后的積分區(qū)域是 坐標(biāo)系空間中的一個(gè) 型域，并且投影到坐標(biāo)平面的區(qū)域是一個(gè)矩形。接續(xù)【例7-24】在新坐標(biāo)系下曲面方程化為解：幾何體由曲面 圍成，做廣義球面變換從而又因所求幾何體的體積接續(xù)【例7-24】復(fù)習(xí)題7-2（4）.判斷：積分 是否表示密度為 的物體V關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？說明：所謂關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在直角坐標(biāo)情況下其計(jì)算公式為如果記柱坐標(biāo)變換為 ， ，則 但是 不是 關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 另一方面，積分 的表示不協(xié)調(diào)。因?yàn)榉e分域與積分微元

31、（元素）無關(guān)。 7.4 數(shù)量值函數(shù)的曲線與曲面積分1.第一型曲線積分的計(jì)算2.第一型曲面積分的計(jì)算7-4:1(2，3，6，8); 4; 5;6(4，5，7，8); 7; 8。7-5: 1(2); 3; 5 ;10。第七章第4、5節(jié)作業(yè)題1.第一型曲線積分的計(jì)算-轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)的定積分 曲線是一維的，一元函數(shù)的積分區(qū)域是區(qū)間，也是一維的。所不同的是，曲線在彎曲的，分劃之后的小弧段長度，不如直線段長度那么直接。但是前面已經(jīng)分析過弧微分，所以對(duì)應(yīng)于曲線的表示方法，可以想到有如下計(jì)算公式：如果曲線L 是函數(shù)曲線： 則弧微分曲線積分可變?yōu)槎ǚe分：特別約定：此類平面曲線稱為y型曲線（x型類推）。 但是最常

32、見的平面曲線和空間曲線都使用參數(shù)表示，假設(shè)平面或空間曲線L,由如下參數(shù)表示或根據(jù)弧微分的參數(shù)表示，曲線積分可以表示為或（對(duì)空間曲線積分）有【例7-25】計(jì)算曲線積分 ，其中L為圓心在(R,0)，半徑為R的上半圓周（圖7-39）.OxyR2Rt（圖7-39）解法一：將平面曲線作為y型曲線解法二：以圓心角 為參數(shù)該曲線表示為參數(shù)形式接續(xù)【例7-25】所以從而解：L的方程為令 ，可得【例7-26】計(jì)算 ，其中L以A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)為頂點(diǎn)的三角形邊界（圖7-40）.這里記號(hào) 表示積分是在閉合曲線L上進(jìn)行.OxyA(1,0)（圖7-40）B(1,1)C(0,1)將封閉曲線分為三段：

33、AB是x型曲線x=1；CB是y型曲線y=1；AC即可看做x型也可看做y型曲線。作為y型曲線有 y=1-x.分別計(jì)算這三段曲線上的積分做和即可。接續(xù)【例7-26】解：由積分的性質(zhì)得在AB上x=1，故在BC上y=1，故CA直線段方程為y= -x+1，故所以【例7-27】計(jì)算 ，其中L為螺線x=cost , y=sint , z=t 上對(duì)應(yīng)于 t 從0到1的一段弧.【例7-28】計(jì)算 ，其中L圓：這里的空間曲線不太容易給出簡明的參數(shù)表示。需要觀察被積函數(shù)與曲線的特點(diǎn)。該曲線周長恰好是單位圓周長 ，而積分曲線關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)是對(duì)稱的，于是有【例7-29】設(shè)橢圓柱面 被平面z=y及z=0 所截. 求位于第一

34、、二卦限內(nèi)所截下部分的側(cè)面積（圖7-42）.（圖7-42）O3yzx說明：平面曲線上的積分是如下描述的柱面面積。該柱面是以曲線L為準(zhǔn)線，平行于z軸的直線為母線，母線在點(diǎn)（x,y）處的高度為接續(xù)【例7-29】解：由第一型曲線積分的幾何意義，得所求側(cè)面積于是其中L為xOy平面上的半個(gè)橢圓，將L用參數(shù)方程表示，有2.第一型曲面積分的計(jì)算-將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分（1）曲面的面積與面積微元（i）關(guān)于曲面面積的定義問題 曲面的面積不能用內(nèi)接多面體表面積的極限定義。這里不詳細(xì)討論一般曲面面積的定義方式。 我們僅僅假設(shè)關(guān)于曲面的解析表達(dá)式-函數(shù)的或是參數(shù)表示的-都是可微映射。并且曲面每一點(diǎn)處都存在切平面（與

35、法向量）。 利用這個(gè)條件，可以將曲面的面積“定義”為“對(duì)應(yīng)小塊切平面面積之和的極限”。（ii）關(guān)于面積微元：假設(shè)曲面是由參數(shù)表示的，這也是最一般地表示方式，即（1）如果曲面是由函數(shù) 表示的（這時(shí)表示的曲面不能向縱軸上方彎曲），則（1）式便為 實(shí)際上，空間曲面的解析表示總是可以看做一個(gè)向量值函數(shù)（映射）。比如（1）和（2）式，分別是如下向量值函數(shù)的分量表示。（對(duì)應(yīng)（1）（對(duì)應(yīng)（2）（2）特別約定：稱該曲面為z型曲面-類似有x、y型曲面。 現(xiàn)在考慮下面幾個(gè)式子的幾何意義：（沿著u-曲線的切向量）（沿著v-曲線的切向量） （ 割向量 的近似） 注：這是曲面不是面積曲面 S 的面積或者注意到（對(duì)于映射

36、（1）（對(duì)于映射（2）面積微元面積微元 這里請注意一些重要關(guān)系?！纠?-30】求球面 介于平面 z=h（0hR，R為地球半徑）處，空氣密度 ，這里 是地球表面處空氣密度，K為常數(shù)， 和K均可通過測量獲得試證明，地球上空空氣總質(zhì)量約為【例7-41】在研究山脈形成時(shí)，地質(zhì)學(xué)家要計(jì)算從海平面聳起一座三所作的功假定日本的富士山形如一個(gè)半徑為19km，高為4km的直圓錐體，密度為常數(shù)3200kg/m3，那么從最初海平面上的一塊陸地變?yōu)楝F(xiàn)在的富士山需作多少功？ 解：設(shè)山脈為空間區(qū)域，P為上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)附近物質(zhì)的密度為f (P)，點(diǎn)P的海拔高度為h(P)，則形成山脈作的功即為增加的勢能. 點(diǎn)P處體積微元dV的勢能dW=h(P)f (P)gdV，其中g(shù)為重力加速度，故總勢能，即山脈形成過程中作的總功 接續(xù)【例7-41】 將富士山這個(gè)“直圓錐體”底面圓心取為坐標(biāo)原點(diǎn)，使圓錐體頂點(diǎn)位于z軸正半軸上，建立坐標(biāo)系，則由題設(shè)條件知，圓